计算机图形学算法基础作业

LH的计算机图形学作业计算机图形学算法基础作业姓名： LH 学院： 理学院 专业： 计算数学 时间： 2010-12-31 80目录1 直线段生成算法综述11.1 生成直线的DDA方法11.1.1 DDA算法基本原理11.1.2 DDA算法实现步骤11.1.3 DDA算法程序（或伪程序）描述21.1.4 DDA算法流程图21.2 生成直线的Bresenham算法31.2.1 Bresenham算法基本原理31.2.2 Bresenham算法实现步骤51.2.3 Bresenham算法程序（或伪程序）描述51.2.4 Bresenham算法流程图51.3 中点画线算法21.3.1 中点画线算法基本原理21.3.2 中点画线算法实现步骤31.3.3 中点画线算法程序（或伪程序）描述31.3.4 中点画线算法流程图31.4 生成直线算法的进一步改进51.5 各种直线生成算法的优缺点对比分析61.6 直线生成算法的发展趋势72 椭圆的Bresenham生成算法72.1 椭圆曲率分析72.2 椭圆方程分析72.3 椭圆生成算法92.3.1 算法实现过程92.3.2 算法流程图102.3.3 算法程序描述113 直线段裁剪算法综述113.1 Sutherland-Cohen裁剪算法113.1.1 Sutherland-Cohen算法基本原理113.1.2 Sutherland-Cohen算法实现步骤113.1.3 算法程序（或伪程序）描述123.1.4 算法流程图123.2 中点分割裁剪算法123.2.1 中点分割算法基本原理与实现步骤123.2.2 算法程序（或伪程序）描述133.2.3 算法流程图133.3 梁友栋Barskey算法143.3.1 梁友栋Barskey算法基本原理与实现步骤143.3.2 算法程序（或伪程序）描述153.3.3 算法流程图153.4 快速算法153.5 其余一些改进的直线裁剪算法163.6 各种直线裁剪算法的优缺点对比分析163.7 直线裁剪算法的发展趋势164 图形求交技术164.1 求交点算法164.1.1 线与线的交点的求法174.2.2 线与面的交点的求法184.2 求交线算法194.3 包含判定算法214.4 重叠判定算法264.5 凸包计算265 自由曲线曲面造型技术285.1 Bezier曲线和曲面285.1.1 Bezier曲线285.1.2 Bezier曲面315.2 B样条曲线与曲面325.2.1 B样条的递推定义和性质325.2.2 B样条曲线345.2.5 B样条曲面365.3 NURBS曲线与曲面375.3.1 NURBS曲线375.3.2 非均匀有理B样条（NURBS）曲面395.4 Coons 曲面405.4.1 基本概念405.4.2 双线性Coons曲面415.4.3 双三次Coons曲面426 CAGD中有关曲线曲面、拼接技术446.1 基本原理446.2 Bezier曲线的的拼接条件446.3 Bezier曲面的的拼接条件467 图形变换技术487.1 二维图形几何变换497.1.1 平移(Translation)497.1.2 旋转(Rotation)497.1.3 变比(scaling)507.2 三维图形几何变换517.2.1 平移517.2.2 旋转517.2.3 变比547.3 参数图形几何变换547.3.1 圆锥曲线的几何变换547.3.2 参数曲线、曲面的几何变换557.4 投影变换587.4.1 平行投影(parallel projection)587.4.2 透视投影(perspective projection)608 图形消隐算法618.1 扫描线Z-buffer算法618.2 区域子分割算法618.3 光线投射算法628.4 平面公式法628.5 径向预排序法638.6 径向排序法638.7 隔离平面法638.8 深度排序法638.9 光线跟踪法638.10 Z缓冲区法648.11 极值检测法648.12 深度分类方法648.13 八叉树方法659 图形学若干基本算法的实现研究65参考文献68附录68LH计算机图形学作业：共九道题图形学算法基础作业1 直线段生成算法综述1.1 生成直线的DDA方法1.1.1 DDA算法基本原理DDA是数字微分分析式（Digital Differential Analyzer）的缩写。设直线之起点为，终点为，则斜率为：直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量而得到，即表示为递归式：并有关系：递归式的初值为直线的起点，这样，就可以用加法来生成一条直线。1.1.2 DDA算法实现步骤具体方法是：按照直线从到的方向不同，分为8个象限（见图1.1）。对于方向在第1a象限内的直线而言，。对于方向在第1b象限内的直线而言，取值。各象限中直线生成时的取值列在表1-1之中。图1.1 直线方向的8个象限图表1-1 各象限中直线生成时的取值列象限1a1b2a2b3a3b4a4bTFTFTFTF11/m-1-1/m-1-1/m11/mm1m1-m-1-m-1研究表中的数据，可以发现两个规律：1、当时；否则：2、的符号与的符号相同。