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2.5平面向量应用举例25.1平面几何中的向量方法一、基础过关1 在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B.C3 D.2 点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点3 已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是()A30 B45C135 D1504 若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是 ()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形5 已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于()A2 B.C3 D6 过点(1,2)且与直线3xy10垂直的直线的方程是_7 已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5.则_.8 如图所示，若ABCD为平行四边形，EFAB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MNAD.二、能力提升9 已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰(非等边)三角形 D等边三角形10在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|2，则_.11求证：ABC的三条高线交于一点12三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：ADBFDC.三、探究与拓展13. 如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC.答案1B2.D3.B4.B5.C 6x3y707.258证明EFAB，NEFNAB，设(1)，则，(1)，同理，由，可得(1)，(1)，1，令1，ADMN.9D 10.11证明如图所示，已知AD，BE，CF是ABC的三条高设BE，CF交于H点，令b，c，h，则hb，hc，cb.，(hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b整理得h(cb)0，0，AHBC，与共线AD、BE、CF相交于一点H.12证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F点在AC上，则，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，F，(0,1)，又|cos cos ，cos ，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosFDC，故ADBFDC.13证明设PC，并设ABC的边长为a，则有PPDCB(BB)B(21)BB，又EBB.PE，(21)Bkk.于是有：解得，.PC.BBCBB.CBB.从而BC(BB)(BB)a2a2a2cos 600.
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