高等数学有理式的不定积分方法[共33页]

1.有理式的不定积分有理式的不定积分 3-3 有理式的不定积分与有理化方法有理式的不定积分与有理化方法)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为部分分式部分分式:,1;nAAnxaxa 22,1;nBxCBxCnxpxqxpxq )04,N(2qpn 有理函数积分法有理函数积分法;)1(真真分分式式）（多多项项式式假假分分式式多多项项式式除除法法：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系数数法法 )2(11220111P()Q()P()()()()()klnmnmkllxxxb x ax axp x qxpx q真分式分母因式分解),1,2不不可可约约因因式式为为（其其中中hiqxpxii 11111011AA1()nnbxaxa1AA()kkn kknkkxaxa11111111,1221111BB()mmmxCxCxp xqxp xq1122BB()lllm lm lllmllllxCxCxp xqxp xq（其其中中各各系系数数待待定定）；如果如果 有一个有一个 重实根重实根 ,则则 的部分的部分分式中一定包含下列形式的分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和项部分分式之和:Q xna /P x Q xn1nnAAxaxa如果如果 中包含因子中包含因子 时时,则则 的部分分式中一定包含下列形的部分分式中一定包含下列形式的式的 项部分分式之和项部分分式之和:22/4mxpxqqp Q x /P x Q xm1122mmmB xCB xCxpxqxpxq 例如例如 将真分式 分解成部分分式部分分式.)1()1()2)(1(12322xxxxxx )1(A11x原式)2(2(22212xAxA1(21111xCxB222121)1(xCxB)1(323131xCxB.)1(21212xxCxB.,定系数法求出均为常数，下面将用待与其中ijijijCBA四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxCxBd.32xqxpxCxBnd)(.42)1,04(2nqp变分子为 再分项积分)2(2pxB2pBC xqxpxCxBd.32xqxpxBCxBd2222xqxpxpBCpxBd2222xqxpxpxBd222qxpxqpxxdB22)(244)2()2()2(22pqpxpxdBpC)ln(22qpxxB.42arctan42)2(22CpqpxpqBpC)ln(22qpxxB.42arctan4222CpqpxpqBpCxqxpxBpCd22xqxpxCxBnd)(.42dxpgpxBCxBn)4()2(22222而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.xqxpxpBCpxBnd)(2222xqxpxpxBnd)(222xqxpxBpCnd)(22nqxpxqpxxdB)()(222npqpxpxdBpC44)2()2()2(22nqpxxnB12)(1npqpxpxdBpC44)2()2()2(22说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例例1 求dxxxx33)1(1解解33)1(1xxxxA11112xA222)1(xA,)1(332xA为常数，其中ijA第一种方法第一种方法:待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得33)1(1xxx33222212311)1()1()1()1AxxAxxAxxAx（.)1()1()1(132222123113xAxxAxxAxAx11322212112221211312113)3()3()(1AxAAAAxAAAxAAx比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：.1,03,023,111322212112212111211AAAAAAAAAA 从而解得,111A,212A,122A.232A故有33)1(1xxxx112x3)1(2x 于是dxxxx33)1(1|ln x|1|ln2x2)1(1x11x.)1(12Cx.)1(|1|ln22Cxxxx(*).)1()1()1(132222123113xAxxAxxAxAx,0(*)x中令在,111A得,1x令.232A得),1()1(2)1(12221233xxAxxAxxx 化简并约去两端的公因子 后为x),1()1(132222122xAxAxx,12221212AAxAx即得,212A.122A例例 2 求.)1)(21(d2xxx第二种方法第二种方法(赋值法),121)1)(21(122xCBxxAxx两端去分母,得.)2()2(12ACxCBxBA),21)()1(12xCBxxA或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有.1,02,02CACBBA解之得.51,52,54CBA.151522154)1)(21(122xxxxx解解xx21)21(d52221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51)1)(21(d2xxx.151522154)1)(21(122xxxxx43)21()21(231)1(21222xxdxxxxd.312arctan3)1ln(212Cxxx.312arctan31)1ln(61)1ln(311 23Cxxxxxdx1231)12(2122xxdxxxdxx).1211(3111 23xxxxx.1 3xdx求dxxxx142212dxxxx122dxxxx1312212补例补例解解例例 3 求.)2(2 2223dxxxxx,)2(2)2(2 