这两条规律可以导致程序的简化。由上述方法写成的程序如附录1所示。其中steps变量的设置，以及等语句，正是利用了上述两条规律，使得程序变得简练。使用DDA算法，每生成一条直线做两次除法，每画线中一点做两次加法。因此，用DDA法生成直线的速度是相当快的。1.1.3 DDA算法程序（或伪程序）描述具体程序见附录1。1.1.4 DDA算法流程图（略）1.2 中点画线算法1.2.1 中点画线算法基本原理假定直线斜率在之间，当前象素点为，则下一个象素点有两种可选择点或。若与的中点称为M，Q为理想直线与垂线的交点。当M在Q的下方时，则取应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。1.2.2 中点画线算法实现步骤下面讨论中点画线法的实现。过点、的直线段L的方程式为，其中，要判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入，并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式:当时，M在L(Q点)下方，取为下一个象素；当时，M在L(Q点)上方，取为下一个象素；当时，选或均可，约定取为下一个象素。注意到是的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。若当前象素处于情况，则取正右方象素,要判下一个象素位置，应计算，增量为a。 若时，则取右上方象素。要判断再下一象素，则要计算，增量为。画线从开始，的初值，因，所以。 由于我们使用的只是的符号，而且的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用代替来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。1.2.3 中点画线算法程序（或伪程序）描述具体程序见附录21.2.4 中点画线算法流程图 （略）1.3 生成直线的Bresenham算法1.3.1 Bresenham算法基本原理本算法由Bresenham在1965年提出。设直线从起点到终点。直线可表示为方程。其中我们讨论先将直线方向限于1a象限（图1.1）在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即 。而y的相应增加应当小于1。为了光栅化，只可能选择如图1.2两种位置之一。图1.2 的位置选择图1.2中 的位置选择 或者 选择的原则是看精确值与及的距离d1及d2的大小而定。计算式为：如果，则，否则。因此算法的关键在于简便地求出的符号。将式（1.2.1）、（1.2.2）、（1.2.3）代入，得用乘等式两边，并以代入上述等式，得是我们用以判断符号的误差。由于在1a象限，总大于0，所以仍旧可以用作判断符号的误差。为：误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式（2.1.4）中的而得到：1.3.2 Bresenham算法实现步骤综述上面1.3.1的推导，第1a象限内的直线Bresenham算法思想如下：1、画点(x1, y2); 计算误差初值P1=2dy-dx; i=1；2、求直线的下一点位置：xi+1=xi+1；if Pi0 则yi+1=yi+1；否则yi+1=yi；3、画点（xi+1, yi-1）；4、求下一个误差Pi+1；if Pi0 则Pi+1=Pi+2dy-2dx;否则Pi+1=Pi+2dy；5、i=i+1; if is.r) 两个面无交；else 所求交线是圆。其圆半，半径，圆所在平面法向量为c=s.c-d * p. w;r=sqr t(s.r2-d2);w=p.w;一个平面与一个圆柱面可以无交、交于一条直线（切线）、二条直线、一个椭圆或一个圆，可以用两个面的定义参数求出它们的相对位置关系和相对角度关系，进而判断其交属于何种情况，并求出交线的定义参数。平面与圆锥的交线也可类似求出。3、平面与参数曲面的交线 最简单的方法是把参数曲面的表示代入平面方程得到用参数曲面的参数s、t表示的交线方程另一种方法是用平移和旋转变换对平面进行坐标变换，使平面成为新坐标系下的平面。再用相同的变换应用于参数曲面方程得到参数曲面在新坐标系下的方程由此得交线在新坐标系下的方程为。4.3 包含判定算法在进行图形求交时，常常需要判定两个图形间是否有包含关系。如点是否包含在线段、平面区域、三维形体中，线段是否包含在平面区域、三维形体中，等等。许多包含判定问题可转化为点的包含判定问题，如判断线段是否在平面上可以转化为判断其两端点是否在平面上。因此下面主要讨论关于点的包含判定算法。判断点与线段的包含关系，也就是判断点与线的最短距离是否位于容差范围内。造型中常用的线段有三种：1、直线段；2、圆锥曲线段（主要是圆弧）；3、参数曲线（主要是Bezier，B样条与NURBS曲线）。点与面的包含判定也类似地分为三种情况。下面分别讨论。1、点与直线段的包含判定假设点坐标为，直线段端点为，则点P到线段的距离的平方为 当时，认为点在线段（或其延长线）上，这时还需进一步判断点是否落在直线段的有效区间内。