【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(七)立体几何初步 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(七)立体几何初步 文 新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015泰安模拟)下列结论正确的是()A.若向量ab,则存在唯一的实数使a=bB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“ab0”C.“若=,则cos=”的否命题为“若,则cos”D.若命题p:x0R,-x0+10【解析】选C.A中若b=0,则不存在,故A错;B中若a,b共线且反向,满足ab0,但其夹角不为钝角;C中否命题是将条件和结论同时否定,故C正确;D中,p:xR,x2-x+10.2.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选B.对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,得到A错.对于B,因为l1l2,所以l1,l2所成的角是90,又因为l2l3,所以l1,l3所成的角是90,所以l1l3得到B对,对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错.对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选B.3.(2015长春模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()A.96B.136C.152D.192【解题提示】先由三视图还原几何体,再求表面积.【解析】选C.由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱,其表面积为642+68+582=152.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16【解析】选A.将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V=422+224=16+8.4.(2015合肥模拟)已知a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是()A.若ab,则B.若,则abC.若a,b相交,则,相交D.若,相交,则a,b相交【解析】选D.若,相交,则a,b可能相交,也可能异面,故D为假命题.5.(2015青岛模拟)如图所示是某建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约(尺寸如图所示,单位:m,取3)()A.20kgB.22.2kgC.111kgD.110kg【解析】选B.由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体,长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为4(34)=48(m2).圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为35=15=45(m2),底面积(去掉一个正方形)为9-33=9-9=18(m2),所以该几何体的总面积为48+45+18=111(m2),所以共需油漆0.2111=22.2kg.6.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解题提示】把展开图复原为正方体求解.【解析】选C.如图所示,EGF为AB和CD所成的角,F为正方体一棱的中点.设正方体棱长为1,所以EF=GF=,EG=.所以cosEGF=.7.(2015石家庄模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()A.m,n且,则mnB.m,n且,则mnC.m,n,mn,则D.m,n,m,n,则【解析】选B.A中直线m,n也有可能异面或相交,所以不正确,B正确,C中,不一定垂直,错误.D当m,n相交时,结论成立,当m,n不相交时,结论错误,所以选B.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,CD,B1C1的中点,则下列中与直线AE有关的正确命题是()A.AECGB.AE与CG是异面直线C.四边形ABC1F是正方形D.AE平面BC1F【解析】选D.由正方体的几何特征,可得AEC1G,但AE与平面BCC1B1不垂直,故AECG不成立;由于EGAC,故A,E,G,C四点共面,所以AE与CG是异面直线错误;四边形ABC1F中,ABBC1,故四边形ABC1F是正方形是错误的;而AEC1F,由线面平行的判定定理,可得AE平面BC1F,故选D.9.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.将几何体展开图还原为几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EFADBC,即直线BE与CF共面,错;因为B平面PAD,E平面PAD,EAF,所以BE与AF是异面直线,正确;因为EFADBC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC,正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,错.10.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.直线B1E直线BC1【解析】选D.A.因为在正方体中,ACBD,ACDD1,BDDD1=D,所以AC面BB1D1D,因为BE面BB1D1D,所以ACBE,所以A正确.B.因为B1D1平面ABCD,所以B1E平面ABCD成立,即B正确.C.三棱锥E-ABC的底面ABC为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确.D.因为D1C1BC1,所以B1E直线BC1错误.