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放缩法例题解析(208浙江)(2)(本题14分)已知数列,,记求证:当时,();();().()证明:用数学归纳法证明当时,因为是方程的正根,所以假设当时,,因为 ,所以即当时,也成立.根据和,可知对任何都成立。()证明:由,(),得因为,所以.由及得,所以()证明:由,得所以,于是,故当时,,又因为,所以(2006全国卷一)(22)、(本小题满分分)设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:.解: ()由Snn2+, n=1,2,3, , 得a11= a-4+ 所以a1=2。再由有S-1=n2n+, n2,3,4,将和相减得: an=n= (ana-)(+12n),n=2,3,整理得: n+2n=4(an1+),=2, , 因而数列 an+n是首项为a1+=4,公比为的等比数列,即: an=41 n, n=1,2,3, , 因而n=4n2n, =1,2,3,,()将an=42n代入得 Sn (4n-2n)+ =(2n+1)(n+12) = (2n+1-1)(21) Tn= = =( )所以, = ) ( ) 21。在数列中,且成等差数列,成等比数列.求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;证明:.解:()由条件得由此可得2分猜测4分用数学归纳法证明:当n=1时,由上可得结论成立.假设当k时,结论成立,即,那么当=k+1时,。所以当=k+时,结论也成立由,可知对一切正整数都成立7分()n时,由()知.9分故综上,原不等式成立. 2分(200四川)22 (本小题满分14分)设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。(I)求数列的通项公式;(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;(II)设数列的前项和为.已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力。解:()当时,又数列成等比数列,其首项,公比是.3分()由()知 = 又当当 ()由()知一方面,已知恒成立,取n为大于的奇数时,设则 对一切大于1的奇数恒成立只对满足的正奇数成立,矛盾.另一方面,当时,对一切的正整数n都有事实上,对任意的正整数k,有 当n为偶数时,设则 当n为奇数时,设则对一切的正整数n,都有综上所述,正实数的最小值为4。14分文中如有不足,请您指教!5 / 5
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