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2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1（题1）设集合，则下列关系中正确的是（ ）ABCD【解析】 D；，故，因此2（题2）设平面向量，若，则等于（ ）ABCD【解析】 A；，则，从而3（题3）若复数满足，则对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】 B；4（题4）设函数，则其零点所在的区间为（ ）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【解析】 B；在上单调增，故零点所在区间5（题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）ABCD【解析】 B；由，可得，6（题6）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）ABCD【解析】 C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得7（题7）某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）A110BC90D80【解析】 B；设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得8（题8）设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（ ）ABCD【解析】 D；由题设，于是定积分第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9（题9）把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是 【解析】 ；10（题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 【解析】 6；几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为11（题11）若是上三点，切于点，则的大小为 解析：如图，弦切角，于是，从而12（题12）若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为 【解析】 ；曲线：，点到的距离为，因此；，即13（题13）若为的三个内角，则的最小值为 【解析】 ；，且，因此，当且仅当，即时等号成立14（题14）有下列命题：若存在导函数，则；若函数，则；若函数，则；若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件其中真命题的序号是 【解析】 ；，错误；，则，错；，正确；，只需即可，是的充分不必要条件3三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（题15）已知函数求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；设函数，求的值域【解析】 ，最小正周期由，得函数图象的对称轴方程为当时，取得最小值；当时，取得最大值2，所以的值域为16（题16）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点，为中点求证：；求二面角的余弦值；若四棱锥的体积为，求的长【解析】 平面，平面平面又是中点，平面建立直角坐标系，设则由知，平面，是平面的法向量设平面的法向量为，则且，二面角的余弦值为连结，设，是直角三角形，17（题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路214记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】 汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为万元 设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为万元选择公路2可能获利更多18（题18）已知函数若为的极值点，求的值；若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；求函数的单调区间【解析】 是极值点，即或2 在上在上，又，解得由可知和是的极值点在区间上的最大值为8令，得当时，此时在单调递减当时： 0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增19（题19）已知椭圆的离心率为若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点 i)当，求的值； ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式【解析】 ，解得椭圆的方程为 i)，椭圆的方程可化为 易知右焦点，据题意有： 由，有： 设， ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设，又点在椭圆上， 由有：则 又在椭圆上，故有 将，代入可得：20（题20）已知数列满足，点在直线上求数列的通项公式；若数列满足，求的值；对于中的数列，求证：【解析】 点在直线上，是以为首项，为公比的等比数列， 且，且；当时， 由知时， ，即 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2012.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数A. B. C. D. 2. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 3.已知数列的前项和为，且，则A. B. C. D. 4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. B. C. D. 6.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是 A. B. 或 C. 或 D. 或7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知点集，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则的面积的最大值是 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .开始输入kS=0，i=1i=i+1输出S结束是否10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .21133正视图侧视图俯视图21 （第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 .12.在极坐标系中，曲线和相交于点，则线段的中点 到极点的距离是 . 13.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 14.已知中， .一个圆心为，半径为的圆在 内，沿着的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆至少与的一边相切，则点到顶点的最短距离是 ，点的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分） 已知函数. （）若，求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）85809010095分数750.010.020.030.040.050.060.07 某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀. （）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；区间75，80)80，85)85，90)90，95)95，100人数50a350300b （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的 分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）CAFEBMD 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 平面，且是的中点. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）在线段上是否存在一点， 使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分） 设函数. （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求函数单调区间.19. （本小题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （）求椭圆的方程； （）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆 相交于，两点，设直线，的斜率分别为，若 ，试求满足的关系式.20（本小题满分13分） 已知各项均为非负整数的数列 ，满足，若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列设， （）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （）若数列，经过有限次变换，可变为数列设，求证，其中表示不超过的最大整数北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2012.3一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A C BB C DDB二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（）因为， 所以 ， 所以 . 平方得，=， 所以 . 6分（II）因为= = = =. 10分 当时，. 所以，当时，的最大值为； 当时，的最小值为. 13分（16）（本小题满分13分）解：（）依题意，. 4分（）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. 7分（）依题意，X的取值为0，1，2，新课标第一网，所以X的分布列为X012P ，所以X的数学期望为. 13分（17）（本小题满分14分） 证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面， 故平面. 4分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得 令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分（）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. 10分 （）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.14分（18）（本小题满分13分）解：因为所以. （）当时, , 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）因为， 5分 （1）当时,由得；由得. 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. 6分 （2）当时, 设，方程的判别式 7分 当时，此时. 由得,或； 由得. 所以函数单调递增区间是和, 单调递减区间. 9分 当时，此时.所以， 所以函数单调递增区间是. 10分 当时，此时. 由得； 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. 12分 当时, 此时，所以函数单调递减区间是. 13分（19）（本小题满分14分）解: （）依题意， ， 所以. 故椭圆的方程为. 4分 （）当直线的斜率不存在时，由解得. 不妨设， 因为，又，所以， 所以的关系式为，即. 7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 将代入整理化简得，. 设，则,. 9分又，.所以 12分所以，所以，所以的关系式为.13分综上所述，的关系式为. 