只要对坐标分量进行比较，假设线段两端点的x分量不等（否则所有分量均相等，那么线段两端点重合，线段退化为一点），那么当与反号时，点P在线段的有效区间内。2、点与圆锥曲线段的包含判定以圆弧为例，假设点的坐标为，圆弧的中心为，半径为，起始角，终止角。这些角度都是相对于局部坐标系x轴而言。圆弧所在平面为 先判断点是否在该平面上，若不在，则点不可能被包含。若在，则通过坐标变换，把问题转换到二维的问题。给定中心为，半径为，起始角，终止角的圆弧，对平面上一点，判断P是否在圆弧上，可分二步进行。第一步判断P是否在圆心为，半径为的圆的圆周上，即下式是否成立： 第二步判断P是否在有效的圆弧段内。3、点与参数曲线的包含判定设点坐标为，参数曲线为。点也参数曲线的求交计算包括三个步骤：（1）计算参数值，使到的距离最小；（2）判断是否在有效参数区间内（通常为）；（3）判断与的距离是否小于 。若（2），（3）步的判断均为“是”，则点在曲线上；否则点不在曲线上。第一步应计算，使得最小，即最小根据微积分知识，在该处即用数值方法解出值，再代入曲线参数方程可求出曲线上对应点的坐标。第（2）、（3）步的处理比较简单，不再详述。4、点与平面区域的包含判定设点坐标为，平面方程为。则点到平面的距离为 若 ，则认为点在平面上，否则认为点不在平面上。在造型系统中，通常使用平面上的有界区域作为形体的表面。在这种情况下，对落在平面上的点还应进一步判别它是否落在有效区域内。若点落在该区域内，则认为点与该面相交，否则不相交。下面以平面区域多边形为例，介绍有关算法。判断平面上一个点是否包含在同平面的一个多边形内，有许多种算法，这里仅介绍常用的三种：叉积判断法、夹角之和检验法以及交点计数检验法。（1）叉积判断法假设判断点为。多边形顶点按顺序排列为。如图4.2所示。令。那么，在多边形内的充要条件是叉积的符号相同。叉积判断法仅适用于凸多边形。当多边形为凹时，尽管点在多边形内也不能保证上述叉积符号都相同。这时可采用后面介绍的两种方法。图4.2 叉积判断法（2）夹角之和检验法假设某平面上有点和多边形，如图4.3所示。将点分别与相连，构成向量。假设角 。如果，则点在多边形之外，如图4.3(a)所示。如果，则点在多边形之内，如图4.3(b)所示。可通过下列公式计算：令, ，则，所以且的符号即代表角度的方向。图4.3 夹角之和检验法在多边形边数不太多（44）的情况下，可以采用下列近似公式计算。其中为常数。当时，可判在多边形内。当时，可判在多边形外。证明略。（3）交点计数检验法当多边形是凹多边形，甚至还带孔时，可采用交点计数法判断点是否在多边形内。具体做法是，从判断点作一射线至无穷远：求射线与多边形边的交点个数。若个数为奇数，则点在多边形内，否则，点在多边形外。如图4.4所示，射线a, c分别与多边形交于二点和四点，为偶数，故判断点A，C在多边形外。而射线b, d与多边形交三点和一点，为奇数，所以B，D在多边形内。当射线穿过多边形顶点时，必须特殊对待。如图2.5.4所示，射线f过顶点，若将交点计数为2，则会错误地判断F在多边形外。但是，若规定射线过顶点时，计数为1，则又会错误地判断点E在多边形内。正确的方法是，若共享顶点的两边在射线的同一侧，则交点计数加2，否则加1。按这种方法，E点计为2，所以在多边形外；F点计数为，所以在多边形内。图4.4 交点计数法5、点与二次曲面/参数曲面的包含判定假设点坐标为，二次曲面方程为，则当 时，认为点在该二次曲面上，在造型系统中，通常使用裁剪的二次曲面。在这种情况下，还要判断点是否在有效范围内。裁剪的二次曲面通常用有理Bezier或有理B样条的参数空间上的闭合曲线来定义曲面的有效范围，故要把点所对应的参数空间的参数坐标计算出来，再判断该参数坐标是否在参数空间有效区域上。6、点与三维形体的包含判定判断点是否被三维形体所包含，可先用前面的方法判断点是否在三维形体的表面上，然后判断点是否在形体内部，其方法因形体不同而异。下面以凸多面体为例说明。设凸多面体某个面的平面方程为，调整方程系数的符号，使得当时，点位于该平面两侧中包含该凸多面体的一侧。于是要检验一个点是否在凸多面体内部，只要检验是否它对凸多面体的每一个面均满足以上的不等式即可。4.4 重叠判定算法进行求交计算时，常涉及判断两个几何形体是否重叠。下面讨论几种常见的情况。判断空间一点与另一点是否重叠，只要判断两点之间的距离是否小于0即可。判断两条线段是否重叠，可先判断它们是否共直线，只要判断一条线段上任意两点是否在另一条线段所在的直线上，或是比较两条线段的方向向量并判断一条线段上任意一点是否在另一条线段所在的直线上。若两条线段不共线，则它们不可能重叠；否则可通过端点坐标的比较来判断两线段的重叠部分。判断两个平面的重叠关系，一种方法是判断一个平面上的不共线三点是否在另一平面上；另一种方法是先比较两个平面的法向量，再判断一个平面上的某点是否在另一平面上。4.5 凸包计算一个图形的凸包，就是包含这个图形的一个凸的区域。例如，一个平面图形的凸包可以是一个凸多边形，一个三维物体的凸包可以是一个凸多面体。一个图形的凸包不是唯一的。在进行图形求交计算时，为了减小计算量，经常要在求交之前先进行凸包计算。如果两个图形的凸包不相交，那么显然它们不可能相交，就不必再对它们进行求交了。