故选D.11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出如下三个结论:C1M平面ABB1A1;A1BAM;平面AMC1平面CNB1;其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解题提示】由直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面A1B1C1,C1M平面A1B1C1,知C1MAA1,由B1C1=A1C1,M是A1B1的中点,知C1MA1B1,故C1M平面ABB1A1;由C1M平面ABB1A1,A1B平面ABB1A1,知A1BC1M,由AC1A1B,AC1C1M=C1,知A1BAM;由AMB1N,C1MCN,知平面AMC1平面CNB1.【解析】选D.因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面A1B1C1,C1M平面A1B1C1,所以C1MAA1.因为B1C1=A1C1,M是A1B1的中点,所以C1MA1B1,因为AA1A1B1=A1,所以C1M平面ABB1A1,故正确.因为C1M平面ABB1A1,A1B平面ABB1A1,所以A1BC1M,因为AC1A1B,AC1C1M=C1,所以A1B平面AC1M,因为AM平面AC1M,所以A1BAM,即正确;因为由题设得到AMB1N,C1MCN,所以平面AMC1平面CNB1,故正确.故选D.12.(2015天津模拟)在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是()A.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为B.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为C.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为D.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为【解题提示】先结合三视图和直观图弄清题目条件,再进行推理计算.【解析】选C.因为PA平面ABC,所以PABC,又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAD,又由三视图可得,在PAC中,PA=AC=4,D为PC的中点,所以ADPC,又PCBC=C,故AD平面PBC.又由三视图可知BC=4,而ADC=90,BC平面PAC,故VD-ABC=VB-ADC=224=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015石家庄模拟)把一个半径为5cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为.【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则由已知得解得:h=20(cm).答案:20cm14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分别是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,B1B的中点,则下列判断:PQ与RS共面;MN与RS共面;PQ与MN共面.则正确结论的序号是.【解析】连接PR,SQ,可知SQPR,所以四边形PQSR为平行四边形,所以PQRS,故正确;由图知直线MN过平面A1B外一点N,而直线RS不过M点,故MN与RS为异面直线,故错;由图知延长PQ与MN,则PQ与MN相交,故正确.答案:15.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120,则此球的表面积等于.【解析】设球心为O,球半径为R,ABC的外心是M,则O在底面ABC上的射影是点M,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,ABC=(180-120)=30,AM=2.因此,R2=22+=5,此球的表面积等于4R2=20.答案:2016.(2015嘉兴模拟)如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出四个结论:DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是.【解析】对于:因为BCAD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,故不成立;对于:设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPCF时,就有BDFC,而ADBCAB=234可使条件满足,故正确;对于:当点P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,故正确.对于:因为点D的射影不可能在FC上,故不成立.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015贵阳模拟)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA平面ABC,ABAC,AB=AC.AE=2.(1)求证:ACBD.(2)求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)因为EA平面ABC,AC平面ABC,所以EAAC,即EDAC.又因为ACAB,ABED=A,所以AC平面EBD.因为BD平面EBD,所以ACBD.(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且ABAC,所以BC为圆O的直径.设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,所以BC=4,AB=AC=2.由(1)知,AC平面EBD,所以VE-BCD=VC-EBD=SEBDCA,因为EA平面ABC,AB平面ABC,所以EAAB,即EDAB.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为ABAC,AB=AC=2,所以SEBD=EDAB=42=4,所以VE-BCD=42=.【一题多解】第(2)问也可采用如下方法.