高等数学极限运算法则章节讲课

第一章 第五节极限运算法则1章节课件定理定理 4.若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数)推论推论 2.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数)BA定理定理 5.若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0,则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3.若2章节课件 x=3 时分母为 0!31lim3xxx例例4.934lim223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx62313章节课件例例5.求.4532lim21xxxx解解:x=1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母=0,分子0,但因4章节课件例例6.求.125934lim22xxxxx解解:x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“抓大头抓大头”原式5章节课件一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当6章节课件3.求.)1(lim2xxxx解法解法 1 原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt 0t7章节课件定理定理7.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明:若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得)(lim0 xfxxAufu)(lim二、二、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则8章节课件例例7.求求解解:令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式=uu61lim61669章节课件例例8.求求解解:方法方法 1.11lim1xxx,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx210章节课件内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx 时,用代入法(分母不为 0)0)2xx 时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量11章节课件思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在?为什么?答答:不存在.否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在,与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问12章节课件一一.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且第六节 极限存在准则及两个重要极限13章节课件证明证明exxx)1(lim1证证:当0 x时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11 limn111)1(nn111ne11)1(limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim114章节课件当x,)1(tx则,t从而有xxx)1(lim1)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)1()1(lim11tttte故exxx)1(lim1 也可写为lim()xxxe101时,令1lim(=e1无穷大无穷小）无穷小）无穷大用于1 型11lim(1)lim(1)ttttt15章节课件例：例：1、求.)1(lim1xxx原式 lim()xxx 111lim)xxx 5221、（lim)lim)xxxxx52211原式（e 2()()lim()xxx 111 lim()xxx 111e 1公式：16章节课件73 lim)3xxxx、（10lim(1)3xxx71lim31xxxx或310 31010lim(1)3xxxe 1077337(1)lim(1)3xxxxx7103eeecotlim(1tan)xxx17章节课件1sincosxxxsinlimxxx 01二、证证:当即2sintan(0)xxxx),0(2x时，2(0)x0lim cos1,xx 1sinlim0 xxxDCBAx1oxxxcos1sin1B CA BA D0sinlim1xxx tx 令0sinlim1xxx 18章节课件例例.1、求.tanlim0 xxx解解:原式原式xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01()sin()lim ()sinlim lim)sin无穷小无穷小（或 无穷小无穷小xxx 011100用于含三角或反三角的 型19章节课件.cos1lim20 xxx解解:原式=2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x213、求.arcsinlim0 xxx解解:令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0120章节课件1limx例：1 xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt )2(2 xxsin1221章节课件 第一章,0时x23,sinx xx都是无穷小,第七节引例引例.20lim03xxx20sinlim xxx0sin1lim33xxx但 无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较x10.50.10.010.00103x31.50.30.030.0030 x210.250.010.00010.0000010s i n x0.840.480.010.010.00100sinlim1xxx22章节课件定义：定义：0lim,0,)0(C,1,0lim Ck设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小)(o记作记作或23章节课件例如例如,当)(o0 x时2x3xxsin;x20cos1limxxx220sin2limxx又如又如，22)(4x210 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且20lim03xxx20sinlim xxx0sin1lim33xxx0sinlim1xxx24章节课件例例.当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数11333326322(1)(1)xxxxxx1131332632321100066(1)limlimlim(1)1xxxxxxxxxx0 xxxxx思考题：当时，是 的几阶无穷小量？25章节课件例例.证明:当0 x时,11nxxn1证证:lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba0limx11n11nnx21nnx1121()nnnnaabb 26章节课件,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小:arctan x,x1xe,x1xaln,xa(1)1axaxln(1)x,x说明：以上各式中的x可换为任意无穷小27章节课件定理定理1.)(o证证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x,)(sinxoxx)(tanxoxx28章节课件定理定理2.设,且lim存在,则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052自变量变化过程相同29章节课件设对同一变化过程,为无穷小,说明说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若 =o(),例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则去掉高阶(2)和差代替规则和差代替规则:,若且与不等价,则,limlim且.时此结论未必成立但例如,0tansinlim11xxxx102limxxxx和差代替有条件30章节课件极限存在或有且若)(,x界,则)(limx)(limx例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx乘除可代替31章节课件.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1(tanlimxxxx2132210limxxxx例例1.求解解:原式 乘除可代替和差代替有条件32章节课件231x221x例例2.求.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时当x1)1(312 x231x1cosx221x0limx原式3233章节课件第八节函数的连续性与间断点 34章节课件1、f(x)在 x0 点处连续对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy0lim0yx称函数0 x)(xf在点连续反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。定义：定义：f(x)在在 x0 的某一邻域的某一邻域 内有定义内有定义1、xy可正可负，不为零。2、可正可负可为零。35章节课件例例.证明函数xysin在),(内任意一点连续.证证:0(,)x 00sin()sinyxxx 0222sincos()xxx0222 sincos()xxyx122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内任意一点连续.036章节课件函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:0lim0yx)()(lim000 xfxxfx)()(lim00 xfxfxx000lim()()0 xf xxf x 37章节课件可见,函数)(xf在点0 x定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义,)()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1)(xf在点0 x即)(0 xf(2)极限)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;38章节课件若)(xf在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.2、f(x)在区间上连续00()()f xf x00()()f xf x称 f(x)在x0 点处左连续称 f(x)在x0 点处右连续其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。