向量组地线性相关与线性无关

实用标准文案向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设ai,a2,atRn ,kik?,ktR，称人印k?a2为 aia?,at的一个线性组合。k1 k2【备注 1 】按分块矩阵的运算规则，k1a1 k2a2ktat (a1 , a2 , ,at) 2 。这1 12 2t t 12t Mkt样的表示是有好处的。2. 线性表示设ai,a2, ,at Rn , b Rn，如果存在匕出，K R，使得b k1 a1 k2a2ktat则称b可由ai,a2, , at线性表示。k1 k2b ki k?a2K 4 ,写成矩阵形式，即b (a1,a2, ,at)。因此，b可1 2 t Mktk1k2由ai,a2, ,at线性表示即线性方程组(qa?, ,q)b有解，而该方程组有解1 2 t M kt当且仅当 r(a1,a2, ,at) r(a1, a2, ,at,b) 。3. 向量组等价设 a1, a2, ,at,b1,b2, ,bs Rn ，如果 a1, a2, , at 中每一个向量都可以由bi,b, ,bs线性表示，则称向量组ai, a2,且可以由向量组bjb?, ,b$线性表示。 如果向量组ai,a2, ,at和向量组d,b2, ,bs可以相互线性表示，则称这两个向 量组是等价的 。向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。(2) 对称性 若向量组 I 与 II 等价，则向量组 II 也与 I 等价。(3) 传递性 若向量组 I 与 II 等价，向量组 II 与 III 等价，则向量组 I 与 III 等价。证明：,bs，向量组 III 为 Ci,C2, , ct o1,2, ,s。向量组I可由向量自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组 I 为 a1,a2, ,ar ，向量组 II 为 b1,b2,t向量组 II 可由 III 线性表示，假设 bjykjck，k1s组 II 线性表示，假设 aixjibj ， i 1,2, ,r 。因此，j1sstaixji bj xjiykjckj 1 j 1 k 1ts(ykj xji )ck ，k 1 j 11,2,r文档因此，向量组 I 可由向量组 III 线性表示。向量组 II 可由 I 线性表示， III 可由 II 线性表示， 按照上述办法再做一次， 同 样可得出，向量组 III 可由 I 线性表示。因此，向量组 I 与 III 等价。结论成立！4. 线性相关与线性无关设ai,a2, ,at Rn，如果存在不全为零的数匕，,kt R，使得k1a1k2a2kt at0则称ai,a2, ,at线性相关，否则，称aia?,印线性无关。按照线性表示的矩阵记法，ai, a2, at线性相关即齐次线性方程组k1k2(ai,a2, at )M0kt有非零解，当且仅当r(a1,a2,at )t a1, a2 ,k,at线性无关，即1k2(ai,a2, at )M0kt只有零解，当且仅当r(a1,a2,at) t 特别的，若t n，则玄勺总，,an Rn线性无关当且仅当r(ai,a2, ,an) n ,当且仅当(ai,a2, , an)可逆， 当且仅当佝，&2, , an) 0 例1.单独一个向量a Rn线性相关即a 0，线性无关即a 0 因为，若a线性相关，则存在数k 0，使得ka 0，于是a 0。而若a 0，由于1 a a 0，1 0因此，a线性相关。例2.两个向量a,b Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1a k2b 0 k1,k2不全为零，不妨假设k1 0，则ak2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在，使得a b，则a b0，于是a, b线性相关。100x1例 3. 0 ,1,0线性无关，且任意xx2R3都可以由其线性表示，且表示001X3方法唯一。事实上,X1100xX2为0x2 1X3 0X30015. 线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设ai,a2, ,at Rn，其中有一个为零，不妨假设at 0,则0 a1 0 a20 at 1 1 0 0因此，ai,a2, ,at线性相关。(2) 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai, a2, at, i, 2,ns R ， ai,a2,at 线性相关。存在不全为零的数ki,k2,kt ，使得kiaik2a2ktat0这样，kiaik2a2ktat0 i02 0 s 0ki,k2,kt 不全为零，因此，ai,a2, ,at , i,2, s 线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的 新向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2, ,at Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量,，bib, ,bt是同维的列向量。令bt1 2 tatk1a1 k2a2ktat0btk1b1 k2b2ktbt最后一个分量之后，成为 a1 , a2b1 b2a1a2k1 1 k2 21 b1 2 b2则匕印k?a2Ka 0。由向量组a“a2, 线性相关，可以得到k1 k2kt 0。结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设ai, a2, ,at Rn为一组向量。必要性 若ai, a2, , at线性相关，则存在一组不全为零的数 kk?, ,K，使得ki ai丘2玄2kt at0ki,k2, ,kt不全为零，设kj 0，则ajkj iaj i kj iaj iktatkj充分性若ai,a2, ,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a可以表示成ai, 勺厲仆，印的线性组合，则存在一组数 灯，K，使得ajki aikj iaj ikj iajiktat也就是ki aik j iaj iaj kj iaj iktat0但 ki, , kj i,i,kj i, , kt不全为零，因此， ai,a2,at线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。