微分方程解法稻谷书苑

第八章第八章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念8.2 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程8.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程8.4 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例退退 出出1详细课资 第八章第八章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介 我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。2详细课资 8.1 8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一.引例 例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：）式两端积分，得对（及条件1)2(2)1(21xyxdxdy3详细课资 例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为42/sm,问汽车是否会撞到小孩？)4(1132)3(222xyccxydxxy，则所求曲线方程：），可得）代入（将条件（即解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：4详细课资)10(102)9(104,080710)8(2)7(45)6(10,0)5(42200212100022ttStvcSvctctSctdtdsvdtdsvSdtsdttttt从而得到得）式，代入（）式中，将条件代入（将条件在积分一次，得）式两端积分一次，得对（及条件在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要5详细课资的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：都是微分方程。导数，它们）式都含有未知函数的）式和（上述两例中，（。所以汽车不会撞到小孩（米）515.125.2105.222S二二.微分方程的基本概念微分方程的基本概念 凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differential equation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinary differential equation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如6详细课资)11()(22xfqydxdypdxyd)13(01)12(2nndxydxydxdy等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。7详细课资如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。8详细课资的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解所研究系统所处的初始的定解条件，即根据或形如10,100000ttxdtdSSy时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initial value condition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为件二阶微分方程的初值条;00yyxx都是给定的值。其中00000,.,00yyxyyyyxxxx9详细课资 从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如cxy2是方程（1）的积分曲线族,而）点的一条积分曲线。，只是其中过（2112 xy10详细课资 8.2 8.2 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 一阶微分方程（一阶微分方程（differential equation of differential equation of first orderfirst order）而另一端只含的函数和端只含的形式，即可表示为一如果能化成,)2()()()1(),(dyydxxfdyygyxfy(differential equation of separated variables).的微分方程。的方程均为可分离变量形如0)()()()()()(2121xQxQdxyPxPygxfdxdy离变量的微分方程那么原方程就称为可分的函数和,dxx11详细课资为任意常数。其中可得到微分方程的通解）式两端分别积分，便对（C2Cdxxfdyyg)()(例1 求微分方程的通解。