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专题六 导数的综合问题一、单选题1设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】求得函数，把在上有两个极值点转化为方程在区间上由两个不等式的实数根，令，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在区间上有两个极值点，等价于关于的方程在区间上由两个不等式的实数根，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，当时，当时，要使得函数在区间上有两个极值点，则满足，即a的取值范围是.故选：D.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.2已知函数，若，使成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】当时，求得函数的值域为，当时，求得，当时，利用导数求得函数的单调性，可得，根据题意，转化为值域包含的值域，得出不等式，求得；当时，求得的值域为，满足题意，进而求得实数的取值范围.【详解】当时，函数，所以函数的值域为，当时，函数，可得，当时，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，因为对，使成立，转化为值域包含的值域，所以，即，解得，所以；当时，令，解得，当时，单调递增，此时值域为，满足对，使成立，综上所述，实数的取值范围为.故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.3若存在实数x，y满足，则（ ）AB0C1D【答案】C【分析】令，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令，结合基本不等式，求得，进而得到，求得的值，即可求解.【详解】令函数，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当，可得，令函数，则，当且仅当时取等号，又由，所以，所以，所以故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.4（2020全国高二课时练习）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【详解】解：由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，解集为，故选：A5（2020全国高二课时练习）已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）ABC或D或【答案】C【分析】设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.【详解】设切点为，则，切线斜率为 所以切线方程为，因为过点 则 解得或，所以切线方程为或故选：C6（2020全国）设函数在上可导，则等于（ ）ABCD以上都不对【答案】C【分析】根据导数的定义，直接得出结果.【详解】根据导数的定义， .所以故选：C.7（2020全国）已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】由函数是递增函数可得在R上恒成立，再分离参数，由取值范围即得结果.【详解】在R上为增函数，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故选：D.8已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.【详解】，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得. 故选：D.9（2020全国高二课时练习）已知函数，若关于方程恰好有4个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】求得的导数，可得单调区间和极值，作出的图象，将方程因式分解为，则或，从而有3个实数根，即函数与有3个交点，数形结合即可得到的取值范围，从而得解；【详解】解：函数的导数为，当时，递增；当或时，递减，可得在处取得极小值0，在处取得极大值，作出的图象如下所示，因为恰好有4个不相等的实根，所以，解得或，当时，有个实数解，所以应有个实数根，即函数与有3个交点，所以，即故选：D【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力10若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）ABCD【答案】C【分析】利用导数求函数的极值点，再比较选项.【详解】，当，；当或时，故的极大值点与极小值点分别为，则，所以故选：C11（2020全国）若函数在上可导，且，则（ ）ABCD以上答案都不对【答案】C【分析】由已知等式两边同时求导，取，求出的值，利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题【详解】，,，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：，.故选：C【点睛】本题考查导数的运算，求出的值是关键，属于中档题12已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）ABCD1【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.【详解】函数，则且，所以，所以，解得，所以，（），令，即，解得，令，即，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以.故选：C13已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】根据极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，结合图象即可求得结论【详解】解：因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点有1个所以函数在区间内极小值点的个数是1故选：14（2020全国高三其他模拟）已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】设函数，求得时，得到当时，得到函数的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，函数在上单调递增，可得当时，所以当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.15（2020六安市城南中学高三月考（理）已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的是（ ）AB在区间的最大值为0C有2个零点D的极大值是正数【答案】B【分析】由是导函数的两个零点，求得，可判定A错误；代入导数，求得函数的单调性与极值，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得因为是导函数的两个零点，可得，其中，可得，所以，故A错误；所以函数，可得，当时，单调递减；当时，单调递增当时，单调递减，所以函数在上递减，在上递增，在上递减，且，故在的最大值是，所以B正确；函数的大致图象，如图所示，所以函数只有一个零点，故C不正确，D不正确.