高等代数-第二章线性方程组.ppt

第二章 线性方程组,1 消元法 2 n维向量空间 3 矩阵的秩 4 线性方程组的解,1 消元法,一般线性方程组的基本概念 方程组的解 同解方程组 消元法的三个基本变换 阶梯形方程组 非齐次方程组解的三种情况 齐次线性方程组解的情况 矩阵及其初等变换,现在讨论一般线性方程组： 其中 为n个未知量，m为方程个数； 为,方程组的系数， 为常数项. m与n不一定相等. 满足方程组（1）的有序数组 称为方程组的解； 解的全体称为解集合. 如果两个方程组有相同的解集合，就称为它们是同解的.,A为系数矩阵,为增广矩阵,例1 解方程组 方程组的解为（9，-1，-6）。,其中用到 1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)；,3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换).,定义1 变换1、2、3称为线性方程组的初等变换.,定理2: 初等变换把一个线性方程组为 一个与它同解的方程组.,证明: 分析初等变换的三种形式，可以看出定理对于第一种、第二种初等变换是显然成立的. 对于第三种初等变换，我们引导学生给出证明.,我们仅对第 3 种初等变换作证明, 令,把第,个方程的,倍加到第,个方程，,得到,可以证明它们是同解的,用初等变换求线性方程组的解,利用初等变换，我们把线性方程组化为阶梯形方程组, 其过程如下：,首先： 对于方程组（1） 如果 的系数 全为零， （1）可以看为 的方程来解. 否则， 设 ，利用初等变换（3） 可以将方程组（1）变为：,（3） 其中,这样解方程组（1）就归结为解下方程组,（4）,对（4）重复以上过程，最后得到 一个阶梯形的方程组。,其中 当 时，方程组无解；,当 时，分两种情况 ： 1）r=n，这时阶梯形方程组为 其中 .这时方程组有唯一解,2）rn，阶梯形方程组为,其中,，把它改写成,（7）,这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把 通过 表示出来，这样一 组表达式称为方程组（1）的一般解， 而 称为一组自由未知量。,rn，是不可能的 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若 ，则方程组无解； 若 ，方程组有解. 在有解的情况下，若r=n，有唯一解； 若rn有无穷多解.,矩阵的定义及初等变换,在前面我们讲了线性方程组的初等变换，而非齐次线性方程组对应于两个矩阵：系数矩阵和增广矩阵. 下面我们介绍矩阵的概念和初等变化，包括初等行变换、初等列变换.,矩阵的定义,我们称由 个数排成的一个表为 矩阵 对应有线性方程组的系数矩阵、增广矩阵,矩阵的初等变换,由线性方程组的初等变换，我们容易推出矩阵的初等行变换 (1)交换矩阵的两行 (2) 以一个非零数乘以矩阵某一行的元素 (3) 把矩阵的某一行的若干倍加到另一行上去 类似介绍矩阵的初等列变换,定理2 在齐次线性方程组 中，如果mn，那么它必有非零解. 证明 显然，方程组化为阶梯形方程组后，方程组的个数不会超过原方程组中的个数，即rmn，由上结论知，rn方程组有无穷解，因而必有非零解.,用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵化简. 例 2 解 对增广矩阵 作初等行变换,同解方程为,即方程的解,是自由未知量,其中,例3,解 对增广矩阵作初等行变换 从最后一行可以看出原方程组无解.,Back,例4,答案,例5,答案,例6,答案：当 时，方程组无解 当 时，方程组有解,2 n维向量空间,消元法是解方程组的一个行之有效的算法。但有时需要直接从原方程来判是否有解？并且，消元法化为阶梯形方程组的过程中，最后剩下来的方程个数是否是唯一的？这些问题都需要用向量的知识来解决。,n维向量及其线性运算,向量的定义 向量的加法 向量的数乘,定义4 所谓实数域 R 上一个n维向量就是由实 数域 R 中n个数组成的有序数组 （1） 称为向量（1）的分量. 用希腊字母 来代表向量.,如果n维向量 的对应分量相等，称为这两个向量相等， 记作,定义5 向量 称为向量 的和，记为 满足 交换律 结合律,分量全为零的向量(0,0,0)称为零向量，记为0. 向量 称为向量 的负向量，记为,向量的减法,定义6 设k为数域R中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积，记为 .,以数域R中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域R上的实 n维向量空间。 向量可以表示为行向量和列向量：,Back,向量的线性相关性,线性表示、线性组合、线性表出 线性相关、线性无关 向量组等价 定理4 极大线性无关组、向量组的秩,线性表示,本节我们讨论向量的线性关系。两个向量的之间的关系是成比例， 及 多个向量的比例关系表现为线性组合。 定义7 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域R中的数 使,也称为 可由向量组 线性表出。 