若ai,a2, ,at Rn线性无关，b Rn，使得aia?, ,at,b线性相关，则b可由ai,a2, ,at线性表示，且表示方法唯证明:ai, a2, , at ,b线性相关，因此，存在不全为零的数 ki, k2, ,kt ,kt i，使得这样,bkiaik?a2ktatkt i因此，b可由ai,a2, , at线性表示。假设 bxiaiX2a2Xtatyiaiy2a2ytat，则(Xiyi)ai(X2y2)a2(Xtyt)at0由ai,a2, at线性无关，有XiyiX2y2Xtyt0，即Xiyi,X2y2, ,Xtytk1 a1k?a2ktdkt ib 0kt i 0 ,否则 kt i0,则 k1a1k2a2ktat 0。由ai,a2,线性无关，我们就得到ki k2kt 0,这样，ki,k2,kt, kt i均为零，与其不全为零矛盾!因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组ai, ,at线 性表示，则表示法唯一。事实上，向量 b可由线性无关向量组ai, ,at线性表示， 即线性方程组 佝，ajx b有解。而a, ,at线性无关，即r（a, ,aj t。因此, 若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 若线性无关向量组ai,a2, ,at可由向量组Db, ,bs线性表示，则t s。 证明：假设结论不成立，于是t s。ai,a2, ,at可由Db, ,bs线性表示。假设XiiX2iai 为山 X2ib2Xsibs Qb, ,bs） _ ，MXsia2x12b1x22b2xs2bs (b1,b2,x12x1t x2t at x1tb1 x2tb2xstbs (b1,b2, ,bs)M xst任取 k1,k2, ,kt ，则x11x12Lx1t由于 x21x22Lx2t 为一个 sMMOMxs1xs2Lxstx11x21 M xs1t阶矩阵，而t s，因此，方程组x12Lx1tx22Lx2t2t x 0MOMxs2Lxstk1x11x12Lx1tk1k2x21x22Lx2tk2k1a1k2a2ktat(a1 , a2 , ,at)(b1 ,b2 , ,bs)MMMOMMktxs1xs2Lxstktk1ktat 0 。因此，存在一组不全为必有非零解，设为 kM2 ，于是 k1a1 k2a2kt零的数佥匕，K，使得ki k?a2ktat 0。因此，向量组aa?,可线性相关，这与向量组a1,a2, ,at线性无关矛盾！因此，t s。 若两线性无关向量组ai,a2, ,at和dd, b可以相互线性表示，则t s证明：由性质 (6)， t s ， s t ，因此， s t【备注 4】 等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设ai,a2, ,at Rn , P为n阶可逆矩阵，则2,耳线性无关当且仅当 Pai,Pa2, ,Pat线性无关。b可由印总，g线性表示，当且仅当Pb可由 Pa1,Pa2, ,Pat 线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明：由于 P 可逆，因此kiaik2a2ktat 0P(kiaik2a2ktat ) 0ki(Pai)k2 (Pa2)kt (Pat) 0kiaik2a2ktat bP(kiaik2a2ktat) bki(Pai)k2(Pa2)kt(Pat ) Pb如此，结论得证！6. 极大线性无关组定义1设ai,a2, ,at Rn，如果存在部分向量组ah, ai2,，使得(1) ai1,ai2, ,air 线性无关； ai,a2, ,at中每一个向量都可以由 寺，軌，线性表示；则称aa2,%为ai,a2, ,at的极大线性无关组。【备注 5】 设 a1,a2, ,at Rn， ai1,ai2, ,air 为其极大线性无关组。按照定义，ai,a2, ,at可由寺，軌，耳线性表示。但另一方面，玄軌，弘也显然可以由 ai, a2, ,at线性表示。因此，ai,a2, , a(与ah ,ai2, , air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个， 但都与原向量组等价， 按照向量组等价的传递性， 它们彼此之间是等价的， 即可以相互线性表示。 它们又都是线性 无关的，因此，由之前的性质 (7) ，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关 组的选取无关， 我们称其为向量组的 秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。【备注 6】按照定义，向量组 a1, a2, ,at 线性无关，充分必要条件即其秩为 t 。定义2设ai,a2, ,at Rn，如果其中有r个线性无关的向量 可七2,耳，但没有 更多的线性无关向量，则称ah, ai2, ,air为印?, ,at的极大线性无关组，而r为 ai,a2, ,at 的秩。【备注 7】 定义 2 生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有 r 个线性 无关的向量，体现了“无关性” ，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现 了“极大性”。【备注 8】两个定义之间是等价的。一方面，如果 ai1,ai2, ,air 线性无关，且ai,a2, ,at中每一个向量都可以由 和兀，线性表示，那么，务总，目就没 有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为 bi,b2, ,bs，s r。bi,b2, ,bs当然 可以由 ai1,ai2, air 线性表示，且还线性无关，按照性质 (6)， s r ，这与假设矛盾！另一方面，假设 可2，为ai,a2, 中r个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取ai,a2, ,at中一个向量，记为b，则刖，軌，ab线性相 关。按照性质(5)，b可有ah,ai2,线性表示(且表示方法唯一)。