故选：B.【点睛】利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：（1）当导函数不等式可解时，解不等式或，求出函数的单调区间；（2）当方程可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间的符号，从而确定函数的单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据结构特征，利用图像与性质确定的符号，从而确定单调区间.16（2020湖北荆州市高三月考）设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.17（2020全国高三其他模拟）已知函数.若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】把方程在区间上有解，转化为在区间上有解，构造函数，利用导数求得函数在上的单调性，进而求得实数的取值范围.【详解】当时，直线在图象的上方，故当时，由方程在区间上有解，可得在区间上有解，令，则，因为，所以，则由，得，所以当时，当时，于是在上单调递减，在上单调递增，又，所以实数的取值范围为，故先：C.【点睛】含参数的方程有解问题的处理方法常常是分参数法，通常将原问题转化为求函数的值域问题，对于分子分母都有对数式的式子的求导，常常需要变形，分离出常数，如本题中的函数，直接求导比较繁琐，可变形转化为，再求导就比较简单.二、多选题18已知函数（是自然对数的底数），的图像在上有两个交点，则实数的值可能是（ ）ABCD【答案】AB【分析】由函数，的图像在上有两个交点，转化为方程在上有两个不等实根，设，利用导数求得函数的单调性，画出函数的图象，结合图象和选项，即可求解.【详解】由函数，的图像在上有两个交点可转化为方程在上有两个不等的实数根，即方程在上有两个不等实根，即方程在上有两个不等实根设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，又由，且当时，故可由此作出的大致图像，如图所示，则由图像可知，解得，结合选项可知A，B符合题意.故选：AB.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.19已知函数，则下列结论正确的是（ ）A存在唯一极值点，且B恰有3个零点C当时，函数与的图象有两个交点D若且，则【答案】ACD【分析】根据导数求得函数在上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正确；利用导数求得函数 在，单调递减，进而得到函数 只有2个零点，可判定B不正确；由，转化为函数和 的图象的交点个数，可判定C正确；由，化简得到 ，结合单调性，可判定D正确.【详解】由函数，可得 ，则，所以在上为单调递减函数，又由 ，所以函数在区间内只有一个极值点，所以A正确；由函数，当时，可得 ，因为，所以 ，函数在单调递减；又由，所以函数在上只有一个零点，当时，可得 ，因为，所以 ，函数在单调递减；又由，所以函数在上只有一个零点，综上可得函数在定义域内只有2个零点，所以B不正确；令，即，即 ，设， ，可得，则 ，所以函数单调递增，又由，可得当时， ，函数单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，最小值为，又由，因为，则 ，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数和 的图象有两个交点，所以C正确；由，若时，因为 ，可得，即 ，因为在单调递减，所以 ，即，同理可知，若时，可得，所以D正确.故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.20已知函数，则下列结论正确的是（ ）A函数在上单调递减B函数在上有极小值C方程在上只有一个实根D方程在上有两个实根【答案】ABD【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，可判定A，由函数的单调性和极值的概念，可判定B，利用函数的单调性，极值、端点的函数值，可判定C；将非常的解转化为两个函数图象交点的个数，结合图象，可判定D，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，当，即，所以，所以，解得，当时，；当时，当，即，所以，所以，解得，当时，；当时，所以当时，单调递减，所以A正确；又因为当时，当时，所以在出取得极小值，所以B正确；因为，所以在上不只有一个实数根，所以C不正确；因为方程，即，即，所以，正切函数在为单调递增函数，又由函数，可得，当和时，当时，且当时，作出两函数的大致图象，如图所示，由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，所以D正确.故选：ABD.【点睛】利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：（1）当导函数不等式可解时，解不等式或，求出函数的单调区间；（2）当方程可解时，解出方程的实根，依据实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间的符号，从而确定函数的单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据结构特征，利用图像与性质确定的符号，从而确定单调区间.第II卷（非选择题）三、解答题21已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）对于任意的均有恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析； （2）.