yxy23解 首先分离变量，得313113132ln31xCxCCxCeyCeeeyeyCxydxxdyy，则所求得通解为仍是任意常数，令其为因或即两端积分，得12详细课资 以后为了方便起见，我们可把但要写成,lnlnyy记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2 求微分方程dyxydxyx)1()1(22的通解即在条件下的特解10 xy解 分离变量，得)1(1ln21)1ln(21)1ln(2111222222xCyCxydxxxdyyy即两端积分，得13详细课资xyCyx从而所求特解为确定再利用初值条件,1,11 例3 种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数 的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子bNb 成正比，试确定种群生长规律。bkaNNbadtdNNbNbkdtdN其中或：解由题设条件可得方程)(14详细课资CabtNbNabdtdNNbNNbNadtNbNdNlnln)()()(得两边积分分离变量，得。这就是种群的生长规律于是abtabtabtabteCbCeCbeNCeNbN11115详细课资 8.3 一阶线性微分方程 分方程的方程叫做一阶线性微形如)1()()(xQyxPy（linear differential equation of firstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数的一次式。y的解法。齐次微分方程我们先来讨论一阶线性方程。）成为线性非其次微分时，方程（当程；）称为线性其次微分方则方程（如果)2(0)(10)(1,0)(yxPyxQxQ16详细课资CdxxPydxxPydyln)(ln)(2.两端积分，得后，得方程，分离变量）是可分离变量的微分方程（一阶线性齐次微分方程一.012ln1)(CxCeCeyyxyCeyxdxxdxxP的通解为比如线性齐次微分方程）的通解。程（这就是线性齐次微分方即17详细课资二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当的特殊0)(xQ它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,）的解。就是方程（）则（）（）中，若由此能确定出将它代入方程（14,1)4()()(xCexCydxxP18详细课资dxxPdxxPexCxPedxxdCdxdy)()()()()(4）式可得事实上，由（CdxexQxCexQxCxQexCxPexCxPedxxdCdxxPdxxPdxxPdxxPdxxP)()()()()()()()()()()()()()()(1积分得即）式中，有代入（19详细课资)5()(14)()(CdxexQeydxxpdxxP通解：）的性非其次方程（）式，就得到了一阶线将其代入（上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（method of constant）.将（5）式改写成两项之和的形式dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(20详细课资上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。21详细课资对应齐次方程利用常数变易法，先求方法一，其中它是一阶线性微分方程将方程改写为解的通解求方程例xexQxxPxexyyeyyxxxx)(,1)(1Cxydxxdyyyxylnlnln1101两边积分，得量：的通解，为此，分离变22详细课资)(1)()()(),(CexyCexCexCxxCyxCxCxCyxxx于是原方程的通解为解得原方程，经整理得代入并将的待定函数换成将或 方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得23详细课资)()(lnln11CdxexeeCdxexeeyxxxdxxxdxx)(1)(1CexCdxexxx24详细课资），得代入公式（程，其中这是一阶线性非齐次方原方程可化为例51)(,2)(12222xxxQxxPxxxydxdy)1(222Cexxeydxxdxx25详细课资21222222ln22ln221121,21,0)12(1)1(1)1(xxyCyxCxxxCdxxxxxCdxexxexxx故所求特解为得再由初值条件26详细课资自变量，则原方程化为作为看作未知函数，但若把线性微分方程的一阶未知函数显然这个方程不是关于解的通解。求方程例yxydyyxydx,)3(34233)(,3)(3yyQyyPxyxydydx其中的一阶线性微分方程，这是关于未知函数27详细课资3433ln33ln3333)()()(5CyyCyyCdyyCdyeyeCeyexyydyydyy）（），得代入通解公式（28详细课资方程的方程称为伯努利微分形如伯努利微分方程三)6()1,0()()(.nyxQyxPdxdyn(Bernoulli differential equation).分方程。