同角三角函数关系（汪利珍）

同角三角同角三角崇阳职业技术学校崇阳职业技术学校 汪利珍汪利珍 在单位圆中，角在单位圆中，角的终边的终边OP与与OM、MP组组成直角三角形，成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，的长度是正弦的绝对值，|OM|的长度是余弦的绝对值，的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，根据勾股定理得根据勾股定理得sin2+cos2=1又知又知tan=,所以所以yxtancossin注意：注意：1.公式中的角公式中的角一定是同角一定是同角，否则公式可能，否则公式可能不成立不成立.如如sin230+cos2601.2.同角不要拘泥于形式同角不要拘泥于形式，6等等都可以等等都可以.2如如sin24+cos24=1.3.商数关系商数关系中注意限制条件中注意限制条件.即即cos0.k+，kZ.2(1)给定角的一个三角函数值，求这个角的给定角的一个三角函数值，求这个角的其余三角函数值。其余三角函数值。应用：应用：(2)化简三角函数式和证明三角恒等式。化简三角函数式和证明三角恒等式。应用的方法：应用的方法：正用,逆用、变形用.22sin1 cos 22cos1 sin sincos tansincostan2221 costancos222sintan1 sin例例1 已知已知 ，并且，并且是第二象限角，是第二象限角，求求的余弦和正切值的余弦和正切值54sin解：解：sin2+cos2=1，是是第二象限角第二象限角.2243cos1sin1(),55cos0 345354cossintan例例2已知已知 ，求，求sin、tan的值的值.178cos解：解：cos0是第二或第三象限角是第二或第三象限角（）当）当是第二象限角时，是第二象限角时，22815sin1 cos1(),1717 15sin1517tan.8cos817（）当）当是第三象限角时，是第三象限角时，15sin,17 15tan.8例例3.已知已知sincos=,180270.求求tan的值。的值。55解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组225sincos5sincos1 消去消去sin，得得5cos2 cos2=0，5由方程解得由方程解得cos=2 55或或cos=55因为因为180270，所以，所以cos0，即，即 cos=55代入原方程组得代入原方程组得sin=2 55于是于是tan=2.sincos例例4化简：化简：440sin12解：原式解：原式=221 sin(36080)1 sin 80 2cos 80cos80 例例5 化简：化简：1tancossin解：原式解：原式=sincossin1cossincossincoscos=cos.例例6 已知已知tan=2=2求值求值：sincos(1)2sin3cos解解：（：（1)分子分母同除以分子分母同除以cos原式原式=tan12tan3=1/7.221(2)sincos（2)分子分子“1”换为换为“sin2+cos2”原式原式=2222sincossincos=5/3.22tan1tan1例例7.求证：求证：(1)sin4cos4=2sin21；证明：左边证明：左边=(sin2+cos2)(sin2cos2)=sin2cos2 =sin2(1sin2)=2sin21右边右边.所以原等式成立所以原等式成立.(2)2222sintansintan证明：证明：原式右边原式右边=tan2(1cos2)=tan2tan2cos2 2222sintancoscos=tan2sin2=左边左边.(3)cos1sin1sincos证明：左边证明：左边coscos(1 sin)cosxxxx=右边右边 原等式成立原等式成立.1 sincosxx21 sin(1 sin)cosxxx证明等式的常用方法：证明等式的常用方法：1.从等式的一边证得它等于另一边；从等式的一边证得它等于另一边；2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要先证明另外一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；证明的等式成立；3.利用作差利用作差(作商作商)的方的方法法。