题型04 平面向量数量积

r 2 22 22 2( )r r 2 22 2 D OAB( )( ) ( )2 2秒杀高考数学题型之平面向量数量积【秒杀题型一】：平面向量数量积。秒杀策略：定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。 )(亦称内积 )是两向量乘法运算中的一种，a b= a b cosq=x x +y y1 2 12，叫做向量 a 与 b 的数量积。q 为向量 a 与b的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，q0,p。r r几何意义为： a b等于 a (或 b )与 b (或 a )在 a (或 b )方向上的投影 b cos q (a cosq)的乘积。运算率：交换率： a b=b a；( )分配率： a +b c=a c+bc;() ()不满足结合率： a bca bc，因为前面表示与c共线的向量，后面表示与a共线的向量。三种方法：1.定义法：代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。2.绕法：当两向量的模与夹角不易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与夹角 的向量）表示，然后代入到数量积公式中。3.坐标法：如果给出两向量所在图形存在垂直关系（易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标计算。 4.投影法：当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。5.特殊图形法：如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。【题型 1】：简单型，利用定义计算。1.(2010 年辽宁卷)平面上O , A, B三点不共线，设OA =a , OB =b ，则 DOAB 的面积等于 ( )A.C.122a b -( a b)a b -( a b)2B.D.122a b +( a b)r r a b + a b1 1 2 2 1【解析】：定义法： S = OA OB sin q = a b (1-cos q) =2 2 22.(2016 年新课标全国卷 II3)已知向量 a = 1, m , b = 3, -2 且 a +b b ，则a b -( a b)m = ( )2，选 C。A.8 B.6 C.6 D.82 【解析】：定义法：代入坐标选 D。3.(2012 年辽宁卷)已知向量a =(1, -1) ， b =(2, x) ，若 a b=1 ，则 x = ( )A.1 B.1 1C.2 2D.1【解析】：定义法：代入坐标得x =1，选 D。4.(2016 年新课标全国卷 II4)已知向量a, b 满足a =1, a b=-1( )，则 a 2a -b = ( )A.4 B.3 C.2 D.0 【解析】：代入已知条件，选 B。5.(高考题)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b (a -b ) =0，则| b |的取值范围是 。【解析】：定义法：展开得： b =a b=a b cosq=b cosq，即 b =cosq 0,1。6.(高考题)设 a , b 为向量,则“a b = a b ”是“ a / b ”的 ( )A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】：定义法：可得cosq=1，共线同向或反向，选 C。7.(2020 年新课标全国卷 III6)在平面内，A、B 是两个定点，C 是动点，若A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线AC BC =1，则点 C 的轨迹为【解析】：选 A。【题型 2】：多种方法均可。1.(2013 年新课标全国卷 II13)已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 AE BD = 。 【解析】：法一：绕法： AE BD =( AD +DE ) BD =2。法二：坐标法，建立坐标系，代入坐标可得。法三：投影法。2.(高考题)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB =3，BD =1，则AB AD =。15【解析】：法一：绕法： 。2( AB +AC )( AC -AB ) = ( AC -AB ) =法二：投影法。法三：坐标法。3.(高考题)在 DABC 中， M 是 BC 的中点， AM =3, BC =10 ，则 AB AC = 。 【解析】：法一：绕法。法二：特殊图形法：不妨看成等腰三角形，AB AC = AB AC cos BAC =34(2cos2BAD -1)=16。法三：亦可看成直角三角形建系计算。4.(高考题)正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为O (0,0)，B (1,1)，则 AB AC = 。【解析】：法一：坐标法：建立直角坐标系，代入坐标可得 1。法二：投影法：利用数量积的几何意义(投影)可得数量积为 1。5.