性微代换，把它化为一阶线时，我们可以通过变量方程，当时，就是一阶线性微分或当1,010nnn29详细课资)()()(11)()(111xQyxPdxydnxQyxPdxdyyynnnnn或，得方程两边同时除以)()1()()1(,1xQnzxPndxdzyzn则上式可化为引入新的未知函数30详细课资255256662151)(511.4xydxydxyxdxdyyyyxxydxdyzyzn即除方程两端，得，以解此方程为伯努利方程的通解求方程例通解。程的，便可以得到伯努利方代替通解后，以求出其的一阶线性微分方程，这是关于未知函数31详细课资，则上述方程成为令5 yz5325ln52ln5525225)25()5()5(55CxxCxxCdxexeCdxexezxzxdxdzxxdxxdxx得方程，代入通解公式，这是一个一阶线性微分32详细课资5355251Cxxyzy，得所求方程的通解为代替以33详细课资 8.4 可降阶的高阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differential equation of higher order）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。阶的微分方程两边积分一次，得一个方程的未知函数的一阶微分则原方程可化为关于新作为新的未知函数，要把对于此类微分方程，只型的高阶微分方程一1)()(.)1()1()(ndxxfdyyxfynnn34详细课资个任意常数的通解。的含有次后，便可得到依次积分同理可得nxfynCdxCdxxfyCdxxfynnn)()()()(21)2(1)1(3221221212)(221cos81sin41cos21,3)(sin1CxCxCxeyCxCxeyCxeynxfyxeyxxxnx 连续积分三次，得型方程，解这是的通解。求微分方程例35详细课资出其特解，要求个相互独立的任意常数有阶微分方程的通解中含是所求的通解。是三个任意常数，这就nnCCC321,例2 一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度.sin2ta 试求其位移s与时间t的关系式。解 由题意知0,0)()1(sin2000)(22tttndtdsvSxfytdtsd条件为运动，所以初值物体是由静止状态开始型的二阶微分方程。是属于则需要n个初值条件。36详细课资系式。这就是位移与时间的关）的特解为故方程（得出由条件分一次得将其代入上式中，在积可得由条件）式两端积分一次，得对（tttSCSCtttSCdtdsCttdtdsttsin1,0,0sin,1,0cos212202210137详细课资，右端不显含未知函数这种微分方程的特点是型的微分方程三yyxfy),(.2111),(:),(),(.),(),(),(CdxCxyCxyCxppxpxfpxpyxpy到原方程的通解对它进行积分，便可则解它的通的一阶微分方程，求出这是一个关于原方程就化成了那么如果设代入原方程，得则，令解该方程不显含的通解求方程例,),(ln3dxdpyxpyyyyyx 38详细课资xdxppdpppdxdpxlnln分离变量得的特解。满足初值条件求方程例这就是该方程的通解。对上式再进行积分，得或即两边积分得0,041lnlnln)ln(ln00211111 xxxCxCyyxyyCeCyepyxCpCxp39详细课资其通解为：的一阶线性微分方程，这是关于代入原方程，得令解所给方程不显含pxppxpyy),(.)(1Cdxxeepdxdx1)()(111xeCCexeeCdxxeexxxxxx40详细课资121,10211,1,02202210 xxeyCyCxxeyxepyCyxxxxx所求特解为得出再由对上式两端积分，得于是可得由初值条件并利，我们仍令不显含自变量这种微分方程的特点是型的微分方程三),(),(.xpyxyyfy 的导数，即化为对，把用复合函数的求导法则yy dydppdxdydydpdxdpy 41详细课资求出其通解的一阶微分方程，设法这是关于变量原方程化为pypyfdydpp,),(得到原方程分离变量后积分，便可),(1Cypy并分离变量，得时，约去，当，代入原方程，得则，令量解此方程中不显含自变的通解。求微分方程例的通解：pyppdydpypdydppypyxyyyCxCydy0002,0)(25),(2221 42详细课资yCdxdyyCpCypydypdp111lnln21ln2或即两端积分得232121231)(CxCyCxCydxCdyy：两边积分后得所求通解分离变量43详细课资23211)(00)(0CxCyyCCyp方程的通解是也包含在其中，所以原），解之中（，显然它包含在上述通任意常数，则若44详细课资 8.5 二阶常系数线性微分方程）（为常数形如1).()(qpxfqyypy 的微分方程称为二阶常系数线性微分方程（linear second order differential equation with constant coefficients），其中f(x)叫做自由项，当0)(xf 时，方程（1）叫做二阶线性齐次微分方程，当0)(xf时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分 方程。