《指数函数的图像与性质》教学案例

指数函数的图像与性质教学案例一、提出问题：新课程认为知识不是单方面通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（教师指导和同学的帮助）协作，主动建构而获得的。它强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。通过多年教学实践和对新课程的认识 ,我认为若遵循这个原则进行数学课堂教学，学生的学习将是一 种高效的活动。二、教材中的地位：本节内容是在指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的，而指数函数是高中研究的第一种具体函数。是在初中已经初步探讨了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质的基础上，在进一步学习了函数的概念及有关性质的前提下，去研究学习的。重点是指数函数的图像及性质，难点在于弄清楚底数 a 对于函数变化的影响。这节课主要是学生利用描点法画出函数的图像，并描述出函数的图像特征，从而指出函数的性质。使学生 从形到数的熟悉，体验研究函数的过程与思路，实现意识的深化。三、设计背景：在新教材的教学中，我慢慢体会到新教材渗透的、螺旋式上升的基本理念，知识点的形成过程经历从具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题的过程，它的应用性，实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，经过多年的数学学习，学生还是害怕学数学，尤其高中的数学，它对于学生来说显得很抽象。所以如果再让学生感到数学离我们的生活太远，那么将很难激发他们的学习兴趣。所以在教学中我尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，就本章来说，指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，让学生学会研究一个新的具体函数的方法比学会本身的知识更重要。在这个过程中，所有的知识都是生疏的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，因而授课中注重让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。 四、教学目标：（一、）知识：理解指数函数的定义，能初步把握指数函数的图像，性质及其简单应用。（二、）过程与方法：由实例引入指数函数的概念，利用描点作图的方法做出指数函数的图像，（有条件的话借助计算机演示验证指数函数图像）由图像研究指数函数的性质。利用性质解决实际问题。 （三、） 能力：1通过指数函数的图像和性质的研究，培养学生观察，分析和归纳的能力，进一步体会数 形结合的思想方法。2通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法。五、教学过程：由实际问题引入：问题 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，1 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞的个数 y 与 x 之间的关系是什么？分裂次数与细胞个数1，2；2，22=22；3，222=23；x，222=2x归纳：y=2x问题 2：某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%， 那么经过 x 年后剩留量 y 与 x 的关系是什么？经过 1 年，剩留量 y=11；经过 2 年，剩留量2经过 x 年，剩留量 x寻找异同：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量 x 与 y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不 同点：底数的取值不同。那么，今天我们来学习一个新的基本函数：指数函数得到指数函数的定义：定义：形如 y=ax（a0 且 a1）的函数叫做指数函数。在以前我们学过的函数中，一次函数用形如 y=kx+b（k0）的形式表示，反比例函数用形如 y=k/x（k0）表示，二次函数 y=ax2+bx+c(a0)表示。对于其一般形式上的系数都有相 应的限制。问：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若 a=0，当 x0 时，恒等于 0，没有研究价值 当 x0 时，无意义。若 a0 且 a1。由定义，我们可以对指数函数有一初步熟悉。进一步理解函数的定义：指数函数的定义域：在我们学过的指数运算中，指数可以是有理数，当指数是无理数时，也是一个确定的实数，对于无理数，学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，所以指数函 数的定义域为 R.研究函数的途径：由函数的图像及性质，从形与数两方面研究。学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像性质去解决数学问题和实际问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？（图像的分布范围，图像的变化趋势，）图像的分布情况与函数的定义域，值域有关，函数的变化趋势体现函数的单调性。引导学生从定义域，值域，单调性，奇偶性，与坐 标轴的交点情况着手开始。首先我们做出指数函数的图像，我们研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。我们以具体函数入手，让学生以小组形式取不同底数的指数函数画它们的图像，将学生画的 函数图像展示，（画函数的图像的步骤是：列表，描点，连线。）。最后，老师在黑板（电脑）上演示列表，描点，连线的过程，并且，画出取不同的值时，函 数的图像。要求学生描述出指数函数图像的特征，并试着描述出性质。数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历，新课程较好的体现了这点。对新课程背景下的学生而言，数学的知识应该是一个数学化的过程，即通过对常识材料进行细致的观察、思考，借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工。该案例正是从数学研究和数学实验的过程中进行设计。虽然学生的思维不一定真实的重演了人类对数学知识探索的全过程，但确确实实通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中将数学数学化， 从而才使学生对数学学习产生了乐趣，对数学的研究方法有了一定的了解。虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程。该案例正是从创设问题情景作为教学设计的重要的内容之一。教师应该把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，侧重于学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力。教师的地位应由主导者转变为引导者，使教学活动真正成为学生的活动。在教学过程中，把学习的主动权交给学生，在时间和空间上保证学生在教师的指导下，学生能自己独立自主的探究学习。使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力， 在自己原有的基础上都有所获，都有提高。总之，通过案例研究，不断研究新教材、新理念，不断调整教学策略优化课堂教学，培 养学生探究学习与创新学习能力将是我们在数学教学中要继续探究的课题。指数函数的图象及其性质一、 教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学必修（1）（人教 A 版） 第二章第一节第二课（2.1.2）指数函数及其性质。根据我所任教的学生的实 际情况，我将指数函数及其性质划分为两节课（探究图象及其性质，指数函 数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。 指数函数是重要的 基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础， 同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。二、 学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上 进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出 了两个实际例子（GDP 的增长问题和炭 14 的衰减问题），已经让学生感受到指数 函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个 看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又 抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来， 通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望持久的好奇心。我们知 道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只 关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数， 是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方 位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以 便能将其迁移到其他函数的研究中去。2.结合参加我校组织的两个课题对话反思选择和新课程实施中同伴合作和师生互动研究的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点： .在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、 总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究 数学的方法。3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数 的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能 应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和 解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学 生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本 节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流 的意识。五、教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 六、教学过程：（一）创设情景、提出问题 (约 3 分钟)师：如果让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 6 粒 米，4 号同学准备 8 粒米，5 号同学准备 10 粒米，按这样的规律，51 号同 学该准备多少米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51 号同学该准备 102 粒米，大约 5 克重。