《表内乘法和表内除法》教材分析

在表内乘法（一）和表内除法（一）单元，我们已经初步教学了乘法和除法的含义，教学了 16 的乘法口诀。学生已经能够运用学习的口诀计算一位数乘一位数以及相应的除法，能够应用乘、除法解决简单的实际问题。本单元在上述知识技能的基础上编排，以 79 的乘法口诀为主要教学内容，使学生进一步领悟乘法和除法的意义，感受乘、除法之间的关系，进一步掌握乘法口诀，能够正确、迅速地口算表内乘、除法，并运用这些知识解决乘、除法的实际问题。全单元编排六道例题，教学内容的具体安排如下。例题教学内容练习编排例17 的乘法口诀例2 用 7 的口诀求商练习十一用 7的口诀求积，求商例38 的乘法口诀例4 用 8 的口诀求商练习十二用 8的口诀求积，求商例59 的乘法口诀用9 的口诀求商整理乘法口诀例6 连乘、连除、乘除混合练习十三用 9的口诀求积，求商练习十四练习全部乘法口诀单元复习整理全单元的内容，并进行练习从上表可以看到：全单元教学内容分成四段，依次是7 的乘法口诀、 8 的乘法口诀、 9 的乘法口诀、整理乘法口诀以及乘除两步计算。在教学全部乘法口诀以后，及时整理口诀并进行乘除两步计算，有助于学生掌握口诀，熟练进行表内乘、除法的口算。7、 8 的口诀把乘法计算和除法计算分开教学，分别编排例题；9 的口诀把乘、除计算结合起来，在同一道例题里教学。这是充分考虑学生实际情况的安排。7、 8 的乘法口诀比较多，记忆的难度较大，教学进度不宜过快。教学9 的口诀时，学生编口诀、用口诀的经验丰富了，把乘除计算结合起来教学，能体现乘法与除法的联系，有助于学生体会除法的意义。不编排例题教学乘、除法的实际应用，仍然在练习里安排学生解决乘、除法的实际问题。1 鼓励学生编乘法口诀，帮助他们记忆口诀。在教学 1 6 的乘法口诀时，已经安排学生参与编口诀和自主用口诀的活动，部分5 和 6 的乘法口诀让学生编出来。本单元继续教学乘法口诀，给学生留出了更大的主动学习空间。7、8、9 的乘法口诀，几乎都让学生自己编。编7、 8、 9 的乘法口诀的教学线索是：在现实情境里提出具体的问题，在表格里用加法解决问题，为编乘法口诀作铺垫把具体问题抽象成几个几相加的数学问题，写出乘法算式根据乘法算式编出相应的乘法口诀，写在教科书指定的地方。这样的线索和教学1 6 的口诀是一致的，有利于学生把学习 1 6 乘法口诀的经验迁移过来。为了培养学生的学习能力，发展数学思考，例 1、例 3 和例 5 在编写上也有一些变化。（ 1） 例 1 教学 7 的乘法口诀，像 2 6 的口诀那样，详细地展开了上述活动，使新、旧知识的教学很好地衔接，促进已有的学习活动经验迁移过来。例题提出的实际问题是摆1 只小船用7 个三角形，摆这样的2 只、3只 7 只小船分别要用多少个三角形。首先让学生在教材提供的表格中依次计算2个 7、3个77个7 相加的和，体会3个7比2个7多7、4个7比3个7多77个7比6个7多7。接着问学生“算三角形的个数时能想到什么”，把他们的心向引导到用乘法计算和编乘法口诀上面。然后依次抽象出数学问题 1 个 7、2 个 7 相加、 3 个 7 相加 7 个 7 相加，写成相应的乘法算式 1 7=7、 2 7=14 77=49，并根据乘法算式编出 7 的乘法口诀。这道例题的编写有两点应引起教学的注意：一是表格里的三角形个数以及乘法算式的积都要让学生填写，这是编乘法口诀不可缺少的资源，学生对这些资源的熟悉程度会直接影响口诀的编制。二是在编口诀之前，教材仍然写出 1 个 7、 2 个 7 相加 7 个 7 相加等数学问题，还给出相应的乘法算式，为学生顺利编出乘法口诀搭建了平台，把他们的精力集中到编口诀上面。（ 2） 例 3 教学 8 的乘法口诀，例 5 教学 9 的乘法口诀，教材提出实际问题以后，只给出 1 个几、 2 个几 8 个几、 9 个几的表格，没有写出相应的数学问题和乘法算式，要求学生看着解决实际问题的那张表格，直接编出8 或 9 的乘法口诀。从表面上看，似乎跳过了提取数学问题、写出乘法算式等环节。其实，这些环节都蕴含在看着表格编口诀的过程中。