数学——2011年高水平大学自主选拔学业能力测试

2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数z满足且，则（A）（B）（C）（D）【答案】D解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），。2在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为（A）（B）（C）（D）【答案】B分析本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系zONMDCBAPyx，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，则，。设所成的角为，则。解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰AQN的顶角。解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。3过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（A）2（B）1（C）（D）【答案】C4若，则的最小值和最大值分别为（A）（B）（C）（D）【答案】B分析首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：降次：把三角函数的平方去掉；去角：原来含两个角，去掉一个。解：，可见答案是BB A O1 O O2 C 5如图，O1和O2外切于点C，O1，O2又都和O内切，切点分别为A，B。，则 （A）（B）（C）（D）【答案】B分析题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：O O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。解法一：连接，C在上，则，故，。解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，。6已知异面直线所成60角，A为空间中一点，则过A与都成45角的平面（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个【答案】D分析已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60角，求空间中过交点与a，b都成45角的直线。答案是4个。7已知向量，。则 的最小值为（A）1 （B）（C） （D）2【答案】B解：由得由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y + z，y - z三个变量，变形，代入，答案B8AB过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（A）（B）（C）（D）【答案】A解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y = x 1，与抛物线方程y2 = 4x联立，解得，于是，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，BAD = 45，EFDA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求AEB。BGCEDAF。类似的，有，答案ABACDEF9如图，已知ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则BDF面积的最大值为（A）（B）（C）（D）【答案】D解：，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。10将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 （B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 （D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】D解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形DEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的D一定是钝角。事实上，D ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以ADC = 180-B，所以D为钝角。这样就排除了B，C。FEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。DBCA假设ABC中B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ACD，则D = 180-B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11（本小题满分14分）已知ABC不是直角三角形。（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列，求的值。解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知。又，而，代入得， ，12（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。（）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1。（I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得13（本小题满分14分）已知函数，令，。（）求数列的通项公式；（）证明：。解：由(I)先求出，猜想。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即，则，得证。(II) 我们证明。事实上，。我们注意到，于是14（本小题满分14分）已知双曲线（），分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又F1PF2的面积为。（）求C的离心率e；（）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P F1 F2中，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ， ，。E F1 F2为等腰三角形，于是，。15（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续3次正面的概率。（）求和；（）探究数列的递推公式，并给出证明；（）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。解答：（1），。（）如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。综上，有（）。其中，。我们先定义几个函数：f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。显然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这个著名数列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)当然，最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的