如任一n维向量 都是向量组 的一个线性组合 向量组 称为n维单位 向量组.,例 7,如何判断一个向量可用某组向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 9,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 10,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 11,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,零向量是任一向量组的线性组合。,线性相关，线性无关,下面我们介绍向量组的线性相关、线性无关的概念,定义8 如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出，,那么向量组 称为线性相关,例如,两个向量线性相关，则 或 (两个不一定同时成立） 在三维空间中，两个向量线性相关表示共线；三个向量线性相关，表示共面。 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。,定理3 向量组 称为线性相关的，如果存在不全为零的数,使,当 时，两定义是一致的. 事实上 若按定义8， 是线性相关的，则其中有一向量是其余向量的线性组合，不妨设 即 因 不全为零,按定理3， 向量组线性相关.,反之，若 按定理3线性相关， 即有不全为零的数,使,不妨设 ，于是 这说明 可以由其余向量线性表出，所以此向量组按定义8也线性相关。,定理 3 一向量组 不线性相关，即没有不全为零的数 使得 就称为线性无关；或者说 称为线性无关，如果由,可以推出,如何判断一个向量组线性相关、线性无关,例14 判断 是否线性相关？,解 设 即,由消元法可解的方程组有无穷多组解，故向量组线性相关, 特别取一组解（-3，-1，1）得 一般判别一个向量组 （2） 是否线性相关，按定理3，看方程,是否有非零解，,（3）,分量形式为： （4） 因此, 向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组（4）有非零解,如果（2）线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的n+1 维的向量组 （5） 也线性无关.（原来无关，延长无关）,事实上，与向量组（5）相对应的齐次线性方程组为 （6）,显然（6）的解全是（4）的解， 如果（4）只有零解，则（6）也只有零解 这个结论可以推广到添加几个分量上去,如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个 向量组线性相关；换句话说，如果一向量组线 性无关，那么它的任一个非空的部分组也线性 无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部 分无关）,单个向量线性相关当且仅当 ； 两个向量线性相关当且仅当对应分量成比例。 n维单位向量组 线性无关。,向量组等价,定义9 如果向量组 中每一向量 都可以经过向 量组 线性表出，那么向量 组 就称为可以经过向量 组 线性表出.,如果两向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 每个向量组都可以由它自身线性表出 如果向量组 可经向量组 线性表出， 可 以经 线性表出，那么向量组,可以经 线性表出， 事实上 如果 则,向量组等价性质： 1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； 2）对称性 如果向量组 与 等价，那么 与 等价； 3）传递性 如果向量组 与 等价， 与 等价，那么 与 等价,定理4 设 与 是,是两个向量组，如果 1）向量组 可以经 线性表出， 2）rs， 那么向量组 必线性相关 （多的用少的线性表出，多的线性相关）,证明 由1）有 为了证明 线性相关，设 如果我们能找到不全为零的数,使上式成立，那就证明了 的线性相关性。,而,因为rs，齐次线性方程组 中未知量个数大于方程个数，由定理1，它有非零解。,推论1 如果向量组 可以经过向量组 线性表出，且 线性无关，那么rs. 推论2 n+1个n维向量必线性相关。 因为n+1个n维向量可由单位向量组线性表出。 推论3 两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。,向量组的极大线性无关组 向量组的秩,定义10 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组，如果这个部分组本身是 线性无关的，并且从这向量组中任意添加 一个向量（如果有的话），所得到的部分,向量组都线性相关,如 因为 且 线性无关，所 以 为一个极大线性无关组， 也是 一个极大线性无关组.,任意一个极大线性无关组都与向量组等价；因而，一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的. （课上证明） 结论： 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 由上结论和定理2的推论3得。