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1关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章 概率论的基本概念21 随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖3概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。随机试验。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；42 样本空间随机事件(一一)样本空间样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间样本空间，记为S=e，称S中的元素e为基本事件基本事件或样本点样本点S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S=x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x5(二)随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S0,1,2,；记 A至少有10人候车10,11,12,S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件必然事件。为方便起见，记为不可能事件不可能事件，不包含任何样本点。6(三)事件的关系及运算事件的关系及运算v事件的关系（包含、相等）v例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 ABABBA1 ABAB：事件 发生一定导致 发生BABABASAB7v 事件的运算|ABx xAxBAB或：与 至少有一发生。121121,ninininiAAAAAAAA：至 少 有 一 发 生：同 时 发 生SBASABSBAAB A与B的和事件，记为,AB A B AB A与B的积事件，记为|ABx xAxBAB且：与 同时发生。当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或互斥的。8“和”、“交”关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA；AB AB ABABABABSABASA|A BABx xAxB且,AASABSAAA BA BA A 的记为,逆事件互若,称逆、互斥 例：设A A=甲来听课，B B=乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来93 频率与概率(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，则#频率 反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1 n；()15 1788%nfA()nfA试验序号n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率11实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005表表 2 212*频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSA AAfAfA。若,两两互不相容，则 13(二)概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率概率。()nfA10()1P A。2()1P S。12113,()()kkkiiiiA AAPAP A。若,两两互不相容，则 142()()()()()ABP BAP BP AP BP A，若则有 3 ()()()()P ABP AP BP AB概率的加法公式：1 ()1()P AP A性质：AAS()()1P AP A()0P BAAB()()()P BP AP AB()()()()0P BP AP ABP BA()()P BP A()ABABAB()()()P ABP AP BAB2()()()BABP BABP BP AB。又，由 知()()()()P ABP AP BP AB#3。的推广：1111121()()()()(1)()nniiijiij ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA ()0()1P AAP AAS 不能；不能；154 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)AP AS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。16v例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球，记A=摸到红球，求P(A)解：S=1,2,8 A=1,2,3 38P A17例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：11235815()/53.6%28P AC CC()/,0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC（注：当Lm或L0，i=1,2,n；则称：12nAASABABAB1()(|)(|)()(|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)()iiP B AP BAP AijABABij与不相容1()()(|)njjjP AP BP A B为全概率公式全概率公式1()()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA证明：证明：定理：接上定理条件，称此式为BayesBayes公式。公式。30*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B31例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。()0.80,(|)0.20,(|)0.90P AP B AP B A已知 1 ()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.9 34%()()1682 (|)()()()34 17P ABP ABP A BPBP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差32 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？(|)5%,(|)5%,P A CP A C()(|)()P ACP C AP A()(|)0.087()(|)()(|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。336 独立性v 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A()0,()0P AP B不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件，若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)*P(B)即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立相互独立。34 注意：,1A BA BA BA BP ABP AP BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B相互独立相互独立相互独立相互独立当时1212112,2,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立1 两两独立不能相互独立2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。35v 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。