45详细课资下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构 定理1 如果 是二阶线性齐次方程)()(21xyxy与)2(0 qyypy）的解，所以方程（证由于是是任意常数。其中也是它的解的线性组合的两个解，那么2.,.2121221121yyCCyCyCyy46详细课资）的通解。这是因为方程（常数，但它却不一定是两个任意与从形式上来看含有）的解。也是方程（所以）（）（代入原方程，有将220)()()(002122112211222211112211221122112211222111CCyCyCyyCyCqyypyCqyypyCyCyCqyCyCpyCyCyCyCqyypyqyypy 47详细课资）的通解。程（独立的任意常数，是方中才确实含有两个时，）的通解。当（不是方程任意常数，此时实质上，它只含有一个）（时，常数当2/2)(/221121221122212221221121yCyCkyyyCyCCyyCkCyCkyCyCyCykyy 48详细课资则是线性相关的。与是线性无关的，而与例如，）（否则称为线性无关）线性相关（与则称常数之比与如果两个函数xxxeeexceindependenlinearlydependencelinearlyyykyyxyxy3.,)(/)()(212121综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。49详细课资。由前面讨论我们次微分方程的通解结构下面讨论二阶线性非齐为任意常数。其中）的通解，是齐次方程（，那么的两个线性无关的特解）程（是二阶线性齐次微分方如果定理21221121.202.2CCyCyCyqyypyyy 知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。)3()(3*xfqyypyy 方程是二阶线性非齐次微分设定理50详细课资）的左端，得）代入方程（将（是齐次方程的解，因此而）的解，故有是方程（因为证）的通解。方程（是二阶线性非齐次微分的通解，那么是与之对应的齐次方程的一个特解，340)(33)4(_*_2211_ yqypyyxfqypyyyyyyyCyCy)()(0)()()()()(*_*_*_*_xfxfqypyyyqypyyyqyypyy 51详细课资）的通解。而它就是方程（意常数，从中也含有两个独立的任的任意常数，所以中含有两个独立通解由所对应的齐次方程的）的解。是方程（所以33*_2211_*_yyyyCyCyyyy二.二阶常系数线性齐次微分方程 由定理2 可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是yyy,各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数yy,间只差一个常数因52详细课资)5(002,2,)(2222 rxrxrxrxrxrxrxrxrxrxeqprrqepreereryreyeyeyreyrey）（即），得代入方程（，为此，将）。满足方程（，使找到待定常数看能否我们不妨设就具有上述特点。因此为常数）的特解，而指数函数方程（子，那么它就有可能是 我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：53详细课资还要设法求出的一个特解这时只能得到齐次方程是两个相等实根）的通解为（线性无关，从而方程与常数，所以由于。，）的两个特解这时只能得到方程（是两个相异实根）（不同的形式。解也有三种，相应的微分方程的通它们有三种不同的情形,)2(2/21241212121)(21212122,1212121rxxrxrxrrxrxreyrrreCeCyyyeyyeyeyrrqppr54详细课资0)()2(0)()2(2)2()().(),(),(/.2222221221 uqprrupruquruupururueururueyruueyxuxueyxuyyyyrxrxrxrx整理得），得代入方程（由于下面来求即设线性无关的特解出另一个与55详细课资rxxeyxxuuuuprqprrr 222)(,00020）的令一个特解由此可得到微分方程（即可满足要求，显然取常数且因为我们只要求于是得且此是特征方程的重根，因由于56详细课资)sin(cos)sin(cos,sincos,)3()()(2)(121)(2)(1212121xixeeyxixeeyyyxixeeyeyirirexCCyyyxxixxiixxixirx改写为将我们利用欧拉公式：为了化为实函数形式，但它们是复函数形式，无关的特解，是齐次方程的两个线性这时，是一对共扼复根程的通解为线性无关，从而齐次方与并且xeyyyxcos)(21221_1可知，由定理57详细课资）的通解。）按下表写出方程（求出特征根；的特征方程：）写出齐次方程所对应（通解的步骤如下：数线性齐次微分方程综上所述，求二阶常系通解为程的线性无关，所以齐次方与）的特解，且也是齐次方程（23)2(01)sincos(2sin)(21221_2_121_2qprrxCxCeyyyxeyyiyxx58详细课资特征方程 的根齐次方程 的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根02qprr21rr21rrrir2,10 qyypyxrxreCeCy2121rxxeCCy)(21xexCxCy)sincos(21xxeCeCyrrrryyy421212,4,10430431 所求的通解为此是两个不相等实根，因解得特征根为为解所给方程的特征方程的通解。