周爱民《金融工程》第十章期权定价.ppt

2020/8/11,1,金融工程学基础第十章期权定价 （返回电子版主页）（返回） 周爱民 主编参编：罗晓波、王超颖、谭秋燕、穆菁、张绍坤、周霞、周天怡、陈婷婷,南开大学经济学院金融学系 天津市(300071),2020/8/11,2,第十章 期权定价,第一节 期权价格的上下限 第二节 二叉树期权定价法 第三节 Black-Scholes模型 第四节 新型期权,2020/8/11,3,本章所用到符号,2020/8/11,4,第一节 期权价格的上下限,一、买权与卖权的上限 二、买权与卖权的下限 三、美式买权的提前行使 四、美式卖权的提前行使 五、卖权与买权之间的平价关系,2020/8/11,5,一、买权与卖权的上限,（一）买权的上限 （二）卖权的上限,2020/8/11,6,（一）买权的上限,2020/8/11,7,（二）卖权的上限,2020/8/11,8,二、买权与卖权的下限,（一）买权的下限 （二）卖权的下限,2020/8/11,9,（一）买权的下限,2020/8/11,10,2020/8/11,11,2020/8/11,12,（二）卖权的下限,2020/8/11,13,2020/8/11,14,表10.1.1 期权价格的上下限,2020/8/11,15,三、美式买权的提前行使,美式买权的提前行使是否明智？通过下面的讨论，我们可以看出：提前行使期权不是最好的选择。返回节 首先，如果投资者计划在期权的有效期内持有股票，则提前行使期权不是最好的选择。假设投资者拥有一份买权，并且期权处于实值状态（如果期权是虚值状态的话，投资者当然不会提前行使期权），比如期权的行使价格为30元，距到期日还有一个月，无风险利率为10%，股票价格为50元。,2020/8/11,16,此时投资者有提前行使期权的动力，但是如果投资者希望在行使期权后继续持有该股票一个月（即在期权的有效期内持有股票），那么提前行使期权就是不明智的。选择持有期权并在到期日行使期权，这是更好的策略。这是因为无论你是否提前行使期权，在到期日你所具有的财富都是一份股票，然而前者需要你在一个月前就支付30元钱，而后者的支付则要晚一个月，选择后者为你节省了利息。不仅如此，如果股票的价格在一个月后跌到30元以下，没有提前行使期权的投资者一定会庆幸自己做出了正确的选择。,2020/8/11,17,我们还可以得到另一个结论：,即便在投资者认为股票价格被高估的情况下，提前行使期权仍不是最好的选择。如果投资者认为股票价格被高估，那么他的最优选择应该是出售期权而并非行使它（另一种可以选择的做法是投资者持有期权并出售股票，这样就可以把利润锁定在20元以上）。由于： (10.1.15) 可以得出期权的市场价格要高于： 否则就会存在套利机会。美式买权不该提前行使也可以通过下面的式子来说明。,2020/8/11,18,三、美式买权的提前行使,由于 ，如果提前行使是明智的，那么该期权会获得S-SP的收入，即C应等于S-SP，小于美式期权的最小价值。因而我们可得到结论：提前行使期权是不明智的。 对于买权不应提前行使的原因，我们可以从理论上作以解释。第一个理由在于期权能够提供保险。当投资者持有买权而不是持有股票本身时，买权保证持有者在股票价格下降到行使价格之下时不受损失。一旦该期权被行使，投资者选择了持有股票，这种保险就消失了。另一个原因是由于货币的时间价值，越晚支付等于行使价格的货币越好。,2020/8/11,19,四、美式卖权的提前行使,卖权与买权不同，提前行使可能是更有利的，我们可以考虑一个极端的例子，假设期权的行使价格为10元，此时股票价格为0，由于股票价格不会为负，因而此时行使卖权可以获取最大收益。即便股票价格一直为0，提前获得10元的收益也要比等到期权到期时才拿到这10元有利一些。 一般说来，随着股票价格S的减少，无风险利率r的增加和股票价格的波动率的减少，提前行使卖权就更有利。这是因为无风险利率r的增加提高了现在不转换为现金的成本，波动率的减少降低了在以后的时间里期权能更加获利的可能性。,2020/8/11,20,五、卖权与买权之间的平价关系,在时刻t=0，考虑下面两个组合：返回电子版主页 组合A：一份行使价格为SP的欧式买权和价值为 的现金。 组合B：1份行使价格为SP的欧式卖权和1手股票。 在时刻t=T，如买权为实值，组合A的价值为：SP+(ST-SP)=ST；如买权为虚值，组合A的价值为SP。 