()()()()CABP CP AP BP AB则：，()0.70.80.560.94P C 解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中 甲、乙同时射击，其结果互不影响，A，B相互独立36 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。,1,2,3,4 iAiiA解：设第 个元件运行正常系统运行正常1432注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同1234AAA AA则：1234,A A A A由题意知，相互独立231234()()()()P AP AP A AAp ppp32512314()()P AP A A AA Appp另解，对吗？37 1,2p p 例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。,1,2,5iiAiP Ap i解：设第 局甲胜A 再设甲胜 22121231231121P AP A AA A AA A Apppp 三局二胜制：22213121PPPPP 123452313233422 11P AP A A AAApCp pCppp 五局三胜制：前三次有一次输前四次有两次输21211,2 1,2pppppp当当38总结：1.2.;3.01;1 1 1 2AnSeASAB ABAB AB AnfAnP AP SABP ABP AP BP AP AABP AP 样本空间 随机事件事件的关系：事件的运算：频率：概率的定义：满足当时，概率的性质：当时 1211 3 =4.|,()(|)()()(|),(|)()(|)5.nniijjinjjjjBP ABP AP BP ABP ABP B AP ABP A P B AP AB BBSP B P A BP AP B P A BP BAP B P A B条件概率：当为 的一划分时，事件独立性39复习思考题复习思考题 1 1,3.,A BABABABABA BA BABABA BAB设 和 为两事件即“至少有一发生”事件 为“恰有一发生”事件与“同时发生”事件的和事件。此结论成立吗？1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。2.“两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？反之成立吗？试举例说明之。4.甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中，则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8,则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？5.满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？12 10,19 ,6.AAS SA ASAP A一口袋中有个球 其中有 个白球及 个红球。从中任意取一球 设取到白球则取到红球且设样本空间为中有两个样本点 而 是其中一个样本点问对吗？407.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1)当A和B独立时,P(AB)为何值？(2)当A和B互不相容时,P(AB)为何值？,0,|1|9.ABP AP B AP BP B AP B AP B A 设 和 为随机事件问是否成立？是否成立？4113.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0,P(B)0时，P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。42第二章 随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数431 随机变量*常见的两类试验结果：示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数示性的明天天气（晴，多云）；化验结果（阳性，阴性）esx离散型的连续型的X=f(e)为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化*定义：随试验结果而变的量X为随机变量*常见的两类随机变量442 离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量离散量离散量的概率分布(分布律)10,1iiipp样本空间S X=x1，X=x2，X=xn，由于样本点两两不相容111()()iiiiP SP Xxp1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率P1x2xix1p2pipX#概率分布45 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。1(0)()P XP Ap；12(1)()(1)P XP A Ap p；2123(2)()(1)P XP A A App；3123(3)()(1)P XP A A Ap；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 0,1,2 3XXXXS注意：为 的一个划分 解：设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。46 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。1121()()(1),1,2,kkkP XkP A AAApp k 解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2,则A1,A2,相互独立。亦称X为服从参数p的几何分布。几何分布。47三个主要的离散型随机变量 01(p)分布 二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行(p+q=1),A A *n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串的试验为n重贝努利试验贝努利试验。48例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，如果是不放回抽样呢？,A A,A A1 2P出现正面 1 6P A 1 2P A 2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：49设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布二项分布，记()(1)01kkn knP XkC ppkn，()Xb np，3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn一般0 1()1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中推导：设Ai i=第i次A发生，先设n=350例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。511,2,3,420iXA ii解：以 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以表示事件“第 人维护的台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。能及时维修的 概率为：123412P AAAAP AP X20,0.01,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二种以 记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为：380800410.010.990.0087kkkkP YC 52 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。(3,)Ybp 331 ()(1),0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：这是三重贝努利试验53 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为常数，则称X服从参数为的指数指数分布分布。