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第十九讲 直角三角形,一、直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角_. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_. 3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_. 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么_.,互余,一半,一半,a2+b2=c2,二、直角三角形的判定 1.有一个角是_的三角形是直角三角形. 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 _，那么这个三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,【思维诊断】(打“”或“”) 1.有两个角互余的三角形是直角三角形.( ) 2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方.( ) 3.一个三角形中，30角所对的边等于最长边的一半.( ),热点考向一 直角三角形的性质 【例1】(2013泰安中考)如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是.,【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得DBF，从而求得A的度数.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.,【自主解答】在RtFDB中，F=30，DBF=60. 在RtABC中，ACB=90，ABC=60，A=30. 在RtAED中，A=30，DE=1，AE=2. DE垂直平分AB，BE=AE=2. 答案：2,【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用 1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一. 2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决. 3.重要辅助线(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.,【真题专练】 1.(2013湘西中考)如图，一副分别含有 30角和45角的两个直角三角板，拼成 如图所示图形，其中C=90，B= 45，E=30，则BFD的度数是() A.15B.25C.30D.10,【解析】选A.在RtCDE中，C=90，E=30， CDE=90E=9030=60. 又CDE=B+BFD， BFD=CDE-B=60-45=15.,2.(2013枣庄中考)如图，在ABC中， AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于 点D，点E为AC的中点，连接DE， 则CDE的周长为() A.20B.18C.14D.13,【解析】选C.由等腰三角形的“三线合一”，得CD= BC=4； 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得DE=CE= AC=5.所以CDE的周长为4+5+5=14.,3.(2013成都中考)如图，某山坡的坡面AB=200m，坡角BAC=30，则该山坡的高BC的长为m. 【解析】在RtABC中， BAC=30，BC= AB= 200=100(m). 答案：100,【变式训练】 (2013衡阳中考)如图，小方在五月 一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到 C处时的线长为20m，此时小方正好站 在A处，测得CBD=60，牵引底端B 离地面1.5m，求此时风筝离地面的高 度(结果精确到个位).,【解析】在RtCBD中，BCD=90-60=30， BD= BC= 20=10.又由勾股定理，得 . CE=CD+DE17.3+1.519(m). 答：风筝离地面的高度约为19m.,4.(2013鄂州中考)著名画家达芬奇 不仅画艺超群，同时还是一个数学家、 发明家.他曾经设计过一种圆规，如图 所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽 度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内 自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒 的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm，则画出的圆的半径 为cm.,【解析】连接OP. AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点， OP= AB= 20=10(cm). 答案：10,【知识拓展】直角三角形的两个结论 (1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. (2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,热点考向二 勾股定理 【例2】(2014毕节中考)如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为.,【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可.,【自主解答】 ， 由折叠的性质得BE=BE，AB=AB， 设BE=x，则BE=x，CE=4-x，BC=AC-AB=AC-AB=2， 在RtBEC中，BE2+BC2=EC2， 即x2+22=(4-x)2， 解得：x= . 答案：,【规律方法】勾股定理的应用 1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法. 2.作长度 为(n为正整数)的线段. 注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.,【真题专练】 1.(2013资阳中考)如图，点E在正方形 ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8， 则阴影部分的面积是() A.48B.60C.76D.80,【解析】选C.在RtABE中，根据勾股定理，得AB2=AE2+BE2=62+82=100，S阴影部分=S正方形ABCD-SABE=AB2- AEBE=100- 68=76.,2.(2014东营中考)如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行m.,【解析】如图，设大树高为AB=12m， 小树高为CD=6m， 过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形， 连接AC， EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6(m)， 在RtAEC中，AC= =10(m). 故小鸟至少飞行10m. 答案：10,3.(2014苏州中考)已知正方形ABCD的对角线AC= ，则正方形ABCD的周长为. 【解析】因为正方形ABCD的对角线AC= ，所以由勾股定理得，正方形的边长为1，故周长为4. 答案：4,4.(2014苏州中考)如图，在矩形ABCD中， ，以点B为 圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，若AEED= ，则矩形 ABCD的面积为.,【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x， 所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x. 