否则这两个图形有可能相交，需要进一步计算。包围盒是一种特殊而又十分常用的凸包。二维的包围盒是二维平面上的一个矩形，它的两条边分别与两条坐标轴x，y平行，可以表示为两个不等式：，；三维空间中的包围盒是一个长方体，其长、宽、高分别与三条坐标轴平行，表示为三个不等式：，。两个包围盒相交的充要条件是它们在每一个坐标轴方向上都相交。由于判定两个包围盒的相交情况比较容易，所以包围盒成为最常用的一种凸包。求多边形或多面体的包围盒是相当简便的。只要遍历其所有顶点，就可以找出多边形或多面体在各个坐标轴方向上的最大、最小坐标值，从而确定包围盒。对于已近似化为多边形或多面体的含有曲线曲面的几何体，也可以用同样的方法求出包围盒。对于一般的几何形体，则要根据其具体性质来求取其包围盒。在进行含有曲线、曲面的几何体的求交时，常常先求取它们的一个凸多边形或凸多面体的凸包，由于凸多边形和凸多面体间的求交相对简单，可以节省一定的计算量。例如，Bezier、B样条和NURBS曲线曲面具有凸包性质，其控制多边形或控制网格是其本身的凸包。在进行此类曲线曲面的求交计算时，就常先用其控制多边形或控制网格求交。一般的凸包的求法因具体情况而异，下面举一个求圆弧凸包的例子。设圆弧段的圆方程为 ，圆弧起始角为，终止角为。对圆弧计算凸包如图4.5所示。先根据起始角与终止角求出相应的弧端点坐标，进而求出弧的弦中点。再用的正、余弦或下式计算弧中点：则该弧的包围盒顶点为。图4.5 圆弧的凸包5 自由曲线曲面造型技术在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有：Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面、Coons曲面（又称孔斯曲面）以及它们的有理形式。5.1 Bezier曲线和曲面5.1.1 Bezier曲线1定义 给定空间n+1个点的位置矢量，则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，构成该Bezier曲线的特征多边形，是n次Bernstein基函数：Bezier曲线实例如图5.1所示。图5.1 三次Bezier曲线2Bezier曲线的性质（1）端点性质1 曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当时，；当时，。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。2 切矢量 因为，其中，所以当时，当时，这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。3 二阶导矢 ，当时，当时，表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。将代入曲率公式，可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：4 阶导函数的差分表示 次Bezier曲线的阶导数可用差分公式为：其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：（2）对称性。由控制顶点，构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。（3）凸包性 由于且，这一结果说明当变化时，对某个值，是特征多边形各项定点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着Bezier曲线在中各点是控制点的凸线性组合，即曲线落在构成的凸包之中，如图5.2所示。图5.2 Bezier曲线凸包性（4）几何不变性。 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： （参变量是的置换）（5）变差缩减性。 若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。（6）仿射不变性对于任意的仿射变换：即在仿射变换下，的形式不变。5.1.2 Bezier曲面 基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。1.定义设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲线为：其中是Bernstein基函数，依次用线段连接点列中相邻的两点所形成的空间网络，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是：在一般实际应用中，不大于4。2性质除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面：（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即。（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且、和（图5.3打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。