第16章 排列、组合与概率

第16章 排列、组合与概率16.1计数原理乘法原理（1课时） ppt教学目标：理解并掌握乘法原理，并能应用它们分析和解决一些简单的计数问题。通过乘法原理的学习，感受数学模型的概括性、典型性和普遍性，进而体会数学之美。重点难点：重点：乘法原理难点：无教学过程：在生产和生活实际中经常会遇到计数问题。例 1 （课本P49例如）右图是某绿地示意图，某人有入口A进入绿地，顺着道路到出口B，共有几种不同的行走线路？分析：要从入口A走到出口B，需要两个步骤：第一步，从入口A走到桥上，有2条线路；第二步，从桥上走到出口B，有3条线路。因为入口A到桥上的2条线路都可以选择3条不同的线路到达出口B，所以从入口A到出口B共有23=6种不同的行走线路。解：所有走法分别为Aa1桥b1B；Aa1桥b2B；Aa1桥b3B；Aa2桥b1B；Aa2桥b2B；Aa2桥b3B。所以共有6种不同的行走线路。一般的，对于这类计数问题，可以按照如下的计数原理进行计算：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。我们将上面计数原理称为乘法原理。例 2 （课本P49例1）某厂生产的手机为了在款式上能适应更多顾客的需求，为统一的机芯设计了2种不同的外形，同时每种外形又有3种不同色彩的外壳。该厂这种手机共设计了多少种不同的款式？解：在这个问题中，确定一个手机的款式有2个步骤：第1步，确定外形，可选2种不同的外形；第2步，确定外壳的颜色，外壳可选3种不同的颜色。根据乘法原理，共有23=6种不同的款式。答：该厂这种手机共设计了6种不同的款式。上面两个问题的本质是一样的，我们可以用树形图（如右图）表示。我们发现，这两个问题的树形图是一样的，这就是两个问题的解答基本相同的原因。例 3 （课本P50例2）在如图所示的程序模块中，一条执行路径就是一条遵循着线段的箭头方向，从开始到结束的路径。要测试该程序模块的所有执行路径，共要测试多少次？解：如图所示的程序模块共有2个子模块，其中第一个子模块有3条路径；第二个子模块有7条路径。由乘法原理，程序模块共有37=21条不同的执行路径。答：要测试该程序模块的所有执行路径，共要测试21次。练 1 为了提高产品质量，需要确定控制生产过程的温度、材料处理的时间和添加剂的剂量，为此工厂进行生产试验。试验控制的温度有150、160和170三种，材料处理的时间有10分钟、12分钟两种，添加剂的剂量有2克、4克和6克三种，为了确定提高产品质量的最佳条件，问需要做多少次试验？解：因为每一次生产试验需要分三个步骤完成：第一步，控制试验的温度，有3种方法；第二步，选择材料处理的时间，有2种方法；第三步，确定添加剂的剂量，有3种方法。因此根据乘法原理，试验的次数为：N=323=18次。练 2 问(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2)展开后共有多少项？分析：展开后的多项式的项可以看作从第一个括号内取一个数、从第二个括号内取一个数、从第三个括号内取一个数相乘而得。求上式展开后的项数，相当于问有几种不同的相乘结果（情形）。解：因为确定展开式的每一项需要分三个步骤完成：第一步：从第一个括号内取出ai（i=1，2，3），有三种取法；第二步：从第一个括号内取出bj（j=1，2，3，4），有四种取法；第三步：从第一个括号内取出ck（k=1，2），有二种取法；因此，根据乘法原理，原式展开后的项数为N=342=24。例2中，可按例3的方法：(T1+T2+T3)(t1+t2)(m1+m2+m3)，对应的乘积如：T1t2m3表示以T1温度处理t2时间添加m3克添加剂。例 4 （课本P50例3）540的不同正约数共有多少个？解：将540进行素因数分解，得540=22335。由初中知识可知，540的任意正约数的形式为2a3b5c，其中a0，1，2，b0，1，2，3，c0，1。于是，求540的正约数可以分三个步骤完成：第一步，确定a的值，有3种不同的方法；第二步，确定b的值，有4种不同的方法；第三步，确定c的值，有2种不同的方法。根据乘法原理，540共有342=24种不同的因数。关于540的任意正约数的形式为2a3b5c，应作如下说明：（1）凡是形式为2a3b5c的数都是540的正约数，可简单除法证明；（2）凡是540的正约数都可写成2a3b5c的形式，可用穷举法证明；（3）每个正约数p恰好对应一组(a，b，c)，使得p=2a3b5c。练 3 用树形图分析例3与练习2。这两个树形图是一样的。练 4 课本P50/练习16.1/4。（1、2、3太简单了，不必做）练 5 本届校园艺术节，某班有4位同学拟参加3项不同的艺术比赛，试在下列要求下计算有几种不同的参赛方法：（1）每位同学参加且只参加一项比赛；（2）每项比赛有且只有一位同学参加。解：（1）34=81；（2）43=64。练 6 已知n为自然数，使计算八进制n位数的个数。解：满足条件的八进制n位数的个数共有（个）。练 7 1、3封信投入3个信箱2、3封信投入3个信箱，不能有空箱3、4封信投入3个信箱4、3封信投入4个信箱5、4封信投入3个信箱，不能有空箱课后作业与思考：作业1 练习册P 组 习题16.1A组：1、2、3、4、5、6；B组：1、2、3、4。