【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(三)三角函数、解三角形 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(三)三角函数、解三角形 文 新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;若sin=sin,则与的终边相同;若cos0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由于第一象限角370不小于第二象限角100,故错;正确;由于sin =sin,但与的终边不相同,故错;当=,cos=-10,cos0,所以sin C=,故tan C=,又因为A=-(B+C),所以tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)因为A(0,),所以A=.5.(2015眉山模拟)函数f(x)=2sin(x+)(0,- )的部分图象如图所示,f(x)的图象左移个单位得到g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可以是()A.x=0B.x=C.x=D.x=-【解析】选D.由图象可知,即函数的最小正周期T=,所以=2,因为即sin(+)=1,所以+= +k,kZ,即=- +k,kZ,因为-,所以=-,即f(x)=2sin(2x-),将f(x)的图象左移个单位得到g(x)的图象,则g(x)=f(x+)=2sin(2x+-)=2cos(2x-),由2x-=k,kZ,解得x=,所以当k=-1时,x=-,故选D.6.(2015合肥模拟)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选C.由正弦定理,得a2+b2c2,由余弦定理,得cosC=0,0,0)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是()A.-5安B.5安C.5安D.10安【解题提示】先由图象求函数的解析式,再由解析式解答.【解析】选A.由图象可知,A=10,T=,所以T=,即=100,故I=10sin(100t+),代入点(,10),得10=10sin(+),即sin(+)=1,因为0,所以=,所以I=10sin(100t+),当t=时,I=10sin(+)=-5(安).故选A.【一题多解】本题还可如下求解:选A.由图象知图象与x轴的一个交点为结合图象易知当t=时,I0,|)的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后所得图象对应的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点(,0)对称B.关于点(,0)对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解析】选C.f(x)=sin(x+)的最小正周期为,则=2,即f(x)=sin(2x+).向右平移个单位后,所得函数为g(x)=sin2(x-)+=sin2x+(-),又因为g(x)为奇函数,|0,|)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只要将f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.由图象可知A=1, ,所以T=,又T=,所以=2,即f(x)=sin(2x+).又=-1,所以+=+2k,kZ,即=+2k,kZ,所以=,即f(x)=sin(2x+).因为g(x)=cos 2x=sin(+2x)=sin2(x+)+ ,所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象.10.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(|),若f(x)恒成立,则f(x)的一个单调递减区间是()【解题提示】先由题意求的值,再根据其解析式求f(x)的单调递减区间.【解析】选A.由题意得=-2,即-2sin(+)=-2,sin(+)=1.因为|,所以=,故f(x)=-2sin(2x+),由2k-2x+2k+,得k-xk+,所以f(x)的单调递减区间是k-,k+(kZ),故A正确.11.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sinCED=()【解析】选B.因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以AED=.在RtEBC中,EB=2,BC=1,所以sinBEC=,cosBEC=.sinCED=sin(-BEC)=cosBEC-sinBEC12.(2015长沙模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=()【解题提示】切化弦化简已知条件求A,由正弦定理求sin C,进而求C.【解析】选B.因为所以因为所以 ,即cos A=,所以A=,因为a=2,c=2,由正弦定理,得sin C=因为ca,所以CA=,故C=.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是忽视角C的取值范围,解题时要注意挖掘题中隐含的条件.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知sin sin x+coscos x=,则锐角x=.【解析】因为cos =cos(-)=-cos,所以sinsin x-coscos x=,即-cos(+x)=,cos(x+)=-,因为x是锐角,所以x+=,即x=.答案: 14.(2015石家庄模拟)若函数f(x)=sin(3x+),满足f(a+x)=f(a-x),则f(a+)的值为.【解析】易知x=a为对称轴,所以f(a)=sin(3a+)=1,则f(a+)=sin(3a+)=cos(3a+)=0.答案:0【一题多解】本题还可如下解答:因为x=a为对称轴,又f(x)的周期是,故x=a+是与x=a相邻的对称轴,而x=a+是两相邻对称轴中间的f(x)的零点.即f(a+)=0.答案:015.在ABC中,若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ac=4,则ABC的面积为.【解析】由正弦定理,得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,因为sin B0,所以sin Acos C+cos Asin C=,即sin(A+C)= ,因为B=-(A+C),所以sin B=,因为ac=4,所以S=acsin B=1.答案:116.(2015杭州模拟)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.【解题提示】数形结合法.