xytan2xyo2 2（，）ab ,ba39章节课件在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数)(xf0 x(2)(lim0 xfxx不存在;(3)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在,但)()(lim00 xfxfxx 不连续:0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点0 x之一函数 f(x)在点虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;40章节课件间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.41章节课件xytan)1(2x为其无穷间断点.0 x为其振荡间断点.xy1sin)2(1x为可去间断点.11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin042章节课件)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)1xoy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点.43章节课件)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式3、若)(xf在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。44章节课件连续函数的运算与初等函数的连续性45章节课件定理定理2.连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,连续xx cos,sin商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).在 1,1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调46章节课件定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.即：设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy.)()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如,且即47章节课件例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu(,0)(0,)x 因此xy1sin在上连续.复合而成,xyoxy1sin(,0)(0,)x 48章节课件二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数有限次四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续有限个连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续49章节课件21xy的连续区间为1,1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn,)12(,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而例如例如,50章节课件三、求连续区间、并讨论间断点。1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。例：讨论 的连续区间及间断点()tanxf xx例：讨论 的连续区间及间断点2xyx x=k+,2 x=k kzkz提示：x=0，51章节课件2、分段函数连续区间的求法-分界点为可能间断点。例：讨论 的连续区间及间断点2 0 x1()2-1x2 xf xx例：讨论 的连续区间及间断点x x 0 xf x52章节课件根据连续定义确定待定系数根据连续定义确定待定系数例例3.设函数)(xf,2)cos1(xxa0 x,10 x,)(ln2xb0 x在 x=0 连续,则 a=,b=.解解:20)cos1(lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnln(0)12abf2e53章节课件四、利用初等函数的连续性求极限0ln(1)1 limxxx例：012 limxxex例：0(1)13 limaxxax例：ln(1)xx1xex(1)1axax 2、设函数()ux有00lim().xxxu,)(0连续在点函数uxfy 于是0lim()xxfx)(lim0ufuu)(0uf0lim()xxfx0001(),f(x)lim()()xxxD ff xf x、若且为初等函数，则54章节课件例例4.求求.)21(limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xx03limln(1 2)sinxxxe03lim26xxxee0limxe2e)(lim12sincos0 xxxxx10limx如xxxcot11xxxcot)121(55章节课件第十节一一、最值定理、最值定理 二、零点定理、介值定理二、零点定理、介值定理 闭区间上连续函数的性质 56章节课件注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.闭区间上连续的函数即:xoyab)(xfy 12,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa或在闭区间内有间断 在该区间上必有最大(小)值点,57章节课件例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如,58章节课件bxoya)(xfy 12mM推论推论.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理零点定理),)(baCxf至少有一点,),(ba且xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf在闭区间上连续的函数在该区间上有界.59章节课件定理定理3.(介值定理)设(),f xC a b且(),f aA(),f bB AB则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点(,),a b证证:作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且()()ab)(CBCA0故由零点定理知,至少有一点,),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使().fC至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.60章节课件例例1.证明方程01423 xx一个根.证证:令令32()41,f xxx又,01)0(f02)1(f故据零点定理,至少存在一点,)1,0(使,0)(f即01423在区间)1,0(内至少有()0,1,f xC显然通过作辅助函数F(x),再利用零点定理辅助函数的作法：1、把结论中的 （或 ）改写成2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x)0 xx61章节课件,4,0)(上连续在闭区间xf例2：13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理,)4,0(,0)(f使原命题得证.)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根.62章节课件则,2,0)(aCxf,)2()0(aff证明至少存在,0a使.)()(aff提示提示:令,)()()(xfaxfx则,0)(aCx 易证0)()0(a例例3：设一点63章节课件三、判断函数有界的方法：1、若 f(x)在a,b上连续 f(x)在a,b有界2、若 f(x)在（a,b）上连续 lim()xaf xclim()xbf xcf(x)在（a,b）有界2xsinx例如：判断y=是否有界？1+x64章节课件习题课习题课二、二、连续与间断连续与间断 一、一、函数函数 三、三、极限极限 65章节课件2.设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(,)(xfxf0 x0,49xx1)13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x一、一、函数函数 f1、已知8,)5(8,3)(xxffxxxf,求.)5(f解解:)5(f)(f310)10(f)7(f f)12(f)(f312)9(f666章节课件4.设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求.)(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf3.设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域.由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x 解解:e)(x267章节课件xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()()1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff)1(2111)()(5 5.68章节课件)1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点,1x解解:为无穷间断点,0 x)1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx)1)(lim0ba101,0ba为可去间断点,1x)1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim6.设函数试确定常数 a 及 b.二、二、连续与间断连续与间断69章节课件7.设 f(x)定义在区间),(上,有yx,)()()(yfxfyxf,若 f(x)在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0(xf)(xf且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.70章节课件8.求的间断点,并判别其类型.解解:)1)(1(sin)1()(xxxxxxf)1)(1(sin)1(lim1xxxxxx1sin21 x=1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x=1 为第二类无穷间断点,1)(lim0 xfx,1)(lim0 xfx x=0 为第一类跳跃间断点71章节课件02222145(1)lim4(1)(1)(1)(2)lim0(1)xxxabxxxab xc xx3、由下列等式，求出a，b，c。72章节课件5.求.)321(lim1xxxx解解:令xxxxf1)321()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx73章节课件