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8.5直线、平面垂直的判定与性质,第八章 立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.,ZHISHISHULI,任意一条,(2)判定定理与性质定理,a，b,abO,la,lb,a,b,相交,平行,2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角.,它在平面上的射影,直角,0,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,【概念方法微思考】,1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？,提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.,2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？,提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.,基础自测,JICHUZICE,题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)直线a，b，则ab.() (4)若，a，则a.() (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.() (6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编 2.P73T1下列命题中错误的是 A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面,解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的.,1,2,3,4,5,6,3.P67练习T2在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；,解析如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,外,1,2,3,4,5,6,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB， PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB， ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC， AB平面PGC，又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高， 即O为ABC的垂心.,垂,1,2,3,4,5,6,题组三易错自纠 4.(2018台州模拟)若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析由l且m能推出ml，充分性成立； 若l且ml，则m或者m，必要性不成立， 因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.,1,2,3,4,5,6,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是 A.与AC，MN均垂直 B.与AC垂直，与MN不垂直 C.与AC不垂直，与MN垂直 D.与AC，MN均不垂直,1,2,3,4,5,6,解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1， 又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1， 因为OM平面BDD1B1，所以OMAC. 设正方体的棱长为2，,所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.,6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是 A.MNAB B.平面VAC平面VBC C.MN与BC所成的角为45 D.OC平面VAC,解析由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC， 所以VABC. 因为ACVAA，所以BC平面VAC. 因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故选B.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类深度剖析,PART TWO,题型一直线与平面垂直的判定与性质,例1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF2时，证明：B1F平面ADF.,师生共研,证明因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC. 在直三棱柱ABCA1B1C1中， 因为BB1底面ABC，AD底面ABC， 所以ADB1B. 因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1， 所以AD平面B1BCC1. 因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F. 方法一在矩形B1BCC1中， 因为C1FCD1，B1C1CF2， 所以RtDCFRtFC1B1， 所以CFDC1B1F，,所以B1FD90，所以B1FFD. 因为ADFDD，AD，FD平面ADF， 所以B1F平面ADF. 方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，,在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，,在RtDCF中，CF2，CD1，,显然DF2B1F2B1D2， 所以B1FD90. 所以B1FFD. 因为ADFDD，AD，FD平面ADF， 所以B1F平面ADF.,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.,跟踪训练1(2019绍兴模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证：(1)EF平面ABC；,证明在平面ABD内，因为ABAD，EFAD， 则ABEF. 又因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF平面ABC.,(2)ADAC.,证明因为平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD， 所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC， 所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC，所以ADAC.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2(2018全国)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.,证明由已知可得，BAC90，即BAAC. 又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD， 所以AB平面ACD. 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.,师生共研,(1)证明：平面ACD平面ABC；,(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ 求三棱锥QABP的体积.,如图，过点Q作QEAC，垂足为E，,由已知及(1)可得，DC平面ABC， 所以QE平面ABC，QE1.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2(2018宁波调研)如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PAPC，PB2.,(1)求证：平面PAC平面ABC；,证明如图，取AC的中点O，连接BO，PO， 因为ABC是边长为2的正三角形，,因为PB2，所以OP2OB2PB2， 所以POOB. 因为ACOPO，AC，OP平面PAC， 所以BO平面PAC.又OB平面ABC， 所以平面PAC平面ABC.,(2)若PAPC，求三棱锥PABC的体积.,解因为PAPC，PAPC，AC2，,由(1)知BO平面PAC，,题型三与垂直有关的探索性问题,例3如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2. (1)求证：C1E平面ADF；,师生共研,证明连接CE交AD于O，连接OF. 因为CE，AD为ABC的中线，,因为OF平面ADF，C1E平面ADF， 所以C1E平面ADF.,(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.,解当BM1时，平面CAM平面ADF. 证明如下：因为ABAC，AD平面ABC， 故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中， BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1， 故平面B1BCC1平面ABC. 又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC， 所以AD平面B1BCC1， 又CM平面B1BCC1，故ADCM. 又BM1，BC2，CD1，FC2， 故RtCBMRtFCD.,易证CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF， 故CM平面ADF. 又CM平面CAM， 故平面CAM平面ADF.,对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证. 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 途径三：将几何问题转化为代数问题.,跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.,(1)求证：平面CFG平面ACE；,证明连接BD交AC于点O，则BDAC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MNBD， 连接FM，GN，则FMGN，且FMGN， 所以四边形FMNG为平行四边形， 所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC. 由于AE平面ABCD，所以AEBD. 所以FGAE， 又因为ACAEA，AC，AE平面ACE， 所以FG平面ACE. 又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.,(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由.,解存在.设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点， 连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH， 由已知易知，平面EFG平面ABCD， 又平面ACE平面EFGEQ， 平面ACE平面ABCDAC，,所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ， 又CQ平面CFG，EH平面CFG， 所以EH平面CFG，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则 A.ml B.mn C.nl D.mn,解析因为l， 所以l，又n，所以nl.