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考点一空间几何体的结构特征,考点清单,考向基础 1.多面体的结构特征,2.旋转体的结构特征,3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 (1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.,拓展延伸 1.特殊的四棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱正方 体 2.球的截面性质 (1)球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面; (2)球心到不过球心的截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r的关系为r=.,考向突破,考向常见的空间几何体(柱、锥等)的结构特征,例下列说法不正确的是() A.有两个面平行,其余各面是四边形,并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C.直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 D.圆台中平行于底面的截面是圆面,解析对于A,符合棱柱的定义,所以A中说法正确;对于B,由圆锥的结构特征“母线长相等”知过轴的截面是一个等腰三角形,所以B中说法正确;对于C,直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,所以C中说法不正确;对于D,由圆台的结构特征知,圆台中平行于底面的截面是圆面,所以D中说法正确.故选C.,答案C,考点二空间几何体的表面积和体积,考向基础 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积,3.柱体、锥体、台体、球体的体积公式,4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,考向突破,考向与表面积和体积有关的问题,例1已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,BAC=90,AA1=2,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是 () A.4B.8C.12D.16,解析易知该三棱柱的外接球即为底面是正方形(边长为2)、高是2 的长方体的外接球,该外接球的直径为长方体的体对角线长,为4,故该球的表面积为422=16.,答案D,例2如图,在棱长为a(a0)的正三棱锥A-BCD中,点B1,C1,D1分别在棱AB,AC,AD上,且平面B1C1D1平面BCD,A1为BCD内一点,记三棱锥A1-B1C1D1的体积为V,设=x,三棱锥A1-B1C1D1的体积V与x满足关系式V= f(x),则() A.当x=时,函数f(x)取得最大值,B.函数f(x)在上是减函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=对称 D.存在x0,使得f(x0)VA-BCD(其中VA-BCD为正三棱锥A-BCD的体积),解析正三棱锥A-BCD的体积VA-BCD=a3, 所以=Vx3=a3x3, 因为=, 所以f(x)=V=a3x3=a3x2(1-x),00, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减. 因此, f(x)max=f=a3=VA-BCD.,综上,选A.,答案A 思路分析先根据已知中的比例关系列出f(x)的解析式,再对函数的单调性、对称性和最值进行研究,得出正确选项.,方法1空间几何体表面积与体积的求解方法 1.表面积的求解方法 (1)求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可. (2)求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其面积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长(弧长)关系. (3)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体等.先求出这些基本的柱、锥、台体等的表面积,再通过求和或作差获得所求几何体的表面积.,方法技巧,2.体积的求解方法 (1)公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接代入各自几何体的体积公式进行计算. (2)割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常见的几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体积. (3)等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从而进行换底换高计算.此种方法充分体现了数学中的转化思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转化.,例1(1)(2016课标,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() A.20B.24C.28D.32 (2)(2017北京文,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(),A.60B.30C.20D.10 解题导引 (1) (2),解析(1)由三视图知圆锥的高为2,底面半径为2,则圆锥的母线长为 4,所以圆锥的侧面积为44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为 44=16,从而该几何体的表面积为8+16+4=28,故选C. (2)根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, VP-ABC=354=10.故选D.,答案(1)C(2)D,方法2与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题;球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图进行解题.,例2(2016课标,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是() A.4B.C.6D. 解题导引,解析易得AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8 +10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体 积V=R3=.故选B.,答案B,
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