(高考题)在边长为 1 的正三角形ABC中，设BC =2 BD , CA =3CE，则AD BE =_。【解析】：法一：绕法： -14。法二：坐标法。6.(高考题)如图,在平行四边形 ABCD 中，已知 AB =8 ，AD =5 ， CP =3PD ，AP BP =2 ，则 AB AD 的值 是 。【解析】：法一：绕法：22。法二：特殊图形法 。7.(高考题)在 DABC 中， AB =2, AC =3 ， D 是边 BC 的中点，则 AD BC =。【解析】：法一：绕法： AD BC = 法二：特殊图形法。法三：投影法。1 1 2 2 5 2 2 2。8.(高考题)设四边形 ABCD 为平行四边形， AB =6 ， AD =4 ，若点 M , N 满足 BM =3 MC， DN =2 NC ，则 AM NM =( )A.20 B.15 C.9 D.6【解析】：法一：绕法：原式=AB +331 1 AD AB - AD3 4=9，选 C。法二：特殊图形法，ABCD 为矩形，建立直角坐标系。9.(2020 年新高考北京卷 13)已知正方形ABCD的边长为 2，点P满足AP =12( AB +AC )，则| PD |=；PB PD =【解析】：5，-1。【题型 3】：利用投影计算较简单。1.(高考题)如图,已知正六边形 PP P P P P1 2 3 4 5 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )A.PP , PP1 2 1 3B.PP , PP1 2 1 4C.PP , PP1 2 1 5D.PP , PP1 2 1 6【解析】：投影法：判断各个向量在 P P1 2上的投影大小，选 A。2.(2020 年新高考全国卷 I7)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A.( -2,6 )B.( -6,2 )C.( -2,4 )D.( -4,6 )【解析】：选 A。3.(高考题)在直角DABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 ( )BC= AC ABB.2 2 2 2 2 2 a 2 A.AC2 2=BA BCC.AB =AC CDD.CD =( AC AB ) ( BA BC ) AB【解析】：投影法：画出直角三角形，利用数量积几何意义(投影)，选 C。4.(高考题)在 Rt DABC 中， C =90， AC =4 ，则 AB. AC 等于 ( ) A.16 B.8 C.8 D.16【解析】：投影法：利用数量积几何意义(数量积)，选 D。5.(高考题)在平行四边形ABCD中，AP BD，垂足为P，AP =3，则AP AC= 。【解析】：投影法：利用数量积的几何意义，AP AC =AP 2AO(O为AC与BD交点)=2 AP =18。6.(高考题)已知向量 OA AB ， | OA |=3 ，则 OA OB =。【解析】：投影法： OA OB =OA =9。【题型 4】：求投影。秒杀策略：模两向量所成的角余弦=数量积/模。1.(高考题)已知向量a，b满足b =2，a与b的夹角为60 ，则b在a上的投影是 。【解析】：b在a上的投影是b cos60=1。2.(高考题)已知点A (-1,1)，B(1,2)，C(-2,-1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为 ( )A.3 2 3 15 3 2 3 15B. C. - D. -2 2 2 2【解析】：AB 在 CD 方向上的投影等于AB CD 3 2= ，选 A。 CD3.(高考题)设 e , e1 2为单位向量，且e , e1 2的夹角为p3，若a =e +3e ， b =2e 1 2 1，则向量 a 在 b 方向上的射影为 。【解析】： a 在 b 方向上的射影等于【题型 5】：数量积最值问题。( )a b e +3e 2e 5 = 1 2 1 =2e1。2,1( ) ( )( a a 0,BP BA| 秒杀策略：利用投影的直观性或转化为某变量的函数。1.(高考题)已知平面直角坐标系xOy上的区域D0 x 2 由不等式组 y 2给定，若M(x, y)为 D 上的动x 2 y点，点A的坐标为( )，则z =OM OA的最大值为 ( )A.4 2B.3 2C.4 D.3【解析】：投影直观法：利用数量积的几何意义（投影）可知当 M 为点(2, 2)时最大，选 C。2.(高考题)在平面直角坐标系中，已知A 1,0 , B 0, -1 ， P 是曲线 y = 1 -x2上的一个动点，则 BP BA 的取值范围是 。【解析】：坐标法：设P cosa,sin)， p， =2 sina+p+10,1+2。 4 3.(高考题)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为 ，DE DC 的 最大值为 .【解析】：投影直观法：利用数量积的几何意义， DE CB =DA 2=1，要使DE DC最大，即投影最大，此时E点与B点重合，射影为DC，所以最大值为 1。4.(2020 年新高考天津卷 15)如图，在四边形 ABCD 中， B =60,AB =3 ， BC =6 ，且AD =lBC ,AD AB =-32，则实数l的值为_，若M , N是线段BC上的动点，且| MN |=1，则 DM DN 的最小值为 。1 13 【解析】： ，6 2。