【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导函数的符号，即可求解；（2）取代入不等式求得，转化为当时，恒成立，设，利用导数求得函数的单调性，得到，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，又由，当时，可得，在区间上单调递增；当时，令，即，解得或（舍去），此时当时，单调递减，当时，单调递增.（2）取代入不等式，可得，解得，下面证明：当时，恒成立，设，其中，则，因为，可得，函数单调递增，可得，令，可得，当时，可得，函数单调递减，所以，所以，所以当时，恒成立，即实数a的取值范围.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.22（2020全国高二单元测试）已知函数（1）如果是关于的不等式的解，求实数a的取值范围；（2）判断在和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点，使得成立的充要条件是a【答案】（1）；（2）函数在上单调递减，在上单调递增，理由见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意，得到，即可求得实数a的取值范围；（2）由，求得，结合导数的符号，即可求解；（3）由，求得成立，由（2）结合函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由是关于的不等式的解，所以，解得.求实数a的取值范围.（2）由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（3）函数存在零点，使得成立的充要条件是，所以成立，根据无穷等比数列相关性质，且，由（2）可得在上单调递减，在上单调递增，所以，反之亦然.23已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求证：在上有唯一零点【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）求得导数，得到和，进而求得曲线在点处的切线方程；（2）由求得，利用导数的符号，求得函数的单调性，结合，和时，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，则，又由，所以曲线在点处的切线方程为；（2）由，可得，令，可得，即，解得，所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，当时，所以在上有唯一零点【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用24已知函数().（1）讨论函数的单调性（2）若函数的图像经过点，求证：().【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，得到在上单调递增；当时，求得导数，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）求得，化简，设()，求得，设，得到在上单调递增，得出当时在上有唯一的零点，得出函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义城为，当时，函数在上单调递增；当时，可得，令，得，当时，在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，（2）若函数的图像经过点，则，得，即，则，设()，则，设，则，当时，故在上单调递增，又，所以当时在上有唯一的零点，不妨设，则，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以恒成立，即()恒成立.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；25当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式；（2）讨论关于x的方程解的个数.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）当时，设，求得函数的单调区间和最值得出，得到，设，根据，转化为恒成立，求得，再根据，利用导数求得函数的单调区间和最大值，得到，进而求得解析式；（2）由方程，化简得到，令，得到，设，求得，分和，结合函数的单调性与极值，以及零点的存在性定理，即可求解.【详解】（1）当时，函数，可设， 则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以，设，因为，所以在上恒成立所以在上恒成立，所以，解得，所以，又由，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为，所以，综上（2）由方程，整理可得，即，可得，令，可得，即，设，可得，当时，可得，此时单调递减，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点.当 可得，令，则，（i）当时，即时，可得，即，此时单调递增，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点.（ii）当时，即时，此时，即方程有两解，且，不妨设，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递减；当时，函数取得极大值，当，函数取得极小值，又因为，所以，当时，所以在上有唯一的解；因为时，当时，可得所以且，解得，所以在上恰有一根，所以可得函数在上恰有三根，综上可得，当或时，方程恰有一根；当时，方程恰有三根.【点睛】求解有关函数零点问题的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.26设函数，是函数的导函数（1）讨论的单调性（2）若，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得的定义域和，结合定义域和导数的符号，即可求解；（2）由，求得，得到，根据（1）中函数的单调性，求得，令，得到，利用累加法，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，可得，令，可得或，因为时，当，当，所以上单调递减，在上单调递增；（2）由题意，函数且可得，因为，可得，解得或 (舍去)，故由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当函数取得最小值，最小值，即，即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，令，则整理得，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.27讨论函数的极值；（2）若，证明：函数有且仅有两个零点，且.