在时刻t=T，如卖权为虚值，组合B的价值也为：ST；如卖权为实值，则组合B的价值为：SP。 于是，当股价上涨时，买权为实值，卖权为虚值，此时组合A、B的价值都为：ST；当股价下跌时，买权为虚值，卖权为实值，此时组合A、B的价值都为SP。 由于组合A、B的收益相同，因而一定有相同价格，否则套利就会存在。于是，我们可以得到表达式： Ct+SPe-r(T-t)=St+Pt (10.1.16),2020/8/11,21,2020/8/11,22,第二节 二叉树期权定价法,在前面我们分析了期权价格的界定范围，说明期权的价格必须满足某些限制条件，否则会引起套购活动的发生。但期权价格的确切数值是如何确定的？这是个根本性的问题。接下来我们将简单介绍期权定价的两个最著名的模型：二叉树期权定价模型和布莱克斯科尔斯期权定价模型。其中二叉树(Binomial Tree)期权定价模型最早是由考克斯(Cox)、罗斯(Ross)和鲁宾斯坦(Rubinstein)(1979年)提出的，他们所依据的原则也是无套利原则以及风险中性原则。 返回章 一、二叉树期权定价模型的假设条件 二、单期欧式期权的定价模型 三、两期的欧式期权定价模型 四、二叉树期权定价模型的其他应用,2020/8/11,23,一、二叉树期权定价模型的假设条件,1、股票市场是有效的； 2、存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会； 3、股票和期权合约的买卖不涉及交易成本、也不考虑税收；1 4、市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金； 5、无风险利率为常数；2 6、金融市场上的投资者都是风险中立者；3 7、假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。,2020/8/11,24,注释,1显然这一假设不符合实际，因为即使是交易大厅的交易商也要支付费用。这一假设条件可能会极大影响期权的真正成本，也是造成不同期权市场实际期权费差异的主要因素。但这一假设的确能充分地简化我们的理论推导。 2无风险利率是金融业常用的一个术语，实际上并不存在真正无风险的利率。在西方金融市场上，一般会采用离到期还有30天的美国短期国库券(T-Bill)利率作为无风险利率的近似替代品，但即使是这种利率，也是在每天发生变化。 3既没有人要求更高的回报率来补偿其进行的证券投资，这使得所有投资于有价证券的回报都是相等的，都等于无风险利率。,2020/8/11,25,二、单期欧式期权的定价模型 返回节,2020/8/11,26,2020/8/11,27,2020/8/11,28,2020/8/11,29,2020/8/11,30,2020/8/11,31,（二）欧式卖权的定价模型返回章,2020/8/11,32,2020/8/11,33,2020/8/11,34,2020/8/11,35,三、两期的欧式期权定价模型,2020/8/11,36,2020/8/11,37,2020/8/11,38,2020/8/11,39,2020/8/11,40,将上面得出的f1、f2代入(10.2.23)式，可得： 美元 也可由式(10.2.24)直接求出卖权的合理价格： =$1.49美元 同样由于股票价格上涨的概率大于下跌的概率，因此，买权的价格高于卖权的价格。 从表面上看，二叉树期权定价模型似乎有一个不足，即假设每一期股票价格变动的结果只有两种可能性，而在现实中，股票的价格可谓千变万化。但实际上这其实并不能构成问题，我们完全可以通过增加期数（或缩短单位时间长度）来扩大股票价格变动的范围，从而使二叉树期权定价模型更加准确地反映金融市场的运行情况。返回电子版主页,2020/8/11,41,2020/8/11,42,2020/8/11,43,四、二叉树期权定价模型的其他应用返回节,2020/8/11,44,2020/8/11,45,2020/8/11,46,2020/8/11,47,2020/8/11,48,2020/8/11,49,2020/8/11,50,2020/8/11,51,第三节 Black-Scholes模型,一、Black-Scholes模型的假设前提 二、Black-Scholes模型及其推导过程 三、期权价格的决定因素： 返回章,2020/8/11,52,一、Black-Scholes模型的假设前提,1、市场是有效的； 2、不存在无风险套利机会； 3、股票和期权合约的买卖不涉及交易成本； 4、不存在卖空机制； 5、期权为欧式期权，这是指只有在到期日才可行使的期权； 6、无风险利率已知为且为常数； 7、连续资产交易，所有资产价格遵循连续随机过程； 8、不支付现金股息和红利；,2020/8/11,53,假设前提还有：,9、收益率呈对数正态分布，事实上这一假设适用于绝大多数金融资产的价格波动分布特征，在本节后一些后面有所证明。 