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,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,复习资料必备,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,练 习 题,练习题答案,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,解,曲面围成的立体如图.,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,一、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二、小结,基本要求:变换后定限简便，求积容易,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,一、问题的提出,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,三、平面薄片的重心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,解,四、平面薄片的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,解,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,五、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,六、小结,思考题,薄片关于 轴对称,思考题解答,练 习 题,练习题答案,一、三重积分的定义,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,得,注意,解,解,如图，,解,解,原式,解,如图,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,思考题,选择题:,练 习 题,练习题答案,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,所围成立体的投影区域如图，,二、利用球面坐标计算三重积分,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,球面坐标系中的体积元素为,如图，,解,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,思考题,练 习 题,练习题答案,第八章习题课,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,（）极坐标系下,5、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3) 重心,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯量,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,6、三重积分的定义,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,9、三重积分的计算,() 直角坐标,() 柱面坐标,() 球面坐标,10、三重积分的应用,() 重心,() 转动惯量,二、典型例题,例1,解,X-型,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,例3,解,例4,解,例5,解,例6,证,例7,解,例8,解,利用球面坐标,例,解,例10,证,思路：从改变积分次序入手,测 验 题,测验题答案,
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