高数上期末总复习.ppt

高数(上)期末总复习,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,双曲函数与 反双曲函数,函数:主要内容,函数极限及连续,典型例题,例1,解法讨论,解:,例2,解,例3,解,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,主要内容,导数与微分,典型例题,例1,解:,或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)， 则 f (x)=g(x)+xg(x)，f (0)=g(0)+0=100！。,例2,解,例3,解:,例4,解:,两边取对数,例5,解,例6,解,例7,解:,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,主要内容,导数的应用(一),例1,解,典型例题,0；0；2/.,导数的应用(二),典型例题,例1,最大值,例2,解：,例3,例4,证,例5,证明,例6,解,若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,例7,解,奇函数,列表:,极大值,拐点,极小值,作图,练 习,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,主要内容,不定积分,基本积分表,是常数),四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,(倒代换),例4,解,解得,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,练习,注,或,当a=0，b0时,当a0，b=0时,计算,其中a，b是不全为0的非负常数,解 当a0，b0时,计算,求,解 原式=,求,解 原式=,求,解 令,则,从而,求,解法1 原式=,解法2 原式=,计算不定积分,解法1 原式=,解法2 令,原式=,计算,解 原式=,计算,分部积分或三角代换,答案,测 验 题,测验题答案,典型例题,例1.,计算,解:,设x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0；当x=a时，t=/2.,定积分,例2.,计算,解:,设 ,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.,由前面的换元公式得：,再用分部积分公式计算上式的右端的积分。,设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.,于是：,例3 求,解:,这是一个,型未定式。,可看成以u = cos x 为中间变量的复合函数。,例4 计算下列积分,. 解：1 原式=,2 此题用第二换元法(换元换限不换回)。 令,，则1+ln x = t 2 ,. 故 原式=,),1.,2.,例5 若f (x) 在 0 , 1 上连续，证明,证明：设,则dx = dt, 且,当x = 0 时，,；,时，t = 0.,于是,注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。,定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,定积分的应用,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 细棒的质量,(6) 转动惯量,(7) 变力所作的功,(8) 水压力,(9) 引力,(10) 函数的平均值,(11) 均方根,二、典型例题,例1,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,例2,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,解 设要求的点为（x1，y1）， y1= - x12+1 ,过（x1，y1）的切线方程为,令x=0,y=0得切线的截距 :,于是，所求面积为,唯一驻点:,解,在点,处的切线l方程为,即,所围面积,令,得t=1。,又,故t=1时，S 取最小值。此时l的方程为,求曲线,的一条切线l，使该曲线与切线 l,及直线x=0， x=2所围成的图形面积最小。,故此切线方程为,又因该切线过点P（1，0），所以,即,从而，切线方程为,因此，所求旋转体的体积,解 设所作切线与抛物线相切于点 ，因,过点P(1,0)作抛物线,的切线，该切线与上述抛物,线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。,1. 求曲线 所围的面积.,1)求交点.,2)算面积.,2. 设平面区域D由x=0, x=1, y=a(oa1)及y=x2 围成, 试问a为何值时D的面积最小?,3. 设平面图形A由,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。,A的两条边界曲线方程分别为 及x=y,相应于0,1上任一小区间y，y+dy的薄片的体积元素为,于是所求体积为,解 A的图形如下图所示，取y为积分变量，它的变化区间为0,1，,所确定,4. 曲线,和x轴围成一平面图形，求此平面图形,绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。,解 在1，2上取积分元素，得,求由曲线y=x2-2x, y=0, x=1, x=3所围平面图形分别绕x 和y轴旋转一周, 所得的旋转体体积.,5. 计算曲线,上相应于,的一段弧的长度。,解,6. 求摆线,一拱（0t2）的弧长S。,解,7. 求心形线,的全长，其中 a 0 是常数。,解,由对称性得,8. 半径为R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重 与水的相同, 问: 将球从水中取出需做多少功?,解: 建立坐标系如图. 在小区间y, y+y上,o,x,y,对应球体的一小薄片, 要提高2R高度, 水上的行程: R+y, 则,dw=g (R+y)x2(y)dy 1,