不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

复习 1原函数的定义。2不定积分的定义。3不定积分的性质。4不定积分的几何意义。引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一 基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：导数公式微分公式积分公式1j kdx= kx + C （ k 丰 0）2345j X a dx =苗 + C（a 1）6789011121314151以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1.求下列不定积分.(1) j %(2) jx容dxx 2解：(1)j x = j x - 2 dx = 4 +。= _ 1 + c x 2- 2 + 1x(2) j xRx = j x : dx = 2 x 2 + c5此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x a的形式，然后应用幕函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法则法则1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即法则1对于有限多个函数的和也成立的.法则2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即j kf (x)dx = k j f (x)dx( k。0)例 2 求 j(2X3 +1 -eg解 j(2x3 + 1- ex 植=2 j x3dx +1 dx -j exdx=1 x 4 + x - ex + C2注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分 常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于1尤4 +尤-c + C） = 2X3 +1 - c，所以结果是正确的。三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需 要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫 直接积分法。例3求下列不定积分.（1）J x + 1）（ x -） dxx解：（1 ）首先把被积函数芯+1）（ x 士）化为和式，然后再逐项积分得J (7 x + 1)( x -t= ) dx=j （ x x + x 1 一 ： 一） dx2 511= x 2 + x2 x 2 x 2 + C。52注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只 要在结果中写一个积分常数C即可。（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确 的，否则是错误的。(2) j 21dx = j x2+1 2dx 二)dx x2 +1x2 + 1x2 + 1=j dx - 2 j * - x 一 2arctan x + C。 x 2 +1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。练习 1 jx3 一3x2+2x + 4dx，2 j 2x2 +1 dx，3 j二dx。12 arctan x 一 一 + C ， xx 2x 2( x 2 + 1)1 + x 2一 1 一 . 4 一 答案 1 -A2 -3x+2in xl +C2x ，13-x3 一 x+arctarx+C3例4求下列不定积分.(1)j tan2xdx(2)jsin2|dx解：(1)j tan2xdx = j (sec2 x - 1)dx(2)jsin 2|dx = j 亍=2x- kin x + C2换。上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变练习 1 j cot2 xdx2答案 1 cot x x + Cj cos2 xdx3 j cos2x dx2cosx-sinx2 -2(x + sin x) + C3 sin x -cos x + C例 5 设 f (sin2 x) = cos2 x，求 f (x).解：由于f(sin2 x) = cos 2 x = 1 sin 2 x，所以f(x)= 1 x，故知f (x)是1 x的原函数，因此x 2f (x) = j (1 - x )dx = x+ C -2小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习 求下列不定积分.(1)j (1 2sin x + )dx ( 2 ) j (i + -)dx ,xcos2 x sin2 x(3) j (t +1)2 dt ,(4) j (一 ：-)dt ,(5) j (6 x + x 6)dx ,t1 12 1 +12(6 ) j X_1 dx ,( 7 ) j csc(cscx cot xg ,( 8 ) j C0S；*dx ,tt2ex(9 ) j (coj + sm-)2dt ,(10 ) j (tan 2 x 1)dx ,(11) j ex (3x .Yx,。22x1x2答案 1 x+2cosx+2lnl x I+C , 2 tan x -cot x + C ,3 212 + 2t + In 111+C , 4 2arcsit3arctan+C,l6 x 1 八1 - 八5 + x7 + C , 6 x3 x + C ,7 cot x + csc x + C , 8 cot x 2 + C ,9 t cos t + C , 10 tan x 2x + C , 11 (* 2arcsirx+C。1+ln3小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运 算或三角恒等变形将被积函数进行整理.然后分项计算.作业 P81:2,3板书设计基本公式例1-不定积分的法则例2三直接积分法例3例4例5练习小结作业