【答案】（1）当时， 无极值；当时，极大值为，无极小值；（2）证明见解析.【分析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号和极值的概念，即可求解.（2）由，求得，得出存在唯一使得，得到在上单调递减，在上单调递增，再由零点的存在性定理，得到在内存在唯一实根，是在上的唯一零点，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，若，则当时，故函数在上单调递增，函数无极值；若，当时，；当，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值，无极小值.综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值为，无极小值.（2）因为，可得.因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.又由，故存在唯一使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以在内存在唯一实根.由，可得，又由，故是在上的唯一零点，记作，则，综上，函数有且仅有两个零点，且.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.28，.（1）若存在实数使得恒成立，求的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点个数.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由在上恒成立，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，列出不等式，即可求解；（2） （）当时，结合和的取值，得出函数只有1个零点.（）当时，令，求得，令，求得，分和两种情况，结合函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，（其中），要使在上恒成立，可得，又由，令，解得，即函数在单调递增，令，解得，即函数在单调递减，所以，要使得，可得，解得，即实数的取值范围.（2）由函数和.（）当时，当时，可得，所以恒大于零，函数没有零点；当时，可得，可得恒小于零，没有零点；当时，令，可得，所以函数由一个零点，综上可得，当时，在只有1个零点.（）当时，令，则，可得，令，可得，因为，所以恒成立，在单调递增，由，即时，可得在上恒小于零，在上恒大于零，即在上单调递减，在上单调递增，所以，在只有个零点当时，由于在单调递增，所以在上恒小于零，在上单调递减，因为，所以在上有唯一零点.又因为，所以存在，使得，由于在单调递增，所以在在单调递减，在单调递增，所以，又因为，所以，由，知在上有唯一零点，结合在单调递增，在上有唯一零点，又，时，在上有个零点综上所述，当或时，在只有个零点；当时，在上有个零点.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.29已知实数，设函数，对任意均有 求的取值范围注：e=271828为自然对数的底数【答案】【分析】把转化为，令，设，分 和两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由，即，解得，当时，等价于，令，则，设，则，（i）当 时，则记，则，可得与的关系，如下表所示：10+单调递减极小值单调递增所以因此，（ii）当时，令 ，则，故在上单调递增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求a的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用30若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分和两种情况讨论，结合导数得到函数的单调性与极值，即可求解；（2）设，得到，转化为，令，得到，结合函数单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，则，若，令，即，解得，此时函数有唯一零点；若，令，即，解得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数，故在区间上，的极大值为，又当时，当时，故由题意得，即，可得，故所求实数的取值范围是.（2）因为有两个相异零点，设，则，可得，则，要证，只需，即，由，即，只需，即令，则，于是，即为，设函数，可得故函数是上的增函数，所以，即.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；31（2020全国高二课时练习）已知函数.（1）求证：当时，；（2）设实数k使得对恒成立，求k的最大值.【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.（2）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围.【详解】（1）证明：， 令，则，因为，所以在上单调递增，所以，即当时，.（2）由（1）可知，当时，对恒成立，当时，令，则，所以当时，因此在区间上单调递减，当时，即，所以当时，并非对恒成立，综上可知，k的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题考查了构造新函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是由（1）确定当时，对恒成立，考查了运算求解能力.32（2020全国）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求函数的极值.【答案】（1）答案见解析；（2），.【分析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，求得函数的导数，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，若，由，可得；由，可得，所以的递减区间为，递增区间为；若，由，可得；由，可得，所以的递减区间为，递增区间为.（2）当时，可得，则，由，即，解得或，当变化时，与的变化情况如下表：-0+0-递减极小值递增极大值递减所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值.33已知函数的图象在处的切线斜率等于，其中为自然对数的底数，.（1）若，当时，证明：；（2）若，证明：有两个极值点，在上恰有一个零点，且.