短期聚合风险模型

第六章第六章短期聚合风险模型短期聚合风险模型知识要点知识要点 1、短期聚合风险模型对于,其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量，Xi表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量，S为保险期内的理赔总额随机变量。Xi 对不同的i是独立同分布的，N与各Xi是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。2、理赔次数和理赔额的分布（1）泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数：（2）负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数。负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数f(x)，由全概率公式有：Nii=1S=x()(,)()0()0nxP NnP Nnx f x dxx ef x dxn而：特别地，当的密度为 ，x 0时，N服从参数r=a,p=/1+的负二项分布。（3）S的分布问题 假设S的分布函数和密度函数分别为F（x）和f(x),则：(1)()(,)()()(,)(,)()()()()(,)()(1)ttNtNeNtE NE E NEVar NE Var NVar E NEVarMtE eE E eE eMe1()()xaf xexa除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布，由矩母函数的定义有：其中X是与各Xi同分布的随机变量。也就是说，若知道Xi和N的矩母函数，就可计算出S的矩母函数，012000()()(,)()(.)()()()()()()nnnnnnnF xP SxP Sx Nn P NnP XXXxP NnPxP Nnf xPxP Nnln()()()(,)()()(ln()XtStSNsXNMtNXM tE eE E eNE MtE eMMt而4、复合泊松分布在聚合风险中，当N服从泊松分布时，S的分布就称为复合泊松分布。这样：E（S）=E（X）E（N）=E（X）其中 为泊松参数。2()(,)()()()()(,)(,)()()()()()()E SE E S NE NE XE XE NVar SVar E S NE Var S NVar NE XE NVar XEX Var NE NVar XNii=1S=xln()2200()1)(1)()()()()()()()()()()MtXXnnsnnnsnMtesVar SEX Var NE NVar XE XeF xpxnefpxnM tee关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律：（1）如果S1，S2，Sm是相互独立的随机变量，且Si服从参数为i的复合泊松分布，理赔额的分布为Pi(x),i=1,2,m,则服从参数为的复合泊松分布，且个别理赔额分布为：（2）对于一个复合泊松分布随机，可以分解为：个别理赔额的分布列为：1miiSS1mii1()()miiiP xP xNii=1S=x1miiiSx NXx1x2xmPp1p2pm则N1，N2，Nm相互独立且Ni服从参数为i=pi的泊松分布，其中为S的泊松参数。对于此定理，若xi仅取正整数值，则理赔总额S的密度函数为：对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足：(n=1,2,)（3）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为X，保险合同有一个免赔额d，即，Xd,Xd是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为，则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布，泊松参数变为P（xd),个别理赔额的分布密度函数为：11()()()xxiiiiii p f xif xf xixx()(1)P NnbaP Nnn,0,XdY5、聚合理赔量的近似模型（1）正态近似定理如果S是复合泊松分布，泊松参数为，个别理赔额的数学期望与方差2有界，则：定理如果S服从复合负二项分布，参数为r,p,个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的与2，则：()()(xd)XYfxdfxp2222lim()()(),()()SPxxE SD S 其中，222222lim()1,(),()rrqSpPxxrqrqpprqrqrqqp E SVar Spppp 其中，（2）平移伽马近似 定义定义其中，g（x）为(,)分布的概率密度函数，h（x）为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。由定义知平移伽马分布有三个参数x0，,，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题：100),0()H(,)(,)axxxedxxxG xx 若G(x,则,为平移伽马分布的分布函数。2030223332()()()()()2()()2()Var SxE SE SxE SE SVar SE SE SVar SE SE SE SE S3（）(Var(S)解得：=4重点及难点解析重点及难点解析 本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数时的复合泊松分布，另外，理赔总额S分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当个别索赔额随机变量的取值仅为正整数值时，是本章的难点。下面看几个例子，以便让读者有一些感性认识。例1一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都相同为B个单位元，索赔次数N服从泊松分布，参数为，以下陈述中哪一项是不正确的？