学生仍然要经历编乘法口诀的全部过程，只是数学思考的自主性得到了加强，思维的连贯性得到了锻炼，初步推理能力得到了培养。学生编出的口诀，可以先在小组里交流，再写到教科书上。交流能相互评价编出的口诀是否正确，并把正确的口诀写到教科书里。这样，通过交流也充实了编口诀的学习活动，有益于学生记住口诀。2 帮助学生记忆乘法口诀。7、8、9 的乘法口诀较多。许多口诀的得数较大，部分口诀较难记住。尤其是个别口诀之间还会相互干扰，增加了记忆的难度。因此，帮助学生记忆口诀是教学的一项任务，教材从多数学生的需要出发，采用了以下一些方法。（ 1） 利用计算题组，沟通相邻口诀之间的联系，帮助学生整体记忆口诀。配合例1 和例 3 的“想想做做”里，都有这样的计算题组。例如，3 7+7、 4 7 和 74； 48+8、58 和 85。还有这样的口答题，如 6 个 7 比 5 个 7 多几 ?7个 8 比 8 个 8 少几 ? 这些题都在沟通相邻乘法口诀之间的联系，使一句句口诀不是孤立的，而是相互联系的整体。学生理解了这层关系，就能由记住的口诀推算出没有记住的口诀。这样，那些难记的口诀就不是机械记忆，而是意义记忆，记忆效果会好许多。例如，“六七（）”这句口诀忘了，就通过“比5 个 7多 7”或“比7 个7 少7”，由口诀“五七三十五”或“七七四十九”推算出“六七四十二”。（ 2） 利用“几个9 相加的和（即几乘9 的积）比几十少几”这个规律，记忆9 的乘法口诀。配合例5 的“想想做做”第1 题，设计了一张表格，从上往下，第一行里是1 个9，比 10 少 1，是 9；第二行里是2 个 9，比 20 少（），是（）；第三行里是3 个 9，比 30 少（），是（）第九行里是 9 个 9，比 90 少（），是（）。教材希望学生从表格里发现规律，并利用规律记住 9 的乘法口诀。例如， 6 个 9 比 60 少 6，是 54，相应的乘法口诀是“六九五十四”。（ 3） 有计划安排背口诀。背口诀是记忆口诀的一种方法。乘法口诀是陆续教学的，学生应该像滚雪球那样，把新学习的口诀逐渐积累在已记住的口诀上，既温故又纳新，记忆效果比较好。在表内乘法（一）里，学生能够有序地背出16 的乘法口诀，教学7 的口诀以后，教材要求学生从“一一得一”背到“七七四十九”。教学8 的口诀以后，要求学生从“一一得一”背到“八八六十四”。大多数学生像这样背口诀，当学习9 的口诀以后，就把全部乘法口诀都记住了。（ 4） 整理所有的乘法口诀，有针对地加强记忆。教学 9 的口诀以后，教材把所有的乘法口诀整理在一张表格里，这张表格就是“乘法口诀表”。呈现的口诀表里，已经写出了一些乘法口诀，留出部分空格，让学生填写口诀，把口诀表补充完整，并利用口诀表安排了许多活动。 发现口诀表里的排列规律，有序地背口诀。学生填写乘法口诀表，需要了解表格里口诀的排列规律。竖着看，从左往右第一列是“一几”的口诀共九句，第二列是“二几”的口诀共八句第九列是“九几”的口诀一句。横着看，从上往下第一行是 1 的乘法口诀一句，第二行是2 的乘法口诀共两句第九行是9 的乘法口诀共九句。有序地背可以竖着背、横着背或者拐弯背。即从左到右一列一列地背，从上到下一行一行地背，或者先横背再拐弯背接着竖背。拐弯背对计算除法最有好处，尤其是计算有余数除法，有助于找到商。 任意指着一句乘法口诀，说出乘法算式和除法算式。乘法口诀的作用在于口算表内乘、除法，正确、迅速地口算表内乘、除法是小学数学教学的最基本的要求。学生看到表内乘、除法算式，应该立即想到有关的乘法口诀；看到乘法口诀，应该立即想到它能算哪些乘、除法式题。有些乘法口诀只能计算一道乘法算式和一道除法算式，有些乘法口诀能算两道乘法算式和两道除法算式。学生应该逐步熟悉这些内容。根据一句乘法口诀，说出两道（或一道）乘法算式以及两道（或一道）除法算式，还能从中体验乘法与除法的内在联系。学生获得这种认识，他们的除法概念也就深刻了一层。 寻找得数相同的口诀（算式）。有些乘法口诀的得数相同，它们往往会相互干扰，影响学生的记忆和计算。