,定义11 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 例如 的秩是2. 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 推论4：等价向量组必有相同的秩,Back,3 矩阵的秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 用子式定义矩阵的秩 向量组的极大线性无关组的求法,矩阵可以看成行向量组成的，也可看成列向量组成的. 定义12 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.,是行向量组的一个极大线性无关组 所以行秩为3,例18 矩阵,A的列向量组为 线性无关， 所以 是列向量组的一个极大线性无关组，列秩为3。,关于矩阵的行秩的结论,矩阵A经行初等变换后，不改变它的行秩 阶梯形矩阵的行秩等于不为零的行的数目,矩阵A经行初等变换后，不改变它的行秩,证明:,分析行初等变换的三种情况, 我们得到,可以由,线性表示;,也可以经过行初等变换化到,可以由,线性表示,同样矩阵,从而这两组向量等价,具有相同的秩.,阶梯形矩阵的行秩等于不为零的行的数目,证明: 写出阶梯形矩阵, 证明不为零的行向量组线性无关. 例如,矩阵的 k 阶子式,矩阵 k 阶子式的定义 用子式定义矩阵的秩 用子式求出矩阵的秩,矩阵 k 阶子式的定义,在一个sn的矩阵A中任意选定k行和k 列，位于这些选定行和列的交点上的 个元素, 按原来的次序所组成的k级行列式，称为A 的一个k级子式.,用子式定义矩阵的秩,如果在矩阵 A 中有一个r级子式不为零，同时所有的r+1级子式全为零，则称 r 为矩阵的秩， 用 r(A) 表示 矩阵A的秩就是矩阵A中非零子式的最大阶数 零矩阵的秩规定为零,用子式求出矩阵的秩,例19 求矩阵 A 的秩,定理5 初等变换不改变矩阵的秩,设 ， 我们讨论初等行变换，列变换的情况类似.,(1) 交换矩阵,的第,行和第,行,(2) 以一个非零常数,乘以矩阵,的第,行, 得到,如果 的子式不含第 行元素，则它 也是 的子式,如果 的子式含第 行元素，则它与 的相应子式相差 倍,总之两者的子式最多相差一个非零倍数,(3) 把,的第,行的,倍加到第,行,设 的秩是 ，那么 中有一个 子式,如果 不含 第 行元素，则它也是 的 一个子式,如果 含第 行元素，又含有第 行元素， 则在 中与之相应的子式其值也是,如果 含第 行元素，不含有第 行元 素，那么 中含第 行元素的那一行是两组 数之和，可以拆为两个行列式之和，使得,其中 为 的子式， 或是 的子式，或者经过若干次互换 后也可成为 的子式，其值等于,由于 ,我们推出 或 ， 从而 有一个 阶不为零的子式， 即,以上三种情况, 我们都得到,同理我们可以证明,阶梯形矩阵的秩等于矩阵非零行的数目,对于阶梯形矩阵，我们考虑它不为零子式的阶数,设阶梯形矩阵 A 对角线上元素 不为零，则它有一个 r 阶子式不为零， 显然所有 r+1 阶子式全为零，从而矩阵 A 的秩是 r,例：求矩阵的秩,把矩阵化为阶梯形，由上面的结论可得,矩阵的行秩等于列秩, 等于矩阵的秩,矩阵 A 经过初等变换化为阶梯形矩阵 B，则 A的行秩=B的行秩=B的非零行的数目 A的秩 =B 的秩 = B的非零行的数目,从而 A的行秩 =B的非零行的数目=A的秩,考虑 A的转置 ，它们有相同的子式， 所以 A的秩= 的秩,因为A的列向量是 的行向量， 所以 A的列秩= 的行秩= 的秩= A的秩,如何求向量组的一个极大线性无关组,定义15 两个向量组 与 有相同的线性关系，如果 当且仅当,结论 由上面的定义看出，当两个向量组,与,有相同的线性关系时，,线性相关(无关)，,当且仅当,(其余的向量的系数认为是零),它们的部分组,则相应的部分组,也线性相关(无关).,这是因为,定理 7 矩阵,经过初等变换化为, 那么,和,的列向量组有相同的,线性关系,证明: 仅对第三种行初等变换讨论,设矩阵A 的列向量组是 , B的列向量组是,(1)如果,代入分量后，得到一个齐次方程组,将第 j 个方程的 t 倍加到第 i 个方程，我们得 到新的齐次线性方程组，它正对应,(2) 如果,我们同样得到,求向量组的极大线性无关组的方法,假设 是一组行向量，我们以 为 列 作矩阵A ， 对矩阵 A 进行初等 行 变换， 得到阶梯形矩阵 B， 由上面定理 7知道，矩阵 A 和 B 的列向量组有相同的线性关系. 从而求出 的一个极大线性无关组.,例5 求,的一个极大线性无关组,从而矩阵B的秩是 3，第1，2，4 列线性无关. 于是矩阵 A的秩也是 3，第1，2，4列线性无关. 