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向量 数列的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 在中，若点满足，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由，得，因此，因此，故答案为D考点：平面向量的应用2. 在等差数列中，若，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式3. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（ ）A.18 B.24 C.60 D.90【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，整理得，因为，所以，所以，故选C.考点：等差数列的通项公式与前项和公式.4. 【2018江西宜春调研】公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）A. 15 B. 21 C. 23 D. 25【答案】D【解析】依题意， ，其中； ，故选D.5. 【2018安徽蒙城两校联考】已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B6. 已知非零向量与满足，且，则的形状为（ ）A.等边三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 D.直角三角形【答案】C【解析】考点：向量加法的平行四边形法则、向量垂直和向量数量积的应用.【思路点晴】本题考查的是平面向量数量积的运算，三角形形状的判断，关键是判断表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，结合判断出的平分线与垂直，从而推断三角形为等腰三角形，现根据向量的数量积公式求得角为，所以为等腰非等边三角形.7. 数列满足，对任意的都有，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：,且对于任意的,所以当时,当时也成立,所以数列的前项和为，,故选B.考点：1.累加法；2.裂项相消求和.【思路点晴】本题是一道关于数列的题目,解题关键是充分利用已知条件得到新的公式,考查了累加法求数列通项以及裂项相消法求数列的和,属中档题目.由已知可得,进而累加法求得的通项公式以及,接下来从的通项公式入手裂项,从而得到前项和.8. 【2018全国名校联考】设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决9. 设数列的前项和为，且满足，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】考点：数列求通项公式10. 【2018辽宁沈阳四校联考】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC=2，CD=1，BD=BCCD=BDr，r=，圆的方程为（x1）2+（y2）2=，设点P的坐标为（cos+1， sin+2），（cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2），cos+1=， sin+2=2，+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中tan=2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A11. 【2018河南豫南豫北联考】数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得，所以，即，且。， 。又对，都有成立，。故最小的整数是5.选C。点睛：对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对求和，根据题目的条件经过变形得到，可利用列项相消求和，在求得数列和的基础上可得到k的取值范围，解题时要注意等号是否可以取得。12. 正三角形ABC内一点M满足，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】试题分析：令，由已知可得根据向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形由已知可得中由正弦定理可得即有得，所以，因为为正三角形，所以所以故D正确考点：1向量加法的平行四边形法则；2向量共线；3正弦定理二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则 【答案】【解析】考点：1、向量平行的充要条件；2、平面向量的模14. 数列的前项和为，则 ；数列的前10项和 【答案】，【解析】试题分析：当时，当时，考点：1数列的通项公式；2数列求和15. 如图，直角中，作的内接正方形，再做的内接正方形，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为 .【答案】【解析】试题分析：数列an构成以为首项,以为公比的等比数列,故.考点：归纳推理16. 【2018全国名校联考】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是_【答案】【解析】如图，延长交的外接圆与点，连接，则所以,又,把代入得,又，所以,把代入得的取值范围是.点睛:平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知平面向量，（1）若，求；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）2或；（2）【解析】试题解析：（1）由，得或，当时，当时，（2）与夹角为锐角，又因为时，所以的取值范围是考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，但当时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向18. 【2018江苏常州武进区联考】已知向量， ， 若，求的值； 令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析： 由条件可得向量数量积，得出、的数量关系，即可求出，就可以求出结果 ， 把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到， 再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到， 由得，的单调增区间是. 19. 已知向量，函数（）求函数的最小正周期；（）已知、分别为内角、的对边，其中为锐角，,且，求，和的面积【答案】（）；（），【解析】试题解析：（）因为，所以（），因为，所以， 则，所以，即，则，从而考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、余弦定理；3、三角恒等变换20. 已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.（）求数列的通项公式；（）设为数列的前项和，证明：.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题解析：（I）时， 时，又，两式相减得为是以1为首项，2为公差的等差数列，即. （II）， 又，综上成立.考点：递推公式求通项和裂项法求和.21. 【2018辽宁鞍山一中二模】已知数列的前项和为，且， .（1），求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列；（3）求数列的通项公式及前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由， 相减可得,即，从而， 是等比数列得证（2）由（1）可得两边同除以 可得，数列等差得证（3）由（2）可求，代入可求，进而求出试题解析：解：（1）由题意， ， 相减，得,， ，又由题设，得，即， ，首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为（2），所以， 数列是首项为，公差为的等差数列，.（3）.22. 数列，的每一项都是正数，且，成等差数列，成等比数列，（）求，的值；（）求数列， 的通项公式；（）证明：对一切正整数，有【答案】（），；（），；（）当时，当时，；当时，综上所述：对一切正整数，有【解析】试题解析：（）由题意得，可得由，可得（）因为，成等差数列，所以，因为，成等比数列，所以，因为，的每一项都是正数，所以，于是，当时，将代入式，可得，因此数列是首项为，公差为的等差数列，所以，于是，由式，可得当时，当时，满足上式，所以对一切正整数，都有（）由（）可知，所证明的不等式为【方法1】首先证明即证，即证，即证，所以当时，当时，综上所述：对一切正整数，有【方法2】当时，当时，；当时，综上所述：对一切正整数，有【方法3】当时，当时，；当时，；当时，综上所述：对一切正整数，有考点：1、等差数列；2、等比数列；3、放缩法在数列不等式中的应用
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