A、E(S)=E(N)B=BB、Var(S)=Var(N)B2C、S的可能取值为0，B，2B，D、E(X)=B,Var(X)=B2E、P(SBx)=P(Nx)解由聚合风险模型有：E(S)=E(N)E（X）=B所以A正确。Var(S)=E2（X）Var(N)+E（N）Var(X)=B2所以B正确。由于每次理赔额均为常数B，所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正确。依题意有：P（X=B）=1所以E（X）=BM，Var(X)=0所以D错误。因为S=BN所以P（S BX）=P（BNBX）=P（NX）所以E正确。所以选D。例2保险人承保了保险金额为1万元的一年定期意外险保险单1000份，假设投保人出险的概率是独立的，每个被保险人索赔的概率为0.0002，求索赔总额超过12000元的概率。100010001000100019991000.(1 0.0002).0.0002.1(1 0.0002).1(1 0.0002)0.0002(1 0.0002).(12000)=P(S10000)=1-P(S12000)=P(S10000)=1-P(S10000)=1ABCDCE P SS解0010001000119991000100011000-P(N1)=1-P(N=0)+P(N=1)=1-C0.0002(1 0.0002)+C0.0002(1 0.0002)=1-(1-0.0002)0.00C99902(1 0.0002)D 选。以上两道例题有相似之处，理赔额均为常数，这样索赔总额S的E（S）为：例3设Si，i=1，2，n,是一系列相互独立的且具有相同分布的复合负二项分布，负二项分布的参数分别为K和P，个别索赔额的密度函数为(x),令：，下面有关S的陈述哪一项是错误的？A、S仍是复合负二项分布B、S的个体索赔额的密度函数仍为(x)C、复合负二项分布具有可加性()E SE NE XBE NX22（）（）（）（）(其中B为常数索赔额）S的方差为：Var(S)=E(E(S,N)=EVar(N)+E(N)Var(X)=B Var(N)而总索赔额的分布函数为：x F(x)=P(Sx)=P(BNx)=P NB1niiSS所以S的分布仍是复合负二项分布，参数为nk和P，个别索赔额的密度函数仍为(x)，因此A、B、D正确。i1XiXiSln()XSPD.S1-qM()PE.S1-qM()SP()11-qM()()()()XniinkkKKMttStsttPtqetEtE eE e的矩母函数为：的矩母函数为：解矩母函数为：M正确。MitSX=(E(e)()P=1-qM()innSnkMtt但是，上述结果并不意味着复合负二项分布与复合泊松分布具有一样的可加性。如果Si不独立同分布，S的矩母函数为：也就是说，如果负二项分布参数qi不一样，即使K、MX（t）对每个Si都相同，复合负二项分布也没有可加性，但是P和MX（t）对每个Si都相同，K参数对每个Si具有不同的ki时，复合负二项分布是具有可加性的。因为1iSniSi=11iX()X()()()P=()1-q M()1-Q1-QM()niitStskniR ktE eE etttMM1SS1XP()()1-qM()niiknitttMM所以，综合以上分析，此题的答案应选C。例4保险人提供具有如下情形的三种保险：对于每一个保险标的，方差和期望的索赔金额是相等的，对于每一类型的保单，保费是按（1+）倍的期望值收取，求，使总索赔额超过总保费的概率为0.05。A.0.09B.0.1C.0.11D.0.12E.0.13解期望的总索赔额是：种类保单数索赔概率期望索赔金额12350010005000.050.100.15510531()()()=500 0.05 5+1000 0.1 10+500 0.15 5=1500iiE SE N E X总索赔额的方差是：321()()()()()=500 25 0.05 0.95+0.05 5+1000 100 0.1 0.9+0.1 10+500 25 0.15 0.85+0.15 5=12687.5 1+ESiiiVar SEX Var NE NVar X由题意有：0.05=P(S（）（）)S-=P()15001-1(13.3)12678.5(13.3)=0.9513.3=1.645,=0.124E SD E(S)Var(S)Var(S)选。这道题可用个别风险模型解决，两种方法难度相当；由于保单数量较多，正态分布近似总是不错的选择。例5具有正整数个别索赔额的复合泊松分布的总索赔额随机变量的概率密度函数如下：已知索赔总额的数学期望为1.68，求期望的索赔次数。A.0.60B.0.70C.0.80D.0.90E.1.00.16(1)(2)+0.72(3)(1,2,3,.)ff xkf xf xx1（x）=x1()()()30.80 xiiP if xf xixC解由代定系数法可知：P(1)=0.162P(2)=K P(3)=0.72E(S)=(1 P(1)+2 P(2)+3P(3)=1.68P(1)+P(2)+P(3)=1解得：选。例6S是具有下列特征的复合泊松分布；个别索赔额为1，2或3；E（S）=56；Var（S）=126；=29。决定索赔额为2时的期望索赔次数是多少？A.10B.11C.12D.13E.151222211E(S)=E(N)E(X)=P=(P(1)+2P(2)+3P(3)=56(1)Var=E()Var(N)+E(N)Var(X)=()=(P(1)+4P(2)+9P(3)=126(2)29XPPP解(3)P(1)+P(2)+P(3)=1(4)(1)(2)(3)(4)解构成的方程组的得：P(2)=0.3793所求的 P(2)=29 0.3793=11选B。此例和上例也有相似之处，对于复合泊松分布、（泊松参数）、个别索赔的正整数值及对应的概率值，这两个量已知，所有未知的量即可求出；或知道其余的一些量就可求出另外一些量，但此题也可推广到其他一些情况，譬如索赔次数分布改为负二项分布或二点分布时，已知改为负二项分布的参数k与p已知或二项分布的参数n与p已知，再计算本题。此方面的具体题目参见本章思考题。