例如，三四十二和二六十二，四四十六和二八十六，三六十八和二九十八，四六二十四和三八二十四，六六三十六和四九三十六等。教材设计了 36、 16 =等开放性习题，让学生通过补充算式，强化对有关乘法口诀的辨析和记忆。3 引导学生主动应用口诀，熟练进行表内乘、除法的计算。在教学 1 6 的乘法口诀时，学生初步获得了利用口诀计算乘法和除法的经验。本单元教学 7、 8、9 的乘法口诀，要让学生应用已有的计算经验，主动进行乘、除法计算，获得新的计算知识与体验，提高计算能力。（ 1） 主动计算表内乘法。本单元继续教学表内乘法时，与“表内乘法（一）”一样，不专门编排应用乘法口诀计算乘法的例题。事实上，例 1 根据 1 7=7、2 7=14 7 7=49 编出 7 的乘法口诀，意味着 7 的乘法口诀可以计算这些“几乘 7”的乘法式题。接着例题安排的“想一想”让学生计算71、7 2、 73 等题，体现了 7 的乘法口诀还可以计算“7 乘几”的乘法式题。例题和“想一想”的内容综合起来，就能知道“几乘7”和“ 7 乘几”都用7 的乘法口诀计算。上述的计算和相关体验，教材都留给学生，让他们主动学习用口诀算乘法。例 3 教学 8 的乘法口诀，学生根据几个 8 相加的表格编出口诀以后，“想一想”让他们计算 3 8 和 85，体会 8 的乘法口诀可以计算“几乘8”或“ 8 乘几”。这两道例题后的“想想做做”第3题，都是根据一句乘法口诀，说出两道乘法算式的练习题。这些题，不仅让学生知道7、 8 的乘法口诀可以计算7、8 的乘法，还知道一句口诀通常能算两道乘法式题。（ 2） 主动计算表内除法。例 2 教学用 7 的口诀求商。教材用28 朵花扎花环这个题材，提出“每7 朵扎成一个花环，可以扎几个 ?”和“扎 4 个花环，平均每个花环有几朵花 ?”这两个问题，列出两道除法算式，分别计算 287 和 284。教材提示学生通过想乘法口诀“（）七二十八”和“四 （）二十八”来求商，重温用口诀求商的思考方法，体会除数是几，就要想与几有关的口诀。计算 28 7 可以依次想“一七”“二七”“四七二十八”，计算 28 4 可以依次想“一四”“二四”“四四”“四五”“四七二十八”。这两道除法是用同一句口诀计算的。例 4 教学用 8 的口诀求商，要求学生根据16 厘米花边“平均剪成2 段，每段长多少厘米 ?平均剪成 8 段，每段多少厘米 ?”这些问题，列出除法算式并计算，并和同学交流求商的思考过程。这样的安排，比例 2 提高了要求，学生独立思考的成分比前面大了许多。配合例 2 和例 4 的“想想做做”第 1 题，都是先算一道乘法，再算两道除法的题组。例如， 67、426、42 7，38、243、24 8 等。第 2 题都是根据一句乘法口诀说出两道除法算式。学生已经熟悉这些练习形式，能够从中反复体会乘法与除法的联系，体会乘法口诀求商的要领。例 5 把 9 的口诀算乘法和算除法计算结合起来教学，随后的“试一试”要求学生同时计算 2 9、 9 2、182、 189，体会计算这些题目用了同一句口诀。虽然这是他们第一次同时计算乘法和除法，但学生是有基础的。因为前面已经有一句口诀算两道乘法或者算两道除法算式的经验，还有从乘法算式得出除法算式的体验，大多数学生在这里是能够用一句口诀同时计算四道算式的。（ 3） 培养细心计算的习惯。29=18 与 9 9=81，两题的积的个位和十位上的数刚好换了位置。39 与 8 9、49 与 79、 5 9 与 69 也是这样。这种现象既有趣，也容易给计算造成错误。为此，练习十三特地设计了四个题组：279 和 729，369 和 639，459 和 549，18 9 和 81 9。意图是帮助学生记住9 的乘法口诀，细心选择口诀，正确进行计算。表内乘除法和加减法口算有时也会相互干扰。如计算4+2、4-2、 42、42，稍不留神就会出错。其主要原因不在知识上，而在对运算符号的识别与区分上。为此，教材里有这些安排：在表内乘除法的练习题里适量插入加减法题目；编排像82和 8 2 的题组。这些安排的目的是促使学生克服思维定势，培养认真读题的习惯，锻炼感知的灵敏性。