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，计算，得出关于的方程，求出的值，得出函数的解析式，结合单调性与最值，即可证得结论；（2）令，根据函数的单调性得到有且仅有2个零点，设为，求出，得到，从而证明结论成立.【详解】（1）由题意，函数，可得所以，所以，当，则函数，由，可得，即证，设，因为，设，则，因此在上单调递增，所以，因此在上单调递增，所以，所以，即.（2）令，则所以，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增；所以由于，所以又因为，所以有且仅有两个零点，设为所以当时，；在上单调递增；当时，；在上单调递减；当时，；在上单调递增；又因为，所以函数有且仅有两个极值点，且在上恰有一个零点，因为，可得，所以，令，则.所以在上单调递增，所以，因此，即，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；34已知函数有两个零点，.（1）求a的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】有两个零点有两个相异实根，令，利用导数研究其单调性，根据的最值和图象确定a的取值范围； 不妨设,将要证不等式转化为，由题意得,两式相加减后再消去得到关于的函数表达式，进一步转化为证明，令，利用导数研究其单调性进而可证明.【详解】(1)有两个零点有两个相异实根令，则由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，又，当时，当时，当时，有两个零点时，实数a的取值范围为（2）不妨设,由题意得, ，,，要证：，只需证.，令，只需证，只需证：.令,，在递增，成立.综上所述，成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于常规题目关键难点是（2）中的消元换元转化为，并构造函数，利用导数进行证明.35求曲线在点处的切线方程；（2）证明：对任意的，都有.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得函数的导数，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由（1）求得，得到在上单调递增，根据，得出函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得定义域为，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由（1）知，可得，所以在上单调递增，又由，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，最小值为，即对任意的，都有.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接法：证明或，可直接转化为或；（2）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（3）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（4）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.36若，求的极值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）.【分析】（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）根据题意，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）若，则，定义域为，可得.令，解得，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增.所以的极小值为，没有极大值.（2）由，即，因为当时，有(等号不同时成立)，即，所以原不等式又等价于，要使得对任意，都有成立，即，令，则，当时，可得，所以在上为增函数，所以，故实数的取值范围是.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.37已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，若函数有两个极值点且.证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数符号，即可求解；（2）当时，求得函数，求得导数，根据题意，得出，设，利用导数求得函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数定义域为，可得，当时，所以在上单调递增；当时，令，即，解得，当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，可得函数，则的定义域为，可得由有两个极值点，且，则方程的判别式，且，得，且，所以 设，则在上恒成立，故在上单调递减，从而，即.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；38当时，令函数，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（2）令，当时，若函数的极小值为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把不等式在区间上有解，转化为，当时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.（2）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】（1）当时，函数，不等式在区间上有解，则，由，所以当时，函数在上单调递增，则，所以，故实数的取值范围.（2）由，可得，当时，令，则或，当时，所以，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数的极小值为，由题设知，即，因为，所以，解得.【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.39（）令，讨论的单调性并求极值；（）令，若有两个零点；（i）求a的取值范围；（ii）若方程有两个实根，且，证明：【答案】（）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；（）（i）；（ii）证明见解析.【分析】（）求出即可表示出，再求出，根据导数的符号判断函数的单调性及求极值；（）（i）求出，分类讨论，当时单调递增，不可能有两个零点；当，根据导数的符号判断函数的单调性可知要使有两个零点，即使，得；（ii）利用换元法将等式有两个实根转化为有两个零点，进一步将所需不等式转化为证，需证，再次利用换元法令将所需证不等式转化为，利用导数证明上述不等式即可.