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3.4三维图形变换,.三维基本变换 .三维图形的投影变换,3.4.1 三维基本变换,以二维变换为基础，很容易引伸到三维变换。 二维点的位置向量其齐次坐标是用三个分量x y 1来表示的，三维点的位置向量则要用四个分量x y z 1来表示了。相应的变换矩阵也要用T4X4方阵的形式。,将矩阵分为四部分，则每个子矩阵对图形的变换作用为：,3X3方阵 产生三维图形的比例、 对称、旋转、错切等基本变换。 l m n产生沿X、Y、Z方向的平移变换。 p q rT产生图形的透视变换。 s产生图形的总比例变换。,1、比例变换,与二维比例变换类似，主对角线上的元素a e j起局部比例变换的作用，而元素s则起整体比例变换的作用。 例如令非对角线上的元素全为零，s=1，对空间点的位置向量进行变换，即：,比例变换矩阵,当a=e=j=1，s1时，产生整体等比例变换。,整体等比例变换矩阵,等比例变换,2、平移变换,平移变换矩阵,3、旋转变换,1） 绕X轴旋转角,空间立体绕x轴旋转时,立体上各点的x坐标不变,只有y、z坐标改变。变换矩阵为：,2） 绕Y轴旋转角 变换矩阵为：,3、旋转变换,3） 绕Z轴旋转角 变换矩阵为：,3、旋转变换,4、错切变换,错切变换是指三维立体沿x、y、z三个方向产生错切，错切变换是画斜轴测图的基础，其变换矩阵的一般形式为： 按X、Y、Z轴三个不同的方向，可分为6种情况 ：,1） 沿x含y错切 变换矩阵为： 所以： x y z 1 T x(y)=x+dy y z 1=x* y* z* 1,沿y含x错切变换矩阵为：,沿z含x错切变换矩阵为：,沿y含z错切变换矩阵为：,沿y含z错切变换矩阵为：,沿z含y错切变换矩阵为：,同理：沿x含z错切变换矩阵为：,延其它方向错切,5、对称变换,二维对称变换是对称于坐标轴或某一特定的直线或原点。 三维最简单的对称变换是对称于坐标平面的变换，即变换前后的两个图形对称于某一坐标平面。,1）对称于xoz面 若对称于xoz面，则图形点集的x、z坐标不会改变，仅y坐标改变符号，故只须将产生恒等变换的单位矩阵中主管y向变化的第二列元素异号，即可得到对称于xoz面的变换矩阵Txoz为：,变换后点的坐标为： x* y* z* 1=x y z 1 Txoz=x -y z 1,同理，可建立对xoy、yoz面对称的变换矩阵分别为：,3.4.2 三维图形的投影变换,在工程设计中，产品的几何模型通常是用三面投影图来描述，即用二维图形表达三维物体。 投影就是把空间物体投影到投影面上而得到的平面图形，利用变换矩阵，可方便地实现三维图形的正投影变换（三视图），正轴测投影变换（轴测图）和透视变换（透视图）。,投影变换的类型,一、 三视图 机械工程图中的三视图是对三维空间的物体以垂直于坐标平面的投影线分别作正投影而获得的。,1、主视图变换矩阵 取xoz平面上的投影为主视图， 只须将立体的y坐标变为零，变换矩阵为：,则有： x* y* z* 1=x y z 1 Tv=x 0 z 1,将形体的点集向yoz面（W面）投影，即令x坐标为0；绕z轴逆转90度，使与V 面在同一平面，再沿x负方向平移l，使与V面投影保持间距l 。则变换矩阵如下：,2、侧视图的变换矩阵,则有： x* y* z* 1=x y z 1 Tw=-y-l 0 z 1,即 Tw,侧视图的变换矩阵,取xoy平面（即H面）上的投影，即令z坐标为0；再绕x轴逆转90度，使与V面在同一平面，然后再沿z轴负方向平移N，使与V面投影保持间距N。则变换矩阵如下：,3、俯视图变换矩阵,俯视图变换矩阵,则有： x* y* z* 1=x y z 1 Tw=x 0 -y-n 1,TH=,由此我们可以看到，3个视图中y均为0，这是由于变换后，3个视图均落在XOZ平面上的缘故。这样，可用x*, z*坐标直接画出3个视图。,例 画出所示形体的三面投影图,解：设n=10 l=10, 则 主视图（V面）投影为,二、透视投影变换,透视投影从一个视点透过一个平面(画面)观察物体，其视线(投影线)是从视点(观察点)出发，视线是不平行的。视线与画面相截交得到的图形就是透视图。,透视变换 如图所示，空间一点P(x，y，z)，设S为视点，并在Y轴上，投影面垂直Y轴且交于O点。投影面距坐标系原点的距离为y1，视点距原点的距离为y2，由相似三角形的关系有：,当O、O重合时，投影面与XOZ重合，即y1=0，则：,透视变换,即： x* y* z* 1=x y z 1 =x y z 1 =x 0 z 1-y/y2,1 0 0 0 0 1 0 -1/y2 0 0 1 0 0 0 0 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1,一点透视变换矩阵,规格化,令q=-1/y2，则主灭点在Y轴上y=1/q处，投影面为XOZ平面的一点透视变换矩阵为： T单y 对点进行一点透视投影变换: x* y* z* 1=x y z 1 T单y =x 0 z 1+qy,规格化,透视变换,1,
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