14分（20）（本小题满分13分）解：（）若，则； ； ； 若，则 ； ； ； 4分（）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：易知和是互逆变换 5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ，则必有（若，则还可作变换）反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为所以，同理令，则，所以，因为，故由归纳假设，有，再由与互逆，有，所以，从而唯一性得证 9分（）显然，这是由于若对某个，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，所以为整数，于是，所以为除以后所得的余数，即13分北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学（理科） 2012.4第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）3若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）5已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）（A） （B） （C） （D）6若，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）7设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若对，有，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 8已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）（A） （B） （C） （D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_10的展开式中，的系数是_（用数字作答）11. 如图，为的直径，弦交于点若，则_ 12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_13. 已知函数 其中那么的零点是_；若的值域是，则的取值范围是_14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且的面积为则点，的横坐标之积为_；周长的最小值是_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在中，已知（）求角； （）若，求16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.； 10.； 11.； 12.； 13.和，； 14.，.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （）解：原式可化为 3分 因为， 所以 ， 所以 5分 因为， 所以 6分 （）解：由余弦定理，得 8分 因为 ， 所以 10分 因为 ， 12分所以 13分16.（本小题满分13分）（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 1分记“甲以比获胜”为事件，则4分（）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件. 因为，乙以比获胜的概率为， 6分 乙以比获胜的概率为， 7分所以 8分（）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， 9分 ， 10分 ， 11分 12分比赛局数的分布列为： 13分17.（本小题满分14分）（）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分18.（本小题满分13分）（）解：当时， 2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 10分 当时，为常值函数，不存在单调区间 11分 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 13分19.（本小题满分14分）（）解：由 ， 得 . 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故. 4分所以椭圆的方程是. 5分（）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 7分所以 ，. 8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 9分设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 .12分将 ，代入上式，整理得 . 13分由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分. 14分20.（本小题满分13分）（）解：数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束，各数列依次为； 3分（）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束 5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”当时，数列由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列其它情形同理，得证在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是（）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕9分现将数列分为两类第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为，第二项最大()（其它情形同理） 当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为，为第一类数列 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数列总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束 13分2012年石景山区高三统一测试数学（理科）第卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合,，则等于（ ）ABCD2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B 第二象限C第三象限 D第四象限圆的圆心坐标是（ ）A BC D设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）ABCD5执行右面的框图，若输入的是， 则输出的值是（ ）ABCD6若展开式中的所有二项式系数和 为512，则该展开式中的常数项为 （ ）ABCD7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）ABCDACBDP8如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） ABCD第卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9设向量，且，则= 10等差数列前9项的和等于前4项的和若，则k =_BAEDFC11.如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，则线段的长为 12设函数的最小值为，则实数的取值范围是 13如图，圆内的正弦曲线 与轴围成的区域记为 (图中阴影部分)，随机 往圆内投一个点，则点落在区域内的 概率是 14集合 现给出下列函数：， 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的面积.（本小题满分13分） 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮 （）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望E； （）求乙至多投中2次的概率； （）求乙恰好比甲多投进2次的概率17 （本小题满分14分）C1A1CB1ABD 如图，三棱柱中，面，为的中点. （）求证：； （）求二面角的余弦值； （）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.18（本小题满分14分）已知函数. （）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值； （）求函数的单调区间； （）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.19（本小题满分13分） 已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（）求椭圆的方程； （）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程20（本小题满分13分） 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点()在函数的图像上，其中n 为正整数 （）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（）设（）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；（）记 ，求数列的前项和，并求使的的最小值2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分题号12345678答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案 三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）解：（）因为，由正弦定理，得 2分 4分 , ， 又 ， 6分（）由正弦定理，得， 8分 由 可得，由，可得 ， 11分 13分16（本小题满分13分）解：（）的可能取值为：0，1，2，3 1分 的分布列如下表：0123 4分 5分 （）乙至多投中2次的概率为 8分 （）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2， 则为互斥事件 10分 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为 13分17（本小题满分14分） （I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD 1分 BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 又D是AC的中点，OD/AB1 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 4分A1AC1zxyCB1BD （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 5分 设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 7分易知是面ABC的一个法向量. 8分 . 二面角C1BDC的余弦值为. 9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 12分 解之方程组无解. 13分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 14分18（本小题满分14分）解：（） 1分 由已知，解得. 3分（II）函数的定义域为.（1）当时, ，的单调递增区间为； 5分（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是. 8分 （II）由得，9分 由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分令，在上，所以在为减函数. , 所以. 14分19（本小题满分13分）解：（）由题意， -1分解得. -2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线与轴垂直时， 此时不符合题意故舍掉； -4分 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：， 代入消去得：. -6分 设 ，则， -7分所以 . -9分原点到直线的距离，所以三角形的面积.由， -12分所以直线或. -13分20（本小题满分13分）解：（I）因为 所以数列是“平方递推数列” . -2分 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. -3分 （II）， . -5分 ， . -7分（III） . -10分 . -13分注：若有其它解法，请酌情给分北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若，是虚数单位，且，则的值为 （A） （B） （C） （D）（2）若集合，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若实数，满足不等式组则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （4）右图给出的是计算的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） （5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（A）16（B）18（C）24（D）32（6）已知，若，成等比数列，则的值为 C （A）（B）（C）（D）（7）在直角梯形中，已知，若为的中点，则的值为 （A） （B） （C）
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