求微分方程例59详细课资.2,40220022的特解满足初值条件求方程例ttSSSdtdSdtSdtttetCtSCSetCCtSrrrr)4()(44)()(101221021212，从而有代入通解，得将初值条件，故所求方程的通解为它有两个相等的实根所给方程的特征方程为解60详细课资tttetSCSetCCtS)64(62)4()(2022求特解为，于是所，代入上式便可得出再由条件那么)2sin2cos(.21,21052.052321212xCxCeyirirrryyyx 所得原方程的通解为解得特征根为对应的特征方程为解的通解求方程例61详细课资 三.二阶常系数线性非齐次微分方程 由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）的一个特解 的方法 我们只介绍当方程（3）中的 取两种常见形式时求 的方法，这种方法的特点是不用积分就可 求出来，把它叫做待定系数法。)(xf*y*y*y62详细课资并整理得），消去代入方程（现将的特解。）（的多项式）可能是方程为因此我们推测一类型的函数，数乘积的导数仍然是同积，而多项式与指数函的乘与指数函数是多项式）的右端因为方程（项式。次多是的一个是常数，型，其中xxxxxxmmxmexQxQxQeyxQxQeyexQyxxQexQyexpxfmxpexpxf3)()(2)()()()(1)()()()(3)()()()1(2*63详细课资)6()()()()()2()(2xpxQqpxQpxQm）式，比较等代入（是待定系数。将其中多项式次也是一个）两端恒等，须令次多项式，要使（是时，由于不是特征方程的根，即）（来确定：可分下列三种不同情形6)(,)(:)(6)(01)(1011102xQAAAAxAxAxAxQmxQmxpqpxQmmmmmmmm64详细课资.)(,1,*1010 xmmmexQyAAAmAAAx所求的特解，并得出从而定出个方程的联立方程组，的到含有未知数同次幂的系数，就可得式两端65详细课资中的系数。并用同样的方法来确定次多项式，可令是次多项式，即必须是）式两端恒等，要使（时，但是特征方程的单根，即）（)()()()(1)(602022xQxxQxQmxQmxQpqpmm，则方程综上所述，如果中的系数。并用待定系数法来确定次多项式，可令须是次多项式，从而必须是）式两边恒等，要使（，且时是特征方程的重根，此)()()()()(2)()(6020)3(22xpexfxQxQxxQmxQmxQpqpmxmm 66详细课资.210,)()(，根依次取是特征方程的单根或重不是特征根按同次的多项式，而是与的特解，其中kxpxQmmxmkexQxy)(3*）具有形如（.0,113)()(.13324 mxexpxfxyyyxm所以中齐次线性微分方程，其这是二阶方程常系数非解的一个特解求方程例.3,1032212rrrr其特征根为特征方程为所给方程对应的齐次的67详细课资10*0AxAy特解为不是特征根，所以应设由于31.31,11323313323*10100100*xyAAAAAxxAAxAy特解为于是求得原方程的一个解得同次幂的系数，得比较代入所给方程，得将68详细课资xAxAyeAxAxyxCCeyrrrryyymxeexpxfyyxeyyyxxxxmxxx426)(1)(,101202.1,14)()(.1,242510*102*21_21200 代入原方程，得将的一个特解为可设非齐次方程是特征方程的重根，故由于通解为因此对应的齐次方程的解得特征根为其特征方程为为原方程对应的齐次方程，所以该方程自由项解的特解满足初值条件求方程例69详细课资xxxxxxexxexCCyCyexxCCeyexyAAx)322()2(,2232)(32,0,323222103213*10又因为可得到根据初值条件则所求方程的通解为一个特解于是得到非齐次方程的同次幂系数，得比较等式两边70详细课资。或征根分别取不是特征方程的根或特按而次多项式，的都是和的特解，其中）具有形如：方程（此时可以证明如下结论次多项式次的分别是，是常数，型，其中因此所求特解为可得到由条件10,max)()(sin)(cos)(3,)()(sin)(cos)()(.232)2(.11*320iknlmmxxRxQxxRxxQexynlxxpxpxxpxxpexfexxeyCymmmmxknlnlxxxx71详细课资xxxABxBxBAxAyyxBxBxAxAyiirrxpxxpxxpxxpexxxfxxyynlnlxcossin)233(cos)233(,sin)(cos)(.2040)(,)(,1,0sin)(cos)(cos)(cos46010010*1010*2,12 并代入原方程，得求出以应设特解为不是特征方程的根，所由于其特征根为方程为对应的齐次方程的特征其中型，属于自由项解的一个特解。