（3）几何不变性。（4）对称性。（5）凸包性。图5.3 双三次Bezier曲面及边界信息5.2 B样条曲线与曲面以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。1972 年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。5.2.1 B样条的递推定义和性质1定义 与Bezier曲线得定义方法类似，B样条曲线方程定义为： 其中，是控制多边形的顶点，称为阶(次)B样条基函数，其中每一个称为B样条，它是一个称为节点矢量，即非递减的参数序列所决定的阶分段多项式，也即阶（次)多项式样条。B样条有多种等价定义，在理论上较多地采用截尾幂函数的差商定义。我们只介绍作为标准算法的de Boor-Cox递推定义，又称为de Boor-Cox公式。约定0/0=0。该递推公式表明：欲确定第个阶B样条，需要用到共个节点，称区间为的支承区间。曲线方程中，个控制顶点，要用到个k阶B样条。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量。2B样条曲线类型的划分 曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。闭曲线又区分为周期和非周期两种情形，周期闭曲线与非周期闭曲线的区别是：前者在首末端点是C2连续的，而后者一般是C0连续的。非周期闭曲线可以认为是开曲线的特例，按开曲线处理。 B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。假定控制多边形的顶点为，为阶（次)，则节点矢量是。 （1）均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度，这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。图5.4是均匀B样条曲线实例。图5.4 三次均匀的B样条曲线 （2）准均匀的B样条曲线 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。 均匀B样条曲线在曲线定义域内各节点区间上具有用局部参数表示的统一的表达式，使得计算与处理简单方便。但用它定义的均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线就是为了解决这个问题，使曲线在端点的行为有较好的控制，如图5.5所示。图5.5 准均匀三次B样条曲线 （3）分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。其它三种类型的B样条曲线可通过插入节点的方法转换成分段Bezier曲线类型，缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数都将增加。分段Bezier曲线实例如图5.6所示。图5.6 三次分段Bezier曲线 （4）非均匀B样条曲线 在这种类型里，任意分布的节点矢量，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度，内节点重复度）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。5.2.2 B样条曲线1局部性由于B样条的局部性，阶B样条曲线上的参数为的一点至多与个控制顶点有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第个控制顶点至多影响到定义在区间上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。2连续性在重节点处的连续阶不低于。整条曲线的连续阶不低于，其中表示位于区间内的节点的最大重数。3凸包性 在区间，上的部分位于个点的凸包内，整个曲线则位于各凸包的并集之内。4分段参数多项式在每一区间，上都是次数不高于的参数的多项式，是参数的次分段多项式。 5导数公式 由B样条基的微分差分公式，有： 6变差缩减性 设平面内个控制顶点构成B样条曲线的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。 7几何不变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 8仿射不变性对任一仿射变换A： 即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。 9直线保持性 控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。 10造型的灵活性 用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况，如图5.7所示。对于四阶（三次）B样条曲线若要在其中得到一条直线段，只要四点位于同一直线上，此时对应的的曲线即为一条直线，且和所在的直线重合。