2010数学建模竞赛C题解答[1]1

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答 问题1：如图1，设P的坐标为 (x, y)， (x 0，y 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为只需考虑的情形（不妨假设）。对上述二元费用函数求偏导，令 （）结合图1，将（）式改写为 ，易知：所以 ，故经过和的直线方程分别为： 联立、解方程组得交点因为 x 0，y 0，所以 应满足： 且（a）当 时，此时交点在轴上，将代入式，可得，即交点与点重合（如图2）。 (b) 当时，交点在梯形内（如图1）。，因为 ，所以模型简化为： ，(c) 当时，此时交点在轴上，即无共用管线的情形（如图3）。 ，。对于共用管道费用与非共用管道费用相同的情形，只需在上式中令。 问题2：对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。附加费用采用了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如表1所示。 表1 三家工程咨询公司估计的附加费用工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。权重的估计采用层次分析法确定。由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。则这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。则构成的成对比较矩阵为： 该矩阵最大特征值为，为一致矩阵，其一致性指标CI=0。则该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。因此权重向量为 。附加费用估计为：(万元)。用MATLAB求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下：A=1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1;V,D=eig(A);p,k=max(eig(A);v=V(:,k);w=v/sum(v);CI=(p-3)/2;RI=0.58;CR=CI/RI;CR,p,wCR = 0p = 3w = 0.5000 0.2500 0.2500a=21,24,20;w0=a*ww0 =21.5000 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图4）。图4模型一：一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为其中t表示城乡建设费用的比值（）。 求导，令，得驻点当 时，取得最小值或对模型用MATLAB软件进行数值求解。程序如下：g=inline(0.5*(5+z+30.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(52+(8-z)2)0.5,z);z,g=fminbnd(g,0,15);x=0.5*(15-30.5*(z-5);y=0.5*(5+z-15/(30.5);f=7.2*g;x,y,z,fx =5.4494y =1.8538z =7.3678f =282.6973结果为 。用LINGO程序求解，程序如下：model:a=5;b=8;c=15;l=20;t=(7.2+21.5)/7.2;u=0.5*(a+z+30.5*c);v=t*sqrt(b-z)2+(l-c)2);g=u+v;min=g;x=0.5*(c-(z-a)*30.5);y=0.5*(a+z-c/(30.5);f=7.2*g;end运行结果：Z 7.367829 0.000000 X 5.449400 0.000000 Y 1.853788 0.1692933E-07 F 282.6973 0.000000模型二：如图4，设P点坐标为(x, y)，Q点坐标为 (z, 0)，t表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为 其中。用LINGO程序求解，程序如下：model:a=5;b=8;c=15;l=20;t=28.7/7.2;f1=sqrt(x2+(a-y)2);f2=sqrt(c-x)2+(z-y)2);f3=y;f4=t*sqrt(b-z)2+(l-c)2);f=f1+f2+f3+f4;M=7.2*f;min=M;end运行结果：X 5.449400 0.1246698E-08 Y 1.853788 0.1116410E-08 Z 7.367829 -0.1861630E-08 F 39.26352 0.000000 M 282.6973两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(5.4462,1.8556)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(5.4593,1.8481)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。问题3： 考虑各部分管道费率不等的情况。分别用记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图5)，则总费用的表达式为其中。图5用LINGO程序求解，程序如下：model:a=5;b=8;c=15;l=20;k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5;f1=k1*sqrt(x2+(a-y)2);f2=k2*sqrt(c-x)2+(z-y)2);f3=k3*y;f4=k4*sqrt(b-z)2+(l-c)2);F=f1+f2+f3+f4;min=F;end运行结果：X 6.733784 0.000000 Y 0.1388990 0.000000 Z 7.279503 0.000000 F 251.9685 0.000000两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。8