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向量的数量积,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,问题1:,我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？,平面向量的加法、减法和数乘三种运算；,运算的结果仍是向量,问题2:,一个物体在力 的作用下发生了位移 ， 那么该力对此物体所做的功为多少？,其中力 和位移 是向量， 是 与 的夹角，而功 W是数量.,将公式中的力与位移推广到一般向量,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。,出现了向量的一种新的运算,1、向量的夹角,规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。,课堂练习1,D,2、向量的数量积的定义,一般地，如果两个非零向量 的夹角 为 那么我们把 叫做向量 的数量积，记作 ， 即,2、向量的数量积是一个数量,不是向量。,向量的数量积的说明,3、规定,1、 不能写成 且 不能省略。,当 为非零向量时，数量积的正负 由夹角余弦值决定。,4、特别记,如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求 （1） 的数量积； （2） 的数量积；,A,B,C,课堂练习2,3、向量的数量积的重要性质,即,两个重要的充要条件,3、向量的数量积的重要性质,即,1350,直角,例2、填空,( ),(),( ),( ),( ),1、已知 均为非零向量,试判断下列说法是否正确？,课堂练习3,课堂练习3,（ ）,D,C,问题:,（1）实数乘法有哪些运算律？,（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？,4、向量的数量积的运算律,实数乘法,向量的数量积,类比猜想,是否都成立？,验证向量数量积的运算律,思考：,即：向量数量积运算不满足结合律,若,如何验证？,或通过向量数量积的坐标表示验证。,可借助向量数量积的几何意义验证；,5、向量的数量积的几何意义,(B1), cos叫做向量 在向量 上的投影， cos叫做向量 在向量 上的投影.,5、向量的数量积的几何意义,(1)投影是一个数量，不是向量。,5、向量的数量积的几何意义,5、向量的数量积的几何意义,用向量的几何意义验证,向量的数量积的常用公式,例3、证明,求：（1） 在 方向上的投影； （2） 在 方向上的投影；,为何值时，与 互相垂直？,（5）,（3）,（6）,（4）,（7）,课堂练习4,例6、用向量方法证明： 径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90,五、小结,1、向量的夹角,2、向量数量积的定义,3、向量数量积的性质,4、向量数量积的运算律,
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