2022年高考数学复习《不等式证明》典型例题

2022年高考数学复习不等式证明典型例题例1 若，证明（ 且）分析1 用作差法来证明需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明解法1 （1）当时，因为 ，所以 （2）当时，因为 所以 综合（1）（2）知分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法2 作差比较法因为 ，所以说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快典型例题二例2 设，求证：分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式证明：，. 又，.说明：本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明： （当且仅当时取等号）两边同加，即： （1）又： （当且仅当时取等号）两边同加 （2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解典型例题四例4 已知、，求证分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧证明： ，同理：，。 说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的典型例题五例 已知，求证：0.分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明0只需要证明0成立0成立证明二：(综合法书写过程) 0成立0成立说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六例6 若，且，求证：分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）证明：为要证只需证，即证，也就是，即证，即证，故即有，又 由可得成立， 所求不等式成立 说明：此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证需证”，综合法的书写过程是：“因为（）所以（）”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混典型例题七例7 若，求证分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法证法一：假设，则，而，故从而，这与假设矛盾，故证法二：假设，则，故，即，即，这不可能从而证法三：假设，则由，得，故又，即这不可能，故说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法典型例题八例8 设、为正数，求证分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法证明：要证，只需证，即证，化简得，原不等式成立说明：1本题证明易出现以下错误证法：，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且来讨论，结果无效2用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以典型例题九例9 已知，求证分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数，可设，其中由，故而，故说明：1三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或时，均可用三角代换2用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性典型例题十例10 设是正整数，求证分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围证明：由，得当时，；当时，当时，说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境例如证明由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2当放缩方式不同，结果也在变化2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和典型例题十一例11 已知，求证：分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好证明：欲证，只须证即要证，即要证即要证，即要证即要证，即即要证（*），（*）显然成立，故说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件分析法通常采用“欲证只要证即证已知”的格式典型例题十二例12 如果，求证：分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明证明： 说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用如果原题限定，则不等式可作如下变形：进一步可得到：显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程典型例题十三例13 已知，求证：在三数中，不可能都大于分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾证明：假设三数都大于，即，又，又，以上三式相加，即得：显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想典型例题十四例14 已知、都是正数，求证：分析：用分析法去找一找证题的突破口要证原不等式，只需证，即只需证把变为，问题就解决了或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程证法一：要证，只需证，即，移项，得由、为正数，得原不等式成立证法二：、为正数，即，故，说明：题中给出的，只因为、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当时取“”号证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键本题的关键是证明典型例题十五例15 已知，且求证：分析：记，欲证，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件，可换元，围绕公式来进行证明：令，且，则，即成立说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若，可设；(2)若，可设，；(3)若，可设，且典型例题十六例16 已知是不等于1的正数，是正整数，求证分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式证明：是不等于1的正数，又将式，两边分别相乘得，说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利由特点选方法是解题的关键，这里因为，所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果这也是今后解题中要注意的问题典型例题十七例17 已知，且，求证分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法证明：要证，只需证，只需证，成立说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的典型例题十八例18 求证分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可证明：，说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键典型例题十九例19 在中，角、的对边分别为，若，求证分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化证明：，由余弦定理得， = 说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式本题应用知识较为丰富，变形较多这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养