求微分方程例72详细课资xxxyBBAAABBBAAsin92cos31.92,0,0,310230302313*1010010010特解为于是求得原方程的一个从而解得得比较两端同类项系数，73详细课资xxBxAyxBxAxyiixpxpxxfxCxCyirryyxyynlsin2cossin)sincos(.4)(,0)(,1,0,sin4)(sincos,010sin47*21_.2,12 代入原方程中化简得将次方程的特解为是特征根，故应设非齐由于相应的原方程的自由项通解为所以对应的齐次方程的解得其特征根为，其特征方程是对应的齐次方程为解的通解。求方程例74详细课资xxxCxCyxxycos2sincoscos221*于是原方程的通解为特解得到非齐次方程的一个因此,0,2BA原理来帮助求出。解的叠加）的特解有时可用下述程（二阶线性非齐次微分方3）的特解。就是方程（的特解，那么与分别是方程与而函数之和，如是几个）的右端（设二阶线性非齐次方程定理7)()()7()()()(34*2*121*2*121yyxfqyypyxfqyypyyyxfxfqyypyxf 75详细课资 8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例 许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题 受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为C。6.32C。4.3176详细课资室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？C。1.21被排除在嫌疑犯之外。嫌疑犯之外，否则不能室，则他可被排除在。如果此时张某在办公时刻的间，也就是求要确定受害者死亡的时。是正常的，即假设受害者死亡时体温为，则：，并记晚设表示时刻尸体的温度解。dTCtTCTCtCT37)(374.31)1(,6.32)0(20877详细课资 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即tkktetTkeTCCTCetTktkdtdT110.05.111.21)(.110.0103115ln,4.315.111.21)1(5.11.6.321.21)1(1.21)()1.21(于是所以又因为所以因为此微分方程的通解为。可分离变量的微分方程为常数，这是一个一阶其中78详细课资。能被排除在嫌疑犯之外，因此张某不：在下午即被害人死亡时间大约分小时分小时分小时所以分小时小时，所以时，有当。23523557220857295.2375.111.2137110.0dtTteCT变化规律。间随时量盐水，试求容器内含盐的速度抽出混合均匀的淡盐水，同时以的速度注入的公斤，现以公斤盐水，内含食盐设容器内有二。含盐量问题txLLkgLmin/2/01.0min/21010079详细课资dtttxdtdxdtttxdttttxtdtdxdtdxxxdtttxxtxxtx2)23(100)(301.0.2)23(100)(,)23(100)(301.0),(于是可得方程：（公斤）变，故抽出的盐量为内浓度可以近似看作不的时间间隔到时刻盐水的浓度为（公斤），由于注入盐水中所含盐量为抽出盐水中所含盐量注入盐水中所含盐量量为：时间内，含盐量的改变，注意到在变到时间间隔内，含盐量从到考虑从时刻方法。用建立微分方程的一种常程的微元分析法，这是的分析得出微分方的微小增量我们采用通过对的变化规律随时间为了求出含盐量解80详细课资2442)100(109)100(01.0109)100()100(01.0)(53.8,10)0(03.01002ttxtxCtCttxxxtdtdx的变化规律为随时间量，所以容器内含盐有初值条件可得方程的通解），可得此节的公式（；利用程，且有初值条件这是一阶线性非齐次方或81详细课资 三.悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。解 以绳索所在的平面为 平面，设绳索最低点为y轴上的P点，如图81所示。考察绳索上从点p到另一点Q(x,y)的一段弧 ，该段弧长为 ，绳索线密度为 ,则这段绳索所受重力为 。由于绳索是软的，xoyQPllgl力恰好平衡，所以绳索所受重力及两个张，则这段角，设其大小为轴正向成点所受张力与在，设其大小为点所受的张力是水平的这段绳索在向。这样，力总沿着绳索的切线方所以绳索上各点所受张TxQSPQP.82详细课资lSgSTglTtancos,sin上面两式相除，得122000202)1ln(1,0,)1()1(,tan),(CxSgpppSgdxdpdxdpypyyayaOPdxySgydxylyxyyxxxx 解得化为，则上述二阶微分方程令条件为则上面微分方程的初值微分方程。设这就是绳索曲线满足的于是则设绳索曲线方程为83详细课资xSgppCpyxx)1ln(002100，从而代入，得将初值条件下得曲线方程为这样，绳索在平衡状态得取代入，得将两边积分得代入，得将变形整理得.0,)(21)(21)(212202CgSagSaCayCeegSydxeedydxdypeepxxSgxSgxSgxSgxSgxSg84详细课资线方程。此曲线方程又称为悬链)(21xSgxSgeegSy85详细课资