记为 0()0 0 xexf xx()XEP1 0()0 0 xexF xx 00(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P Xt X具有如下的无记忆性：65 210tN ttPoissonTT例：某大型设备在任何长度为 的区间内发生故障的次数 服从参数为的分布，记设备无故障运行的时间为 1 求 的概率分布函数；已知设备无故障运行个小时，求再无故障运行 8个小时的概率。/!,0,1,2,ktP N tketkk解：1 00TtFt当时，1TFtP TtP Tt 0101tTtFtP N te 当时，8182 18|10810P TP TTeP TP T66 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：22()21()2xf xex，2(,)XN()1f x dx+()f x dx22 tIedt记2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I()1f x dx2,2,67称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性)max21 ()12 ()23 ()0(,)xf xxfflimf xXN 关于对称0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.266068X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。692 (,)XN 当时 (0 1)ZNZ记，称 服从标准正态分布()()()baP aXb()P aXb xt作变换：221 2xZxe的概率密度：221 ()2txZxedt的分布函数：1xx22()212xbaedx()P aXb2212btaedt()yx()x()x0yxxx70 例：2(,)XN ()()(1)(1)2(1)10.6826P XPX(2)2(2)10.9544P X (3)2(3)10.9974P X 查书后附表99.74%3268.26%2395.44%71 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？2()(,)X cmN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()21(1.1)1 0.86430.1357查附表=9710390%PX(2)令：103 10097 1003()()2()190%即3()0.9531.6451.823772 例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？2()(169.7,4.1)X cmN (175)P X 解：(1)5175(5,),0.0985cmbpp(2)设 人中有Y人身高大于，则Y其中175 169.71()4.1 1(1.293)1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1(1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC pp735 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。2(,)XN，(0)P Y Xpi i0.2-1010.50.3(0)0.5P X(1)P Y(1)(1)PXX(1)(1)0.5P XP X 例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)74例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。,04()80,Xxxfx其他2()YFyP YyP XyPyXy 0()0;YyFy当时，16()1YyFy当时，016 y当时,11,0168162 0,yyy其他()()()()()()()xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx连续时，()()XYFxFy，解：分别记X,Y的分布函数为()0YFyPXy()XFy()yXft dt1(),0162()0,XYfyyyfy其他Y在区间(0,16)上均匀分布。75一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1.若 为离散量，则先写出 的可能取值：再找出的等价 事件得2.()()(),()()()YYYYYFyP YyYyXDFyP XDYfy若 为连续量，则先写出 的概率分布函数：，找出的等价事件得；再求出 的概率密度函数；关键是找出等价事件。76例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：77例：2()()YXf xxYXYfy 设 的概率密度为，求 的概率密度()YYFy解：设 的概率分布函数为 0()YyFy当时，()P Yy2()P Xy()yyf t dt00()()yyf t dtf t dt()()YYfyFy1()(),02 0,0fyfyyyy78(),()0()0)()XXfxxg xg xYg XY 定理：设，或。，则 具有概率密度为：()(),()0,XYfh yh yyfy其他min(),()max(),()()()ggggh yxyg x其中，()0,g x 证明：不妨设()0h y 且：()()()()()YXXfyfh y h yfh yh y()0 g x 同理可证：当时，定理为真xh(y),yy0y=g(x)y g x则为单调增函数,()()()()0YyFyP YyP g XyP X 当时，；y当时，()1YFy ；y当时，()()YFyP Yy()P g Xy()P Xh y()()h yXft dt79(),()0(,),()0()0)()()(),()0,min(),()max(),()()()XXYXfxx f xa baxbg xg xYg XYfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推论：设当时或。，则 具有概率密度为：其他其中，80例：2(,)()YXXNYYfy 设，求 的概率密度()xyg x，3,04()()80,YxxXf xYXfy。若，求 其他3()yg xx，131,064()24 0,Yyyfy其他222(,)(,)XNYaXbYN ab a 一般若，1()0g x，()xh yy()()YXfyfy2212ye(0,1)YN13()xyh y2()30g xx，21331()()3YXfyyfy解：例：解：81 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：设 服从参数为 的指数分布，为 的分布函数。求；设试证即均匀分布。,01 0 ,0 xexXf xx解：由前知,1,0 0 ,0 xexF xx 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY记为 的概率分布函数,00YyFyP Yy当时，11YyFyP Yy当时，011XYyFyPey当时，1XP ey 11P Xlny 0,0,01,0,11,1YyFyyyYUy即111lnyey 82复习思考题复习思考题 2 21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,则X服从什么分布？并请导出：4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？5.什么样的随机变量称为连续型的？6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件，则P(A)=1，反之成立吗？7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间 的概率为0，对吗？8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间 (a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？9.若XN(,2)，则X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？1,0,1,n kkknP XkC pkkn
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