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8.5直线、平面垂直的判定与性质,知识梳理,考点自测,1.直线与平面垂直,任意,mn=O,a,知识梳理,考点自测,b,ab,知识梳理,考点自测,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.,直二面角,知识梳理,考点自测,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,知识梳理,考点自测,直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.() (2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.() (3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.() (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.() (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.(),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,则“l”是“lm且ln”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“m ”是“ ”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.如图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是() A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论: 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直; 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直; 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直. 其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号),答案:,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,解析:如图,AEBD,CFBD,连接CE, ABBC,CE不垂直于BD. 若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,BDAE, BD平面AEC,从而BDEC,这与已知矛盾,排除; 若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD平面ABC. 作MECF,交BC于点M,连接AM(图略),则MEBD, 又AEBD,AEME=E, BD平面AME,AMBD.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,又CD平面ABC,CDAM. 又CDBD=D,AM平面BCD,即点A在平面BCD上的射影M位于边BC上时,直线AB与直线CD垂直,故正确; 若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC平面ACD,从而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除. 故答案为.,考点1,考点2,考点3,考点4,例1 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF平面ACFD; (2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示. 因为平面BCFE平面ABC,ACBC,平面BCFE平面ABC=BC, 所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK. 所以BF平面ACFD.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考证明线面垂直的常用方法有哪些? 解题心得证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1 在如图所示的空间几何体中,EC平面ABCD,四边形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分别为AF,DE,AE的中点.求证: (1)GH平面BCEF; (2)FP平面ACE.,考点1,考点2,考点3,考点4,证明: (1)取EC中点M,FB中点N,连接HM,GN. 由题意可知ABCD,AB=CD, HMGN, 四边形HMNG是平行四边形, GHMN, GH 平面BCEF,MN 平面BCEF,GH平面BCEF. (2)连接BD,与AC交于O,连接OP,则OP EC, 又ECBF,EC=2BF,OPBF, 四边形PFBO是平行四边形, PFBO, BOAC,BOEC,ACEC=C, BO平面ACE,FP平面ACE.,考点1,考点2,考点3,考点4,例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC=60,AB= AD,PA平面ABCD,E为PD的中点. (1)求证:ABPC; (2)若PA=AB= AD=2,求三棱锥P-AEC的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: PA平面ABCD,又AB平面ABCD,ABPA, 在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=BC2-AB2, AB2+AC2=BC2,即ABAC, 又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC, AB平面PAC,又PC平面PAC, ABPC.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法? 解题心得1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质. 2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2 如图所示,四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD是菱形,ABC=60,M为PC的中点,PC= . (1)求证:PCAD; (2)求三棱锥M-PAB的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: 证法一:连接AC,由已知得PAD,ACD均为正三角形,PA=AC,PD=CD, M为PC的中点, PCAM,PCDM, 又AM平面AMD,DM平面AMD,AMDM=M, PC平面AMD, 又AD平面AMD,PCAD. 证法二:取AD的中点O,连接OP,OC,AC, 由已知得PAD,ACD均为正三角形,OCAD,OPAD, 又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC, AD平面POC, 又PC平面POC,PCAD.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,例3 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: 因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD. 因为BE平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考证明面面垂直的常用方法有哪些? 解题心得1.面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决. 2.三种垂直关系的转化 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1= ,E为A1B1的中点. (1)求证:平面A1BD平面A1AD; (2)求多面体A1E-ABCD的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: AB=2,AD=BC=1,BAD=60, BD2+AD2=AB2,BDAD, AA1平面ABCD,BD平面ABCD, BDAA1,又AA1AD=A,AA1平面A1AD,AD平面A1AD, BD平面A1AD,又BD平面A1BD, 平面A1BD平面A1AD.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,例4 如图,四边形ABCD为梯形,ABCD,PD平面ABCD, BAD=ADC=90,DC=2AB=2,DA= . (1)线段BC上是否存在一点E,使平面PBC平面PDE?若存在,请给出 的值,并进行证明;若不存在,请说明理由. (2)若PD= ,线段PC上有一点F,且PC=3PF,求三棱锥A-FBD的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,E为BC的中点,BCDE, PD平面ABCD,BCPD, DEPD=D,BC平面PDE, BC平面PBC, 平面PBC平面PDE.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考探索性问题的一般处理方法是什么? 解题心得线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2 (1)求证:DEA1B. (2)求证:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB, 沿DE将AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DE丄A1B. (2)证明: 取CD中点F,连接NF,MF, M,N分别为A1C,BE的中点, MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF. MN平面A1ED.,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)解: 取A1B的中点G,连接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC.,考点1,考点2,考点3,考点4,1.转化思想:垂直关系的转化 2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,
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