之所以先选择欧式期权来进行定价，是因为美式期权可以在期权的有效期内任意时刻被行使，其灵活性很大，所以更有价值。但这个因素并不是定价中需要认真考虑的主要因素。以买权为例，提前行使期权就意味着在获得期权内在价值的同时需要放弃期权尚有的时间价值，因此，提前行使期权是否有利，要比较以上两个因素而定。,2020/8/11,54,二、Black-Scholes模型及其推导过程,2020/8/11,55,2020/8/11,56,2020/8/11,57,2020/8/11,58,2020/8/11,59,2020/8/11,60,何为正态分布的对称性？返回节,将(10.3.9)代入(10.3.6)并根据正态分布的对称性，有：1-N(d)=N(-D)，于是可得： 返回电子版主页 (10.3.10) 式(10.3.10)中的 也被称为金融资产的易变性(Volatility)。 越大，基础金融资产价格偏离期权协定价格的可能性也越大。可以应用历史资料来求出金融资产的易变性，我们称之为历史易变性，其具体计算方法需要分四步进行计算：,2020/8/11,61,2020/8/11,62,2020/8/11,63,2020/8/11,64,（二）求 的表达式,2020/8/11,65,2020/8/11,66,三、期权价格的决定因素：,从BS模型所涉及的变量来看，期权价格的决定因素主要有：基础金融资产的价格，期权的行使价格，无风险利率，到期时间，基础金融资产的易变性。除此之外，BS模型假设不支付现金股息和红利，实际上，由于大多数股票都要支付股息或红利，我们利用BS模型定价时，要依次情况作适当的调整。 返回节 （一）基础金融资产的价格 现行资产价格越高，买权的价值越大，期权费就越高人们买入买权就是指望从股价上涨中获利。 现行资产价格越低，卖权的价值越大，期权费就越高。人们买入卖权就是指望从股价下跌中获利。,2020/8/11,67,（二）期权的行使价格,期权收益等于标的资产的市价与协议价格之差。 对于买权来说，协议价格越低，期权价值越大，买权的价格就越高。对于卖权而言，协议价格越高，期权价值越大，卖权的价格就越高。 （三）无风险利率 从比较静态的角度考察即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果某种状态的无风险利率较高则标的资产的预期收益率也应较高这意味着对应于标的资产现在特定的市价()，未来预期价格较高。同时由于贴现率较高，未来同样预期赢利的现值就较低。这两种效应都将减少卖权的价值。但对于买权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，买权的价格也较高。 返回节,2020/8/11,68,第四节 新型期权,近几年来，在金融市场上开始出现了一些独树一帜的品种，被总结为第二代期权。它们通过将标准期权的条件进行变更使其更适合某些客户或某种情况的特殊需要。主要包括：返回章 一、合同条款变化型期权由于标准条款的一些基本特征的变化而产生的新期权。 二、路径依赖型期权这类期权的最终收益不仅依赖于载体资产到期日的价格，而且取决于随时间变化载体资产价格变化的路径。 三、多因素期权期权的最终收益取决于两个或更多的载体资产的价格，合同条款变化型期权。,2020/8/11,69,一、合同条款变化型期权,1、半美式期权或百慕大式期权； 2、数字期权或二进制期权(Binary)； 3、迟付期权或或有期权； 4、延期期权或可扩展期权； 5、买卖权可选期权或后定期权； 6、呼叫期权； 7、档板期权或障碍期权。 返回章,2020/8/11,70,1、半美式期权或百慕大式期权,欧式期权只能在到期日清算执行，而美式期权可在期权有效期内任意时间点上通过执有一份相反的期权头寸而对冲。半美式期权或说百慕大式期权则正好介于两者之间，可在期权有效期内几个特定的日子上清算执行。这种期权计算更复杂，只能用二叉树方法或三叉树方法近似求解。 