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3.5 向量范数与矩阵范数,一、 向量范数(/*Vector Norm*/),正定性:,齐次性:,三角不等性:,非负实值函数,称为赋范线性空间,可以推广到,常用的几种向量范数:,设, 1-范数:, 2-范数:, -范数:,上述3种向量范数统称为P-范数(或者Holder范数),设,由夹逼定理,两个重要不等式, 闵可夫斯基(Minkowski)不等式:, 柯西-许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式:,或者,例1:设 是n阶实对称正定矩阵,则 是 中的一种向量范数。,证明:,只需验证范数的3个条件成立即可。, 非负性:, 齐次性:, 三角不等性:,存在非奇异下三角阵,证明:,只需验证范数的3个条件成立即可。, 非负性:, 齐次性:, 三角不等性:,闵可夫斯基(Minkowski)不等式:,向量范数的性质:,性质1,性质2,是 的n元连续函数.,例如,性质4,向量范数的等价性具有传递性。,性质5,的所有向量范数是彼此等价的。,(向量序列的范数极限),即向量序列的范数收敛等价于向量分量收敛,性质6,二、 矩阵范数(/*Matrix Norm*/),正定性:,齐次性:,三角不等性:,赋范线性空间,可以推广到,相容性:,证明:,只需验证范数的4个条件成立即可。,记,Frobenius范数,简称F-范数,其中,相容性(/*Compatibility*/),证明:,设,显然它是一种向量范数。,令,记,由 得,而,从属性(/*Subordination*/),证明:,矩阵范数与向量范数的相容性:,非负性:,设 ,则,由知,齐次性:,三角不等性:,相容性:,矩阵范数的一般定义形式:,谱半径,证明:,因为 是半正定的对称阵,可设其特征值为,其对应的正交规范特征向量为,则对,可看成是 维向量空间,由向量范数的性质3得,设 ,则有,
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