所以ED=x，又AEED= ， 即4xx= ，x2= ， 所以矩形ABCD的面积为3x5x=15x2=5. 答案：5,【变式训练】 (2014南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A处，折痕所在直线同时经过边AB，AD(包括端点)，设BA=x，则x的取值范围是.,【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA=BA=8；当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在RtDC A中，由勾股定理可得BA=15，BA=2. 答案：2x8,热点考向三 勾股定理的逆定理 【例3】(2013包头中考)如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度.,【解题探究】(1)BE是由BE旋转多少度得到？BE与BE什么关系？ 提示：BE是由BE旋转90得到的，BEBE且BE=BE. (2)若连接EE，得到的EBE是一个什么特殊的三角形？ 提示：EBE是等腰直角三角形. (3)EEC是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？ 提示：EEC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.,【尝试解答】连接EE.将ABE绕点B顺时针旋转90到 CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90， BE=BE=2，AE=EC=1，EE= BEE=45.EE2+EC2=8+1=9，EC2=9， EE2+EC2=EC2，CEE是直角三角形，且 CEE=90， BEC=CEE+BEE=90+45=135. 答案：135,【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.,【真题专练】 1.(2014滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是() A.4，5，6B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4D. 1， ，3 【解析】选B.42+52=4162，1.52+22=6.25=2.52， 22+32=1342，12+( )2=332， A，C，D中的线段不能构成直角三角形，故选B.,【知识归纳】判定直角三角形的两种方法 (1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形. (2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,2.(2013贵阳中考)在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边.当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状(按角分类). (1)当ABC三边长分别为6，8，9时，ABC为三角形；当ABC三边长分别为6，8，11时，ABC为三角形. (2)猜想：当a2+b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，ABC为钝角三角形. (3)判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.,【解析】(1)两直角边分别为6，8时，斜边= ABC三边分别为6，8，9时，ABC为锐角三角形；当ABC 三边分别为6，8，11时，ABC为钝角三角形. 答案：锐角钝角 (2)当a2+b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2,(3)c为最长边，2+4=6，4cc2，即c220，c2 ，当2 c6时，这个三角形 是钝角三角形.,命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题 【例】(2013山西中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为.,【审题视点】,【自主解答】AB12，BC5，AD5，BD 13根据折叠，得ADAD5，AB1358设AE x，则AEx，BE12x在RtAEB中，(12x)2x2 82，解得x ，即AE的长为 答案：,【规律方法】解图形折叠问题的思路 1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角). 2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理. 3.利用勾股定理建立方程求解.,【真题专练】 1.(2014牡丹江中考)已知：如图， 在RtABC中，ACB=90，AB， CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线 CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好 与AB垂直，那么A的度数是() A.30B.40C.50D.60,【解析】选A.在RtABC中，ACB=90， AB，CM是斜边AB上的中线， AM=MC=BM，A=MCA， 将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处， CM平分ACD，A=D，ACM=MCD， A+B=B+BCD=90，A=BCD， BCD=DCM=MCA=30，A=30.,2.(2014昆明中考)如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EBG的周长是cm.,【解析】由题意得EF=FD，所以在RtAEF中设AF=x，则EF=6- x，由勾股定理得32+x2=(6-x)2，解得x= .又FEG=90，所 以AEF+BEG=90，又因为AFE+AEF=90，所以 AFE=BEG，又因为A=B=90，所以AEFBGE，所 以 ，即= ，解得BG=4，再由勾股定理得EG=5， 所以EBG的周长为3+4+5=12. 答案：12,3.(2012河南中考)如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3，点D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处.当AEF为直角三角形时，BD的长为.,【解析】因为ACB=90，B=30，BC=3，所以AC= ， AB=2 ，设BD=x，则DF=x，CF=3-2x，BE=EF= ， AF2=3+(3-2x)2. (1)以AE为斜边： +3+(3-2x)2= ， 解得x=1，x=0(与点B重合，舍去)； (2)以AF为斜边： =3+(3-2x)2， 解得x=3(与点C重合，舍去)；,(3)以EF为斜边： ， 解得x=2，x=3(与点C重合，舍去). 综上所述，当AEF为直角三角形时，BD的长为1或2. 答案：1或2,【巧思妙解】巧用面积，事半功倍 【典例】(2012广州中考)在RtABC中，C=90，AC=9， BC=12，则点C到AB的距离是() A. B. C. D.,【常规解法】选A.如图，过点C作CDAB于点D. 在RtABC中，由勾股定理，得 . CDAB，ADC=90. 又ACB=90，ACD=B，ACDABC， 在RtACD中，由勾股定理，得 .,【巧妙解法】选A.如图， 过点C作CDAB于点D. 在RtABC中，由勾股定理，得 . 根据三角形的面积公式，得 ABCD= ACBC，即 解得CD= .,【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.,【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.,
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