返回子小节,2020/8/11,71,2、数字期权或二进制期权,数字期权的收益与期权为价内期权时的盈利程度无关，如果期权到期时是价内期权的，其收益为预先确定的一个固定的数额A，否则为0。就像二进制数那样，非0即1，所以才有此名。 数字期权又可分为两种类型： （1）“有或无型” ：该种期权仅在到期日期权为价内期权时才会有收益。 （2）“一触即有”型：该种期权只要在有效期内某一阶段为价内期权就会有收益。 这两种期权计算可用鞅方法得到封闭的解析解。返回子小节,2020/8/11,72,3、迟付期权或或有期权,这种期权除非打算执行，否则不需要支付购买价格。但是，只要期权在到期日那天是价内期权就必须执行，即使其内在价值小于购买价格时也是一样。 返回子小节,2020/8/11,73,4、延期期权或可扩展期权,拥有这种期权的投资者有权在未来某时刻获得另一种期权，且该期权的约定价格是当日标的资产的市场价。由于期权的期限通常都较短，所以，期权在用于避险时经常要在其到期后更换。有了可扩展期权就可以不再经常更换期权，从而降低避险成本。 返回节 该期权涉及到二元正态分布函数，可以得到封闭的解析解。 返回子小节,2020/8/11,74,5、买卖权可选期权或后定期权,这种期权持有者有权在未来某时刻获得另一种期权，既可选买权也可选卖权。这种期权可分为单期后定选择权、多期后定选择权和复杂后定选择权。 前两种选择权的到期日相同，行使价格也相同，所以定价公式并不复杂。最后一种选择权买权和卖权的到期日不同，行使价格也不同，所以定价公式较复杂。后定选择权封闭解是Rubinstein (1992、1994)得出的。 返回子小节,2020/8/11,75,6、呼叫期权,这种期权与棘轮期权和梯形期权很相似。棘轮期权的约定价格在预先确定的日期重新确定，梯形期权则可以多次在达到预先定好的资产价格水平时重新约定价格。而对于呼叫期权，约定价格的重定日期并非预先定好的，而是由期权购买人进行判断，在其认为最有利的时候通过“呼叫”来重新制定的。 返回子小节,2020/8/11,76,7、档板期权或障碍期权,档板期权(Barry Option)在初始时就确定两个价格水平，其一为约定价格，另一个是特定的档板价格(Barrier)或引发价格。当载体资产的价格达到或越过档板价格会发生什么情况将取决于档板期权的类型。档板期可分为两种： （1）触消期权(Knock-out Option)：触消期权一开始与标准期权一样，但当档板价格水平被突破时权利就会消失； 返回子小节 （2）触发期权(Knock-in Option)：触发期权当价格达到档板水平时就会被激活。如果有效期内基础资产价格没有突破档板，那么触消期权一直有效，而触发期权一直无效。,2020/8/11,77,触消期权/触发期权,档板买权的档板价格通常比约定价格和当前资产价格都要低,这就产生两种档板买权： （1）向下触消型买权(Down-and-out Calls)； （2）向下触发型买权(Down-and-in Calls)。 档板卖权的档板价格也是被设定成价外的(Out of the Money)，即高于约定价格和载体资产价格，于是也产生两种档板卖权： （1）向上触消型卖权(Up-and-out Puts)； （2）向上触发型卖权(Up-and-in Puts)。 由于触消型期权存在权利消失的可能性，因此它的价格比标准期权便宜一些。,2020/8/11,78,二、路径依赖形期权,1、亚洲期权或平均价格期权； 2、平均约定价格期权； 3、回顾期权； 4、梯形期权； 5、棘轮期权或连续履约价期权。 返回章 返回节,2020/8/11,79,1、亚洲期权或平均价格期权,亚洲期权又称平均价格（平均利率、平均汇率）期权其收益不只是用到期日的基础价格而是用一段时间内基础资产的平均价格来决定的。这个平均过程可以有好几种：以月为单位平均，或以周、日或任何一个预先确定的时间周期的平均。用算术平均和几何平均都可以。 对于有效期内各个时间单位的标的资产价格，其权重可以是灵活的。当亚洲期权是几何平均时，相对于算术平均反而要简单，可以得到类似于B-S模型的封闭解析解。当平均是基于算术平均时，没有一个解析解，计算方法也较复杂。Bouaziz、Briys、Crouhy(1994)提供了远期亚洲期权的近似封闭解公式。