2222223xCxBxCBxxAxxxx解解即有xCxBxxCBxxAxx222223)2()()2(2则得令,21,0AxxCxBxxCBxxxx222223)2()()2(212即.22212323CCxBBxCxBxxxx,21 B,0B,1C02CC.2 Cdxxxxx2223)2(2 dxx121 dxxx2121-2dxx22)2(2-|ln21 x)2ln(41 2x2arctan21 xdxx22)2(2-dxx22)2(1 )2(1(21 2xdx)2(21)22x(x1 222xxdxdxxx)211(41)22x(x1 222用递推公式求用递推公式求或或x141)22x(x1 2.2arctan241 Cxdxxxxx2223)2(2|ln21 x)2ln(41 2x2arctan221 x)2x(x1 22x1.C 总之总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分各个部分都能积出都能积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.此外此外,由代数学知道由代数学知道,从理论上说从理论上说,多项式多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积乘积,从而把有理函数从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和分解为多项式与部分分式之和.因此因此,有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.)()(xQxP 但是但是,用部分分式法求有理函数的积分用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下只是在没有其它方法的情况下,才用此方法才用此方法.例例4 求.d132xxx解解1)1(31d13332xxdxxx.|1|ln313Cx补例补例 求求解解 原式xxd14)1(2x)1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0(x按常规方法较繁按常规方法较繁(1)(1)三角有理式：三角有理式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为的函数三角函数有理式可记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2.三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分(2)(2)三角有理式的积分法：三角有理式的积分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令tan2xt 22sin,1txt221cos,1txt 2arctanxt则221dxdtt 万万能能代代换换dxxxR)cos,(sin2222212,.111ttRdtttt万能替换公式：万能替换公式：.化为有理函数的积分例例 4 求.1cossincotxxxdx解解tan2xt 令，则221dxdtt22sin,1txt221cos,1txt,21cot2ttx1cossincotxxxdx2222211121221ttttdttttdttt221dttdtt1211212Ctt|ln2121.|2tan|ln212sin22cosCxxx注注（1）用万能代换用万能代换一定能一定能将三角函数有理式的积分将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非的积分的代换方法（非“万能的万能的”）：）：1）若）若 R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取，可取 u=cosx 为为积分变量；积分变量；2）若）若 R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取，可取 u=sinx 为为积分变量；积分变量；3）若）若 R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取，可取 u=tanx 为为积分变量积分变量.例例 5 求.sin1cossin2dxxxx解解.cos)(sin的形式此题中被积函数可写成xxf这时.”很自然想到“凑微分法dxxxx2sin1cossinxdxxsinsin1sin2xtsin令21 ttdtCt)1ln(212.)sin1ln(212Cx)sin1(sin112122xdx例例 6 求.cossincosdxxxx解解dxxxxcossincoscosx同dxxtan11xttan令2111tdttdtttt)1111(212|1|ln21t)1ln(212tarctantC|tan1|ln21x|sec|lnxxC|sincos|ln21xxxC例例 7 求.cossin24xdxx解解xdxx24cossindxxx22cos1)22cos1(2dxxxx)12cos2cos2(cos8123xdx2sin)2sin1(1612dxx24cos181dxx)2cos1(81.)4sin412sin31(1613Cxxx.,cossin倍角公式降低其方幂可以利用的偶次方幂及被积函数都是xx注注 3.某些根式的不定积分某些根式的不定积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例例 8 求.21d3xx解解 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2(x323x321ln3xC例例 9 求.d11xxxx解解 令,1xxt则,112tx22)1(d2dtttx原式原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln 补例补例 求.d3xxx解解 为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,习题习题 3-3 7,9,13,19,21,25,31,33.