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,复变函数与积分变换,复变函数与积分变换,课程基本介绍,课程名称：复变函数与积分变换,开课学时： 48 学时,考核方式： 30分平时成绩（考勤+作业） 70分卷面成绩（期末考试）,答疑时间及地点：,下周四、周五到11号楼书库购买作业本， 价钱3元，必买,研究对象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、 保形映射，积分变换等。,复数与复变函数、解析函数、,课程基本介绍,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,复变函数的发展过程,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。,直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数的发展过程,复变函数的发展过程,1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。,复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。,复变函数的发展过程,二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,复变函数的发展过程,第一章 复数与复变函数,第一讲 复数及复平面,学习要点,掌握复数的意义及代数运算,掌握复平面与复数的表示方法,掌握复数的乘幂与方根,1 复数及其代数运算,1. 复数的概念,复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),一般, 任意两个复数不能比较大小。,复数相等,2. 四则运算,z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。,共轭复数的性质,定义 若z=x + iy , 称z=x - iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),3. 共轭复数,解：,2 复数的几何表示,1. 点的表示,横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,2. 向量表示法,z=0时，幅角无意义。,幅角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加p。,当z落于第三象限时，减p .,根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式,3. 三角表示法,可以用复数的模与辐角来表示非零复数z,4. 指数表示法,例1,例2,例3,例1,解：,例2,解：,例2,解：,例3,证明：,例3,证明：,3 复数的乘幂与方根,1. 复数的乘积与商,利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法,定理：,对除法，有,将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,乘法的几何意义,例1,解：,2. 复数的乘幂,则有：,德摩弗 (De Moivre)公式,3. 复数的方根,而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,例2,例3,例2,例3,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。,N,4. 复球面与无穷远点,球极平面射影法,取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。,对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。,从几何上可以看出：,z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈;,这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。,规定,无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义,请预习第一章后面的部分。,谢谢同学们，再见。,欧拉公式,复数项级数,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的关系,
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