由于复合分布的重要性，再看如下的例子：例7对于泊松参数为6的复合泊松分布，个别索赔额的分布为 ,另外，还已知索赔总额的一些如下概率值：x124P1/31/31/3S34567P0.01320.02150.0271P(6)0.0410求P（6）A.0.031B.0.066C.0.039D.0.0365E.0.03451i12341()()()()16(1)62316(2)6236(3)6 0016(4)6231()2(1)2 2(2)2 4(4)xif xiP i f xixP iPPPPf xf xf xf xx 解而1=2(1)4(2)8(4)1(7)2(6)4(5)8(3)71=(2(6)4 0.0271 8 0.0132)7=0.0410(6)0.0365f xf xf xxffffffD 选。当然此题也可在没有P（3）、P（4）、P（5）、P（7）的值时算出，不过那要算出P（0）、P（1）、P（2）、P（3）P（4）、P（5）的值才能求P（6）的值。当然这种计算读者会感到很无聊，如果给出一些特殊的值，此题便立刻具有了灵性。例8设复合分布，其中Xi相互独立且N与Xi独立，问下面选项哪一项是正确的？如果个别索赔额P(x)=e-x,x 0,那么Var(S)=E(N2)；假设Var(N)=E（N），那么Var(S)=P2E（N）；E(S2)=E（N）E(X2)+P12 E(N2)A、仅正确 B、仅正确 C、仅正确 D、正确 E、都不对 Nii=1S=x22X(1)()1()()()()()()=()()()(1)eE XVar XVar SEX Var NE NVar XVar NE NE NVar NE N 解错误。当（）（）时；例9对复合负二项分布，参数r=1，p=1/3，个别索赔额服从参数为的指数分布，已知Ms（1，0）=3，求。A.4.9B.5.0C.3.5D.4.0E.4.5222222()()()()=()()()=()(2)()()()=()()(Var SEX Var NE NVar XE NVar XEXE NPE SVar SESEX Var NE N（）=（正确。对于选项（3）：2222)()()=()()()()()()(3)BVar XEX ENEXE NE N Var XE NVar X（）错误。选。sNM(t)=M(ln()1()1113=232()31()3-23-tXXXXPMtqMttMttMt解例10没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布,如果用平移伽马分布来近似,则平移伽马分布的参数为(=2.0,=5,x0=40).如果有50的比例再保险,也用平移伽马分布来近似,求有再保险时的平移伽马分布的有关参数.A.x0=20,=20,=10B.x0=40,=40,=20C.x0=20,=20,=20D.x0=10,=10,=10E.x0=20,=20,=30解依题在没有再保险时有:SM(1.0)3334.5E选。22333204044520()25240()125Var SPE SE SP0E(S)=E(X)=x在有50的比例再保险时,泊松参数不会发生改变,个别索赔额会变为原来的1/2,再保后有:解得:x0R=20,aR=20,R=10,其中x0R,aR,R 为有再保险时的平移伽马分布参数,所以此题答案为A.例11某保险人承保了一医疗保险,其中包括住院费和其他费用,个别赔付的特征如下:222333302344222205()/40.242525401()8125 825220.2()21()25RRRRRRRRRRPVar SPPE SE SPxRXE(x)E(S)=E()=22XE2XE2所以有方程组：另外,住院费用和其他赔付金额的协方差为100000.保险人对住院花费全部保险,对其他花费保险了损失的80,索赔次数服从参数为4的泊松分布,求保险人赔付总额的方差.A.9710400B.10500C.9720400D.1020400E.9920400种类平均值标准差住院其他1000500500300223000.82 0.8 100000=467600()X 222解个别赔付额的期望与方差为：E(X)=1000+0.8 500=1400 Var(X)=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)=500 E(X)=Var(X)+E2=467600+1400=2427600()=4 2467600=9710400AX22Var(S)=PE选。这是一道没有全额赔付的例题,这有点像再保险情况下的一些数字特征或分布函数的有关计算,这种例子在实务中的应用非常普遍,下面再看一道类似的例题,望读者能归纳出这类题的解题方案.例12保险公司承保的风险服从泊松参数为100的复合泊松分布.个体索赔额服从均值为500的指数分布,该保险人进行了比例再保险,自留额为80,求在这种情况下保险人和再保险人的年个别索赔额的分布,并求出原保险人和再保险人索赔总额随机变量的期望与方差.解由于是比例再保险,原保险人和再保险人的泊松参数不会发生变化,改变的只是个别理赔额的分布.原保险人的个别索赔额随机变量Y=0.8X,X为没有再保险情况下的个别索赔额随机变量,再保险人的索赔额的随机变量R=0.2X.Y1-500 0.840011x-500 0.2100P(Yx)=F()(0.8)()0.8=1-e1Y()()(0.2)()0.2=1-e1-eRxxxxxPxxP XexxP RxPXxP X R服从均值为400的指数分布。同样F服1100从参数为的指数分布对于此例读者可以更进一步思考,在对个别索赔额进行停止损失再保险时,再求再保险人和原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差.Y2Y226RE(S)E(N)E(Y)100 40040000Var(S)E(Y)Var(N)E(N)Var(Y)=400100 100 40032 10E(S)E(N)E(R)100 100原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差：再保险人索赔总额随机变量的数学期望与方差：42R22610 Var(S)E(R)Var(N)E(N)Var(R)=100100 100 1002 10