返回子小节,2020/8/11,80,2、平均约定价格期权,平均约定价格期权(Average Striking Option)和平均价格（平均利率、平均汇率）期权相似，平均约定价格期权(Average Striking Option) 也是采用一段时间之内标的资产的平均价格来决定期权盈亏的。然而,后者有固定的行使价格,而前者标的资产一段时间内的这个平均价格是这种期权的行使价格。返回电子版主页 返回子小节,2020/8/11,81,3、回顾期权,回顾期权(Look Back Option)的行使价格也是在到期时确定的。但是，回顾期权赋予投资者选择最优的行使价格或标的资产价格的权利。回顾期权可分为两种： （1）浮动行使价格的回顾期权：买权可以选择最低的行使价格，卖权可以选择最高的行使价格。 （2）固定行使价格的回顾期权：这种期权与浮动行使价格的回顾期权正好相反，有固定的行使价格，但标的资产的清算价格是可以通过回顾来选择的，买权可以选择过去最高的价格，卖权选择过去最低的价格。 返回子小节 回顾期权有一个解析解，但较复杂。,2020/8/11,82,4、梯形期权,这种期权与棘轮期权比较相似，不过梯形期权预先确定了一系列的价格水平，当标的资产价格达到下一个价格水平时，行使价格就要重新确定。相比之下，棘轮期权行使价格的重新设定是在特定的某一天或某几天，而不论当时标的资产的市场价格是多少。 从理论上来讲，梯形期权可由一系列档板期权组合而成。 返回子小节,2020/8/11,83,5、棘轮期权或连续履约价期权,棘轮期权又称限界期权，其行使价格已经确定了，然而在一系列预先定好的日期可以以当时资产价格来重新确定行使价格。一旦行使价格重新确定就可以锁定内在价值。 棘轮期权有些像一系列短期延期期权。其履约价格可以从某一确定价格K开始一直增加，并无上限的限制，也可以把行使价格确定在某一个范围之内，如40K80等。该期权也有一个明确的解析解。 返回子小节,2020/8/11,84,三、多因素期权,1、彩虹期权或超表现期权； 2、一篮子期权； 3、价差期权或互换期权； 4、双币种期权或数期； 5、复合期权。 返回章 返回节,2020/8/11,85,1、彩虹期权或超表现期权,彩虹期权又称超表现期权，或者极大（小）值期权。彩虹看涨期权的收益由两个或多个标的资产的最高价格决定，而彩虹看跌期权则由两个或多个标的资产的最低价格决定。 彩虹期权有解析佳，其定价公式的复杂程度由标的资产的个数决定。两个标的资产涉及到二元正态分布函数，N个标的资产则有N元正态分布函数。Johnson(1981)和Stultz(1982)曾求解过以两种资产为标的物的最大值与最小值期权。他们开发的这种方法可以延伸到N种标的物的最大值与最小值期权。 返回子小节,2020/8/11,86,2、一篮子期权,一篮子期权有些像彩虹期权的组合，不过其收益由一篮子载体资产的加权平均价格决定。由于组合价格不是对数正态分布，所以只有近似解，没有解析解。返回子小节,2020/8/11,87,3、价差期权或互换期权,价差期权又称互换期权(Swap Option)，这种期权的收益来自一对资产的价格差。 这种期权的定价公式很简单，有解析解。Margrabe于1978年曾经开发出这种期权的定价模型。 返回子小节,2020/8/11,88,4、双币种期权或数期,双币种期权(Dual-Currency Option)，简称数期，又称币种转换期权(Currency-Translated Option)：其收益取决于一种基础资产的价格，但其风险的程度由另一种资产价格决定。 “数期”一词由数量和期权结合而成。通常，期权的标价是一种货币，其载体资产的标价是另一种货币。这种定价公式比较复杂，有封闭的解析解。 返回子小节,2020/8/11,89,5、复合式期权返回节,复合期权适合于那些风险敞口尚不明确的避险者，可以称为或有风险的规避。这种期权将期权本身作为一种基础资产进行买卖。复合期权有以下四种组合： （1）买权的买权：以买权为标的资产，行使价格为标的买权的价格，若标的买权是实值的，则该复合期权可以行使； （2）买权的卖权：以买权为标的资产，行使价格为标的买权的价格，若标的买权是虚值的，则该复合期权可以行使； （3）卖权的买权：以卖权为标的资产，行使价格为标的卖权的价格，若标的卖权是实值的，则该复合期权可以行使； 返回子小节 （4）卖权的卖权：以卖权为标的资产，行使价格为标的卖权价格，若标的卖权是虚值的，则该复合期权可以行使。,2020/8/11,90,第十章完 返回章,