（ 4） 结合计算探索规律。教材编排了两道蕴含着规律的计算题。一道是练习十一第6 题（教材第74 页），给出三个题组：44 和 3 5+ 、 55和 4 6+1、 66 和 5 7+1，要求学生算一算、比一比。算出各题的得数，发现同组两题得数相同，是教材的基本要求。如果让有兴趣的学生进行如下操作，体会同组两题的得数相同是合理的，就更好了。给出 16 个同样的小方块，如果每行4 个，刚好 4 行拼成一个正方形。如果每行5个， 3 行拼成一个长方形，还剩 1 个小方块。这样拼图形的过程能够表明4 4=35+1。给出 25 个同样的小方块，如果每行5 个，刚好 5 行拼成一个正方形。如果每行6个， 4 行拼成一个长方形，还剩 1 个小方块。这样拼图形的过程能够表明5 5=46+1。另一道是单元复习第 4 题（教材第87 页），给出三个图形，每个图形下面是两个算式，分别是 1+3 和 22、 1+3+5 和 3 3、 1+3+5+7 和 4 4。学生结合图形理解算式的意思，能够体会同组两题的得数应该相同。每行 2 个小方块， 2 行拼成的正方形里，一共有2 2 个小方块，或者有1+3 个小方块（ 1 个白色的方块和 3 个蓝色方块合起来）。每行 3 个小方块， 3 行拼成的正方形里，一共有3 3 个小方块，或者有1+3+5 个小方块（ 1 个白色的方块、 3 个淡蓝色方块和5 个蓝色方块合起来）。需要再次说明的是，教材对这两题的基本教学要求是学生通过计算发现同组两题的得数相同。结合图形体会其合理性，是部分学生可以达到的程度。至于题组里的规律，不作为基础知识，不要求学生掌握和运用。4 教学乘除法的两步混合运算。在整理乘法口诀，学生较好地掌握表内乘、除法的基础上，例6 和其后的“试一试”教学连乘、连除和乘除混合两步计算，使学生了解运算顺序，更好地用乘法口诀求积、求商。学生有加、减两步计算的经验，从左往右依次计算乘除法的两步混合运算，一般不会有问题。尽管这样，教材还是十分重视运算顺序的教学，希望学生初步掌握。因为后面的教科书，不再专门教学加减两步计算和乘除两步计算了。例题把算式 23 4 里的“ 2”和“ 3”用线连起来，写出“ 6”，表示先算 2 乘 3 得 6；把“ 6”和“ 4”用线连起来，表示再算 6 乘 4 得 24。这些就是教学连乘的运算顺序。同样，教学连除和乘除混合，教材也把算式前两个数用线连起来，表示先算这一步；把第一步计算的结果和算式的第三个数用线连起来，表示再算这一步。配合例 6 的“想想做做”第1 题，把三道相关的算式编成题组。例如，3 3、 95和 3 3 5，24 4、68 和 24 4 8 等。学生从上往下依次计算同组的三道题，能感受到第三个算式的计算是连续进行前两个算式的计算，这也是对“从左往右依次计算”顺序的体验。练习十四第 3 题，把乘除混合运算和加减混合运算综合起来，它们都是从左往右依次计算，这就形成了比较概括的同级运算混合的运算顺序。教学两步计算，利用第一步计算的结果进行第二步计算，是教学的重点，也是难点。它既体现了运算顺序，也是容易出错的地方。尤其是只写出最后的得数，不写出计算的过程，学生很容易忘记第一步算出的是什么。为此，例6 和“试一试”把第一步计算的结果写在算式的下面，让学生看着第一步计算的结果算第二步。在初步学习两步计算时，可以鼓励学生像这样做，因为这能有效地避免错误。但要注意逐步提高要求，引导学生把第一步计算的结果记在头脑里，再利用这个数进行第二步计算。5 在计算教学的同时，注意培养学生解决实际问题的能力。本单元编排了许多实际问题，让学生应用学习的7、 8、 9的乘除法计算解决这些问题。（ 1） 以下几种情况是前面教材里出现过的。 用图画、对话、文字叙述等形式呈现的乘、除法一步计算的问题。有些是单独的一道题，有些是相关的几道题组成的题组。解答单独的一道题，思考重点在于提取题目里的“几个几相加”或“平均分”等数学问题，根据数学问题选择计算方法。解答题组，不仅要分析各道题的数量关系，还要体会各道题之间的关系，感受“几个几相加”问题与“平均分”问题可以相互改编。