结合题意,画出图形,结合图形,用正弦定理和勾股定理求解.【解析】如图:设AC=b,AB=c,BC=a,在ABM中由正弦定理得,因为sinBMA=sinCMA=,又AC=b=,AM=所以sinBMA=又由得 ,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以sinBAC=答案: 【加固训练】在ABC中,2sin2=sin A,sin(B-C)=2cos Bsin C,则=.【解析】2sin2=sin A1-cos A=sin Asin(A+)= ,又0A,所以A+,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc,将sin(B-C)=2cos Bsin C展开,得sin Bcos C=3cos Bsin C,所以将其角化边,得b=3c,即2b2-2c2=a2将代入,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3-1=0,解得或 (舍),所以答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015北京模拟)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x),xR.(1)求f(x)的最小正周期及值域.(2)求f(x)的单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=cos x(sin x+cos x)=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,所以最小正周期T=.因为xR,所以-1sin(2x+)1.所以-sin(2x+)+.所以f(x)的值域为-,.(2)由- +2k2x+2k,得-+2k2x+2k.即- +kx+k.所以函数f(x)的单调递增区间为-+k, +k(kZ).【加固训练】已知函数f(x)=sin x+cos(x-).(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若函数f(x)的图象过点(,),.求f(+)的值.【解析】(1)由题意得,f(x)= sin x+cos(x-)= sin x-cos x=2sin(x-),因为-1sin(x-)1,所以函数f(x)的值域为-2,2,函数f(x)的周期为2.(2)由题得,因为函数f(x)过点(, ),所以f()= 2sin(-)=sin(-)=,因为,所以0-0cos(-)所以f(+)=2sin=2sin(-)+)=2sin(-)cos+2cos(-)sinf(+)=,综上,f(+)=.18.(12分)(2015厦门模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3csinB,a=3,cosB=.(1)求b的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为bsinA=3csinB,由正弦定理可得ab=3bc,因为a=3,所以c=1.所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-6=6,故b=.(2)因为B(0,),且cosB=,所以sinB=,所以sin=sin2Bcos-cos2Bsin=sin2B-cos2B=sinBcosB-(2cos2B-1)=-=.19.(12分)(2015兰州模拟)已知向量a=(sin,cos),b=(6sin+cos,7sin-2cos),设函数f()=ab.(1)求函数f()的最大值.(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=6,且ABC的面积为3,b+c=2+3,求a的值.【解析】(1)f()=ab=sin(6sin+cos)+cos(7sin-2cos)=6sin2-2cos2+8sincos=4(1-cos 2)+4sin 2-2=4sin(2-)+2.所以f()max=4+2.(2)由(1)可得f(A)=4sin(2A-)+2=6,sin(2A-)=,因为0A,所以-2A-,所以2A-=,所以A=.因为SABC=bcsin A=bc=3,所以bc=6,又b+c=2+3,所以a2=b2+c2-2bccos A=(b+c) 2-2bc-2bc=(2+3) 2-12-26=10.所以a=.20.(12分)(2015天津模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足=,(1)求角C.(2)求的取值范围.【解题提示】(1)由正弦定理化角为边,由余弦定理利用边的关系求角C.(2)由正弦定理化边为角,再利用角的范围求解.【解析】(1)=,化简得a2+b2-c2=ab,所以cosC=,又C(0,),C=.(2)=2sin,因为A,又由AC,得ac,故A.A+,且A+,所以sin.故的取值范围是(1,2).21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?【解题提示】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.【解析】由题意知AB=5(3+)海里,因为DAB=90-45=45,DBA=90-60=30,所以ADB=180-(45+30)=105,在ADB中,由正弦定理,得所以DB= 又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,所以在DBC中,由余弦定理,得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1 200-21020=900,所以CD=30(海里),所以需要的时间t=1(小时),即救援船到达D点需要1小时.22.(12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C.(2)设cosAcosB=,=,求tan的值.【解题提示】直接利用余弦定理可求出C的值,由两角和与差的公式及C的值通过化简可求出tan的值.【解析】(1)因为a2+b2+ab=c2,由余弦定理有cosC=-.故C=.(2)由题意得=.因此(tansinA-cosA)(tansinB-cosB)=.tan2sinAsinB-tan(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=.tan2sinAsinB-tansin(A+B)+cosAcosB=.因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,因为cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,即-sinAsinB=,解得sinAsinB=-=.由得tan2-5tan+4=0,解得tan=1或tan=4.- 16 -