因为EA平面ABC,所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=SABCEA+SABCDA=SABCED.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为ABAC,AB=AC=2,所以SABC=ACAB=22=4,所以VE-BCD=44=.18.(12分)(2015黄石模拟)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BCA1D.(2)求证:平面A1BC平面A1BD.(3)求三棱锥A1-BCD的体积.【解题提示】(1)由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O平面BCDBCA1O;又BCCOBC平面A1CDBCA1D.(2)先由ABCD为矩形A1DA1B,再由(1)知A1DBCA1D平面A1BC,即可得到平面A1BC平面A1BD.(3)把求三棱锥A1-BCD的体积转化为求三棱锥B-A1CD的体积即可.【解析】(1)连接A1O,因为A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O平面BCD,又BC平面BCD,所以BCA1O,又BCCO,A1OCO=O,所以BC平面A1CD,又A1D平面A1CD,所以BCA1D.(2)因为ABCD为矩形,所以A1DA1B.由(1)知A1DBC,A1BBC=B,所以A1D平面A1BC,又A1D平面A1BD,所以平面A1BC平面A1BD.(3)因为A1D平面A1BC,所以A1DA1C.因为A1D=6,CD=10,所以A1C=8,所以=6=48.故所求三棱锥A1-BCD的体积为48.19.(12分)(2015佛山模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,E为AD上一点,平面PAD平面ABCD,四边形BCDE为矩形,PAD=60,PB=2,PA=ED=2AE=2.(1)已知=(R),且PA平面BEF,求的值.(2)求证:CB平面PEB,并求点D到平面PBC的距离.【解析】(1)连接AC交BE于点M,连接FM.因为PA平面BEF,所以FMAP.因为EMCD,所以=,因为FMAP,所以=,所以=.(2)因为AP=2,AE=1,PAD=60,所以PE=,所以PEAD,又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PEAD,所以PE平面ABCD,所以PECB,又因为BECB,且PEBE=E,所以CB平面PEB.设点D到平面PBC的距离为d,由VD-PBC=VP-DBC,得22d=23,求得d=.所以点D到平面PBC的距离为.20.(12分)(2015西安模拟)如图,在三棱锥A-BOC中,AO平面COB,OAB=OAC=,AB=AC=2,BC=,D,E分别为AB,OB的中点.(1)求证:CO平面AOB.(2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF平面AOC,若存在,试确定F的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为AO平面COB,所以AOCO,AOBO.即AOC与AOB为直角三角形.又因为OAB=OAC=,AB=AC=2,所以OB=OC=1.由OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知BOC为直角三角形.所以COBO,又因为AOBO=O,所以CO平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F,使得平面DEF平面AOC,此时F为线段CB的中点.如图,连接DF,EF,因为D,E分别为AB,OB的中点,所以DEOA.又DE平面AOC,所以DE平面AOC.因为E,F分别为OB,BC的中点,所以EFOC.又EF平面AOC,所以EF平面AOC,又EFDE=E,EF平面DEF,DE平面DEF,所以平面DEF平面AOC.21.(12分)(2015郑州模拟)如图所示的几何体ABCDFE中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积.(2)证明:平面ADE平面BCF.【解析】(1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.因为ABC,DFE都是等边三角形,故有AOBC,且平面BCED平面ABC,所以AO平面BCED,同理FG平面BCED,因为AO=FG=,四边形BCED是边长为2的正方形,所以,VABCDFE=2VF-BCED=24=.(2)由(1)知AOFG,AO=FG,所以四边形AOFG为平行四边形,故AGOF,又DEBC,所以,平面ADE平面BCF.22.(12分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱SA底面ABCD,过A作AE垂直SB交SB于E点,作AH垂直SD交SD于H点,平面AEH交SC于K点,P是SA上的动点,且AB=1,SA=2.(1)试证明不论点P在何位置,都有DBPC.(2)求PB+PH的最小值.(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l,求证:BDl.【解析】(1)连接BD,AC,因为底面ABCD是正方形,所以DBAC,因为SA底面ABCD,BD面ABCD,所以DBSA,又SAAC=A,所以BD平面SAC,因为不论点P在何位置都有PC平面SAC,所以DBPC.(2)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内,如图所示,则当B,P,H三点共线时,PB+PH取最小值,这时,PB+PH的最小值即线段BH的长,设HAD=,则BAH=-,因为AH=,所以cos=,在三角形BAH中,由余弦定理得:BH2=AB2+AH2-2ABAHcos(-)=1+-21(-)=,所以(PB+PH)min=. (3)连接EH,因为AB=AD,SA=SA,所以RtSABRtSAD,所以SB=SD,又因为AESB,AHSD,所以AE=AH,所以RtSEARtSHA,所以SE=SH,所以=,所以EHBD,又因为EH面AEKH,BD面AEKH,所以BD面AEKH,因为平面AEKH平面ABCD=l,所以BDl.- 15 -