【详解】（）因为所以，则，x2负0正单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为，单调递增区间为极小值为，无极大值.（）（i）有两个零点.因为当时，单调递增，不可能有两个零点；当时，令，得，单调递减；令，得，单调递增.所以要使有两个零点，即使，得，又因为，所以在存在唯一一个零点，且，所以在上存在唯一一个零点，符合题意.综上，当时，函数有两个零点.法二：有两个零点.等价于时，有两个实根，（1）令，当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增；，.要使（1）有两个实数根，即使，综上，当时，函数有两个零点.（ii）有两个实根，令，有两个零点，所以，所以（1）（2）要证，只需证，即证，所以只需证.由（1）（2）可得，只需证.设，令，则，所以只需证，即证令，则，即当时，成立.所以，即，即.40求的最小值；（2）设函数，讨论的单调性；（3）设函数，若函数的图像与的图像有，两个不同的交点，证明：.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求得最小值；（2）求出的表达式并求导，通分，分解因式，然后根据导函数在定义域内的零点的不同情况对实数进行分类，利用导数与函数单调性的关系讨论的单调性；（3）由题意可得有两个不同的根，则， 消去参数得，构造函数求导研究函数单调性并利用放缩法推出，再次构造函数，通过证明来证明.【详解】解：（1）.令，得，所以在上单调递增；令，得，所以在上单调递减.所以的最小值为.（2），定义域为，.当时，在上单调递增，在上单调通减.当时.令，得，所以在，上单调递增；令，得，所以在上单调递减.当时，在上单调递增.当时，令，得，所以在，上单调递增；令，得，所以在上单调递减.（3），因为函数的图象与的图象有两个不同的交点.所以关于的方程，即有两个不同的根.由题知，得，得.由，得，不妨设，记.令，则，所以在上单调递增，所以.则，即，所以.因为，所以，即.令，则在上单调递增.又，所以，即，所以.两边同时取对数可得，得证.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，和含参数的函数单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.难点一：（2）中根据导函数在定义域内的零点情况分类讨论；难点二：（3）中的由得到通过变形成，消去并得到关于要证不等式不等号左边的关于的表达式，进而整理为由表达的形式，利用换元得到关于单变量t的函数表达式.41设函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若有两个不等的零点，求实数的取值范围；（3）求证：在（2）的条件下【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）求得，得到和，结合点斜式，即可求解；（2）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（3）由函数零点的定义化简得到，要证，即证，构造新函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，函数，可得，则，即函数的图象在处的切线的斜率为，且，所以函数的图象在处的切线方程为.（2）函数的导数为，若时，在上单调递增，函数最多一个零点；若时，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由函数有两个不等的零点，可得，所以.（3）由（2）知，函数有两个零点时，函数恰好有两个零点，由，可得，于是，所以，令，可得，于是，所以，要证，即证，由，即证，设，可得，所以函数在上单调递增，所以，即，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；42（2020全国高二单元测试）已知函数（e为自然对数的底数）（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，求证：【答案】（1），切线方程为和；（2）证明见解析【分析】（1）由，求得，得到函数的零点，求得函数的导数，结合导数的几何意义，即可求得曲线在处的切线方程；（2）利用导数求得函数的单调性，根据（1）得到当时，结合分析法，即可作出证明.【详解】（1）由题意，函数，令，得，所以函数的零点，又由，可得，所以曲线在处的切线方程为又由，所以曲线在处的切线方程为（2）由（1）知，令，即，解得，当时，；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，由（1）知，当或时，；当时，下面证明：当时，当时，由，即，可得，令，可得，所以在上单调递增，所以对任意恒成立，当时，由，可得，记，不妨设，则，所以，要证，只需证，即证，又因为，只需证，即，因为，所以，所以只需证，令，则当时，函数为单调递减函数；当时，函数为单调递增函数，所以，所以，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；43（2020湖南高三月考）已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）证明：.（2）若是的极值点，且.若，且.证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得导数，利用，求得，根据导数的符号求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.（2）由（1）得到，令，结合函数的单调性和最值，得到，使得，设，求得的解析式，令，进而得到的单调性，得到在上单调递增，结合单调性，得出，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，所以，则，解得，故.令，则.由，解得；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即.（2）由（1）可知，则，设，则，由，得；由，得，在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，使得，即，因为，所以由，得，则在上单调递减.设，则.设，则.因为，且是减函数，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，则在上单调递减.因为，所以，即，即.因为，所以.
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