如：7 组小朋友做游戏，每组4 人，一共有多少人 ?28个小朋友做游戏，每4 人分一组，可以分成多少组 ?28个小朋友做游戏，平均分成7 组，每组有多少人 ?这一组题都是“组数”“每组人数”和“一共的人数”三个数量。已知“组数”和“每组人数”，可以求“一共的人数”；已知“一共的人数”和“组数”，可以求“每组人数”；已知“一共的人数”和“每组人数”，可以求“组数”。 改变连续两问的呈现结构。过去，连续两问题目的结构大多是：条件1、条件2、问题 1，条件 3、问题 2。本单元里的连续两问题目结构大多是：条件1、条件2、条件 3，问题 1、问题 2。如教材第79 页练习十二第5 题：17 个男同学和15 个女同学到校外参加义务劳动，每的一共有多少人 ?一共分成了几组?8 人分为一组。参加义务劳动无论是解决第一问还是解决第二问，都要从三个已知条件里选择需要的条件，这能让学生感受条件和问题之间的关系，是以后形成解题思路的重要基础。 呈现大情境，解决多个问题。在一幅图画里给出许多数学信息，由教材提出或者鼓励学生提出不同的问题，并分别解答。如教材第88 页单元复习第9 题：图画呈现1 袋饼干的价钱是4 元， 1 块巧克力的价钱是9 元， 1 个蛋糕的价钱是5元， 1 包水果糖的价钱是6 元。小红买一种食品正好用去18 元。她买的可能是什么?买了多少 ?解决这个问题，其实是解决四个问题： 18 元能刚好买几袋饼干吗 ?能刚好买几块巧克力吗 ?能刚好买几个蛋糕吗 ?能刚好买几包水果糖吗 ?大情境问题，有利于培养学生提出问题的能力，发展按数量及其关系收集和整理数学信息的能力，引导思维的多向性和发散性。（ 2） 新出现的解决实际问题的题型，应该加以重视。 用直条图呈现题目。画线段图是数学教学经常采用的方法，不仅教师的教要利用它，学生的学也需要它。学生学会使用线段图有一个过程，一般先接触直条图，再逐步简化成线段图。他们接触直条图，一般先看图、识图，再画图、用图。直条图有其直观的一面，它毕竟是图，表达的意思比文字形象。直条图也有其抽象的一面，它用直条代替具体的对象，比实物、情境图里的非数学信息少许多。所以，让二年级学生开始接触直条图是比较合适的。例如，本单元例3 后的“想想做做”第 6 题（教材第 77 页），用一段直条表示3 个，求 8 段这样的直条一共有多少个。又如，单元复习的第 6 题，用一根直条表示45 个皮球，把这根直条平均分成5份，求 1份表示多少个皮球。教材要求学生看图说说其中的条件和问题，这就是帮助他们识图。学生用自己的语言说出图意，找到图中的已知数据和所求问题，整理这些信息，完整、有序地表达出来，也就形成了一道用语言表达的实际问题。 为解决问题选择条件或补充条件。解决问题需要条件，具备了条件就能解决问题。善于把握条件与问题之间的相关性，是形成解决问题能力的重要标志。应该看到，学生在解决每一个实际问题时，都在体验这种相关性。教材为此而专门设计一些练习，这是必要的。配合乘法口诀表的“想想做做”第 4 题（教材第 84 页）就是典型的例子。这道题给出的已知条件是：张大伯种了 8 行青椒和 6 行茄子，青椒每行有9 棵。要解决的问题是：一共种了多少棵青椒?一共种了多少棵茄子 ?解决“一共种了多少棵青椒”这个问题，学生应分类整理题目的三个已知条件，发现所需要的条件已经具备，并选择与青椒有关的一组对应数据种青椒的行数和每行青椒的棵数，求出青椒的总棵数。解决“一共种了多少棵茄子”这个问题，学生在整理已知条件时，发现只有种茄子的行数，缺少每行茄子的棵数，还不能计算茄子的总棵数。于是明白教材提问“需要补充什么条件”的原因，并补充这个条件，使问题得到解决。还要说明的是，学生理解直条图的图意，学会使用直条图是一个较长的过程；他们学会整理实际问题里的条件和问题，把握其中的相关性，也是一个较长的过程。以后的教材里还会注意这些内容的安排。使用教材组织教学。应该注意到这些编排，理解其意图，明白其要求，不仅教学这几道题目，而且教学蕴含其中的数学思想方法，从根本上培养学生解决问题的能力。