师：如果改成让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 8 粒米，4 号同学准备 16 粒米，5 号同学准备 32 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少米？【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目 】师：大家能否估计一下，51 号同学该准备的米有多重？教师公布事先估算的数据：51 号同学所需准备的大米约重 1.2 亿吨。 师：1.2 亿吨是一个什么概念？根据_9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示，2007_度我国大米产量预计为 1.27 亿吨。这就是说 51 号同学所需 准备的大米相当于 2007_度我国全年的大米产量！【 设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同 时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知 的兴趣和欲望。】在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用 y 表示，每位同学的座号 数用 x 表示， y 与 x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出 y=2x（ x N*）和 y =2x（ x N*）【学情预设：学生可能会漏掉 x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题 中 x 的范围。】（二）师生互动、探究新知1指数函数的定义*师：其实，在本章开头的问题 2 中，也有一个与 y =2 （ x N, x 20 ）x类似的关系式 y =1.073x让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约 3 分钟） y =2x（ x N*）和 y =1.073x（ x N*, x 20 ）这两个解析式有什么共同特征？它们能否构成函数？是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰 当的名字？【设计意图 ：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现 y =2x， y =1.073x是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。师：如果可以用字母 a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 y =a 的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。让学生讨论并给出指数函数的定义。（约 6 分钟）对于底数的分类，可将问题分解为：x若 a 0 会有什么问题？（如 a =-2， x = 不存在）12则在实数范围内相应的函数值若会有什么问题？（对于 x 0 ， a x 都无意义）若又会怎么样？（无论取何值,它总是 1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。且 .【学情预设： 若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问， 为什么要求 a f 0，且 a 1 ； a =1 为什么不行？若学生只给出 y =ax，教师可以引导学生通过类比一次函数k（ y =kx +b, k 0 ）、反比例函数（ y = , k 0 ）、二次函数x（ y =ax 2 +bx +c, a 0 ）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】 【设计意图 ：对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；讨论出 a f 0，且a 1 ，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如 y =2 3x，y =32 x，y =-2x。【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】 【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】2指数函数性质提出两个问题（约 3 分钟）目前研究函数一般可以包括哪些方面；【设计意图 ：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对 应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角 度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手 （即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函 数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能 事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。【设计意图 ：让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学 生可以从图象和解析式 (包括列表)不同的角度对函数进行研究；对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨 论）的有机渗透。】分组活动，合作学习（约 8 分钟）师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；每一大组再分为若干合作小组（建议 4 人一小组）；每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可 做适当的指导。】【设计意图 ：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加 深对所得到结论的理解。】交流、总结（约 1012 分钟）师：下面我们开一个成果展示会!教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上 台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求 学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是 否还有其它性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1）， y =ax1 与 y =( )ax的图象关于 y 轴对称）【学情预设： 首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报； 问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过 电脑操作看函数图象的变化。】【设计意图： 函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这 个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象 角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析 式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学 问题的分析和表达能力，培养其数学素养；对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解 决分类问题使该难点的突破显得自然。】师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1）， 但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义 域、值域，但对底数的分类却很难想到。教师通过几何画板中改变参数 a 的值，追踪 y =a x 的图象，在变化过程中， 让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。图象定义域值 域性质0a1R过定点（0，1）非奇非偶在 R 上是减函数（三）巩固训练、提升总结 （约 8 分钟）在 R 上是增函数1例：已知指数函数 f ( x) =ax( a 0, 且a 1) 的图象经过点 (3,p) ，求f (0), f (1), f ( -3) 的值。解：因为 f ( x ) =a x 的图象经过点 (3, p) ，所以 f (3) =p即 a3=p，解得 a =p13，于是 f (3) =px3。所以 f (0) =1, f (1) =3 p, f ( -3) =1p。【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件， 即布列一个方程就可以了。【 设计意图 ：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗 透方程的思想。】2练习：在同一平面直角坐标系中画出 y =3x1 和 y =( )3x的大致图象，并说出这两个函数的性质；求下列函数的定义域： y =2x -21 ， y =( )21x。3师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？【 学情预设 ：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导 学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】【设计意图：让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该 从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法 , 以便能将其迁移到其他函 数的研究中去。总结本节课中所用到的数学思想方法。 强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融 会贯通。 】4作业：课本 59 页习题 21A 组第 5 题。七、教学反思1本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函 数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质， 更重要的是让学生体会到对函数的研究方法 ,以便能将其迁移到其他函数的研究 中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。2教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面 的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用 几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对 指数函数单调性的影响。3在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学 思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思 想方法去分析、思考问题。