【备注9】设向量组a1,a2, ,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。 反过来，其中任何 r 个线性无关向量所成的向量组也是 a1,a2, ,at 的一个极大线 性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵 A 的列向量组的秩为 A 的列秩 ，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵 A 的行秩。定理 1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩证明：设A (aj) Rm n , r(A) r。将其按列分块为A 佝总，q)。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为10L0b1,r+1Lb1,n1L0b2,r 1Lb2,nOMMLMPA (Pa1,Pa2, ,Pan)1br ,r 1Lbr ,n00L00L0LLLLLLL00L00L0100010MMM0,0, 1线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,000MMM000100010MMM0,0,1为PA的极大线性无关组,000MMM000其个数为 r ，因此， a1,a2, ,ar 线性无关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩 等于A的秩b1T将A按行分块，A M，则At (Db, 4),因此，按照前面的结论，A bTm的行秩为A的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注 10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7. 扩充定理定理2设ai,a2, ,at Rn，秩为r，a,弘为其中的k个线性无关的向量， k r，则能在其中加入ai,a2,可中的(r k)个向量，使新向量组为印,玄2,且的 极大线性无关组。证明：如果 k r ，则 aii,ai2, ,aik 已经是 ai,a2, ,at 的一个极大线性无关组， 无须再 添加向量。如果k r，则ah,ai2，赳不是印旦，的一个极大线性无关组，于是， ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 a：k i，由性质，向量组 ah, ai2, ,aik,aikl 线性无关。如果 k i r ，则 aii,ai2, ,aik,aiki 已经是 ai,a2, ,at 的一个极大线性无关组， 无须再添加向量。如果k 1 r，则备軌，ak, aik 1不是ai,a2,吕的一个极大线性无关组，于 是，ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 號？，由性质，向量组 aii ,ai2 , ,aik ,aik i ,aik 2 线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到 r 个线性无关的向量为止。【备注 ii 】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8. 求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组 a1,a2, at Rn 的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现 将ai,a2, at合在一起写成一个矩阵 A 佝忌，aj ;(2) 将 A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为b11b12Lb1rb1,r 1Lb1,n0b22Lb2rb2,r 1Lb2,nMLOMMLMA00Lbrrbr,r 1Lbr,nB ， bii0,i 1,2, ,r ， r r(A)00L00L0MLLMMLM00L00L0(3) 在上半部分找出 r 个线性无关的列向量，设为 j1, j2, , jr 列，则 j1, j2, , jr 为B列向量组的极大线性线性无关组， 也是A列向量组的极大线性线性无关组， 也 就是ai,a2, at的极大线性无关组。为了在上半部分寻找 r 个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找 r 阶的 非奇异子矩阵。 r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。显而易见，上面矩阵第 1 到第 r 列即向量组的一个极大线性无关组。其余情 形同理。(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为 在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组 合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在 A中，第1到第r列为列向量 组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合， 表示系数 与B中的一致。1001MLA 0 000ML00L 0 b1,r 1L 0 b2,r 1 O M ML 1 br,r 1L 0 0 LMML 0 0Lb1,nLb2,nLMLbr ,nBL0LML0我们的理论依据是性质（8）。21 1 121例4.设矩阵A1 2 14，求A的列向量组的一个极大线性无关组,46 2 2436979并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。【解答】记A （印包忌忌旦），211121121411214r2 2r11214r1r221112r3 4儿03316A4622446224场3口0101061236979369790334321012113r231010410A333r201112rs (8）011033r4r2r4 :3r3000132(3)8000380000000039因此，A的列向量的一个极大线性无关组为ai,a2,a4，a3 ai a?，a44印3a23a3