我们得到向量组 的秩是 3, 是一个极大线性无关组.,4 线性方程组的解,齐次线性方程组 非齐次线性方程组,齐次线性方程组,齐次线性方程组何时只有零解 齐次线性方程组何时有无穷多解 齐次线性方程组解的性质 齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组只有零解的条件,(1),齐次线性方程组肯定有零解 只有零解当且仅当系数矩阵的秩 r=n,齐次线性方程组有无穷多解条件,齐次线性方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵的秩 rn,齐次线性方程组解的性质,1、两个解的和还是方程组的解； 2、一个解的倍数还是方程组的解.,从而 齐次线性方程组解的线性组合还是方程组的解,齐次线性方程组(1) 的一组解 称为（1）的一个基础解系，如果 方程组(1)的任一个解都能表成 的线性组合； 线性无关,齐次线性方程组的基础解系,基础解系的存在性、求法,定理10 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩（以下将看到，n-r也就是自由未知量的个数） 证明 设方程组（1）的系数矩阵的秩为r，进行初等行变换，得到.,对应的齐次线性方程组是,其中,确定,个自由未知量，,把它改写成,如果r=n,则方程组没有自由未知量只有零解. 以下设rn. 我们知道，把自由未知量的任意一组值 代入（3），就唯一地得到方程组（1）的一组解。换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样,在（3）中我们分别用n-r组数 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （4） 来代自由未知量，就得出（3）也就是方程组（1）的n-r个解： （5）,我们现在证明（5）就是一个基础解系. 首先证明 线性无关.,事实上，因为（4）线性无关， 而（5）为向量组（4）添加r个分量得到的， 所以（5）也线性无关。,再证(1)的任意一个解可以由 线性表出。 设 (6) 是（1）的一个解。由于 是（1）的解，所以线性组合 （7） 也是（1）的一个解。比较（7）和（6）最后n-r个分量完全相同，所以有,这就是说，任意一个解 都可以表示成 的线性组合。 至于其他的基础解系，由定义知，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而含有相同的个数，这就证明了定理的第二部分， 任意一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组是基础解系.,例,求齐次线性方程组的基础解系,例2 求齐次线性方程组的基础解系,例3 求齐次线性方程组的基础解系,非齐次线性方程组,非齐次线性方程组有解的判定 非齐次线性方程组的导出组 非齐次线性方程组解的表示,设线性方程组为： （1） 引入向量,非齐次线性方程组有解的判定,于是线性方程组（1）可以改写成向量方程 显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量 可以表成向量组 的线性组合。,线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩。,证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，即 可以由向量组 线性表出。由此立即推出，向量组 与向量组 等价，因而有相同的秩。 这两个向量组分别是矩阵A与 的列向量组。因此，矩阵A与 有相同的秩。,充分性. 设矩阵A与 有相同的秩，就是说，它们的列向量组 与 有相同的秩， 令它们的秩为r. 中的极大线性无关组是由r个向量组成，不妨设 是它的一个极大线性无关组，,显然 也是向量组 的一个极大线性无关组，因此向量 可经向量组 线性表出。也即 可经 线性表出。因此，方程组（1）有解. 在消元法中将 化为上阶梯阵的情形： 当且仅当 ，即A与 有相同的秩时，方程组有解.,非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的性质 导出组 特解,下面讨论一般的线性方程组： （9） 齐次方程组（1）称为方程组（9）的导出组。,（9）的两个解的差是它的导出组 （1）的解；,（9）的一个解与它的导出组(1)的 一个解之和还是这个线性方程组的 一个解.,非齐次方程组解的结构,定理8 如果 是方程组（9）的一个特解，那么方程组（9）的任意解可以表成 （10） 其中 是导出组（1）的一个解。因此，对于方程组（9）的任一个特解 ，当 取遍它的导出组的全部解时，（1）就给出（9）的全部解。 证明 显然 由上面的性质1， 是导出组（1）的一个解，令,就得到定理的结论。既然（9）的任一解都能表成（10）的形式，由性质2，在 取遍（1）的全部解的时候 就取遍（9）的全部解。| 由定理8得到方程组（9）的结构形式 其中 是（9）的一个特解， 是导出组的一个基础解系。 推论 在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是导出组（1）只有零解。,例4 设线性方程组,用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的 全部解. 在例4中讲如何求非齐次线性方程组的特解,