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2019宁波模拟)已知直线l，m与平面，l，m，则下列命题中正确的是 A.若lm，则必有 B.若lm，则必有 C.若l，则必有 D.若，则必有m,解析对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A错误； 对于选项B，平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为l，l，所以.所以选项C正确； 对于选项D，直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是 A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE,解析因为ABCB，且E是AC的中点， 所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE. 因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE. 又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则 A.MNC1D1 B.MNBC1 C.MN平面ACD1 D.MN平面ACC1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N平面CDD1C1，点M平面CDD1C1，所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线， 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错； 对于选项B，正方体中易知NBNC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN 与直线BC1不垂直，故选项B不对； 对于选项C，假设MN平面ACD1，可得MNCD1，因为N是CD1的中点， 所以MCMD1，这与MCMD1矛盾，故假设不成立，所以选项C不对； 对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ. 因为点M是BC1的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以PMQN且PMQN， 所以四边形PQNM为平行四边形. 所以PQMN. 在正方体中，CC1PQ，PQAC， 因为ACCC1C，AC平面ACC1，CC1平面ACC1， 所以PQ平面ACC1. 因为PQMN，所以MN平面ACC1. 故选项D正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，,则PAO是PA与平面ABC所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.,解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形. 由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，从而BCPC， 因此ABC，PBC也是直角三角形.,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上.,解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1. 又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC. C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,AB,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可),解析PA底面ABCD，BDPA，连接AC，则BDAC，且PAACA， BD平面PAC，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD， 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.,DMPC(或BMPC等),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.,又AA11，所以AC13，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为_.,解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离， 设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值. 当PCDE时，PC的长度最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：ABEF；,证明因为四边形ABCD是矩形， 所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC， 所以AB平面PDC， 又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF， 所以ABEF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.,证明因为四边形ABCD是矩形， 所以ABAD. 因为AFEF，(1)中已证ABEF， 所以ABAF. 又ABAD， 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AFADA，AF，AD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又AB平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：MN平面PDC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明因为ABBC，ADCD， 所以BD垂直平分线段AC. 又ADC120，,所以ABC是等边三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以MNPD. 又MN平面PDC，PD平面PDC， 所以MN平面PDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.,解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， 所以BDPA， 又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC， 所以BD平面PAC. 由(1)知MNPD， 所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角， 故DPM即为所求的角. 在RtPAD中，PD2，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018湖州质检)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有 A.AG平面EFH B.AH平面EFH C.HF平面AEF D.HG平面AEF,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变， AH平面EFH，B正确； 过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确； AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF， 平面HAG平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确； 由条件证不出HG平面AEF，D不正确.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018全国)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等， 又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行， 故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N， 则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，,故选A.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019金华模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_.(写出所有正确说法的序号),不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC； 不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE； 不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB； 在折起过程中，一定不会有ECAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形， 所以ABEC，所以ABDE， 又ABDE， 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BEAD，折叠后如图所示. 过点M作MPDE，交AE于点P，连接NP. 因为M，N分别是AD，BE的中点， 所以点P为AE的中点，故NPEC. 又MPNPP，DECEE， 所以平面MNP平面DEC， 故MN平面DEC，正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由已知，AEED，AEEC， 所以AEMP，AENP， 又MPNPP，所以AE平面MNP， 又MN平面MNP，所以MNAE，正确； 假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA， 从而BE平面MNBA，AD平面MNBA， 与BE和AD是异面直线矛盾，错误； 当ECED时，ECAD. 因为ECEA，ECED，EAEDE， 所以EC平面AED，AD平面AED， 所以ECAD，不正确.,16.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点.,(1)求证：FM平面BDE；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明取BD的中点O，连接OM，OE， 因为O，M分别为BD，BC的中点，,因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB， 又EFAB，所以CDEF， 又ABCD2EF，,所以OMEF，且OMEF， 所以四边形OMFE为平行四边形， 所以MFOE. 又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由(1)得FM平面BDE， 所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离. 取AD的中点H，连接EH，BH， 因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60， 所以EHAD，BHAD. 因为平面ADE平面ABCD， 平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE， 所以EH平面ABCD，所以EHBH，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设点F到平面BDE的距离为h，,连接EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，,
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