《锐角三角函数》全章复习测试题知识点(学生版)

让更多的孩子得到更好的教育锐角三角函数全章复习【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；3通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在ABC中，C=900，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”，但不能写成sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出sinBAC.让更多的孩子得到更好的教育(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样，cosA、tanA也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是0A90，函数值的取值范围是0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”若A+B=90，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函数值A304560sinAcosAtanA1二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即让更多的孩子得到更好的教育三、解直角三角形的应用1.解这类问题的一般过程(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：让更多的孩子得到更好的教育注：1解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤由求A，两直角边(a，b)B=90A，两边由求A，ABC斜边，一直角边(如c，a)B=90A，B=90A，锐角、邻边一边一角一直角边和一锐角(如A，b)锐角、对边(如A，a)，B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A，【典型例题】类型一、锐角三角函数1(1)如图所示，P是角的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sin()A344BCD2555例1（1）图例1（2）图让更多的孩子得到更好的教育(2)在正方形网格中，AOB如图所示放置，则cosAOB的值为()A.5251B.C.D.25522在ABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值是()A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变举一反三：1、已知，如图，D是DABC中BC边的中点，BAD=90，tanB=ABDC23，求sinDAC2、已知，如图，DABC中，CEAB，BDAC，DE2=，求cosA及tanABC5CDAEB、如图所示，已知ABC是O的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明abc=sinAsinBsinC类型二、特殊角三角函数值的计算3先化简，再求代数式1-3x2-1x+2x+2-的值，其中x=4sin452cos60让更多的孩子得到更好的教育-)b2+3+1b-c0=4已知a3，且(4tan452，则以a、b、c为边长的三角形面积等于()A6B7C8D9举一反三：计算：1、tan230cos230sin245tan452、tan60-tan45tan60tan452sin60类型三、解直角三角形5如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DEAB，垂足为E，sinA=个（）35，则下列结论正确的DE3cm；BE1cm；菱形的面积为15cm2；BD210cmA1个B2个C3个D4个举一反三：1D如图所示，在等腰ABC中，C90，AC6，是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为()5A2B3C2D1类型四、锐角三角函数与相关知识的综合6如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED45(1)试判断CD与O的关系，并说明理由(2)若O的半径为3cm，AE5cm求ADE的正弦值如图所示，直角ABC中，C90，AB25，sinB55让更多的孩子得到更好的教育，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP，(1)求AC，BC的长；(2)设PC的长为，ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值举一反三：1、如图，C、D是半圆O上两点，DCCD5=，求cosCEB和tanCEBAB11EABO类型五、三角函数与实际问题8如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)让更多的孩子得到更好的教育9为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE的长为20cm，点A、C、E在同一条直线上，且CAB75，如图所示(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm，参考数据：sin750.959，cos750.2588，tan753.7321)巩固练习（一）一、选择题1如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sin等于（）让更多的孩子得到更好的教育yP(a,b)baa2+b2D.图（1）AabaBCba2+b2Oax2如图，在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）3434A.BCD4355A3在ABC中，C=90，sinA=513，则sinB等于（）BC121355ABCD图（2）131212134在ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA的值是（）15B.A1514C.13D.1545如图，在ABC中，C=90，AB=10，sinB=25，BC的长是（）AA221B.4C.21D.C21B506.已知sina+cosa=m，sinacosa=n，则m，n的关系是（）Am=nBm=2n+1Cm2=2n+1Dm2=1-2n7.在直角三角形ABC中，A为锐角，且cosA=1，那么（）4A0A30B30A45C45A60D60ABC，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F，CD=4AB=10，则EF：AF等于（）2D.A155BC25255312.已知：ABC中，C=90，cosA=，AB=15，则AC的长是（）5A3B6C9D1213.下列各式中不正确的是（）Asin260+cos260=1Bsin30+cos30=1Csin35=cos55Dtan45sin4514.计算2sin30-2cos60+tan45的结果是（）A2B3C2D115.已知A为锐角，且cosA12，那么（）A0A60B60A90C0A30D30A60时，cosa的值（）123，cosB=，则ABC的形状是（）222D大于1A小于113B大于C大于218.已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是3,则CAB等于（）A30B60C45D以上都不对二、解答题19已知ABC等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值让更多的孩子得到更好的教育20.已知sin，cos是方程4x2-2（1+3）x+3=0的两根，求sin2+cos2的值2，BC=23，则AC等于（巩固练习（二）一、选择题1如图所示，在ABC中，tanB=3A3B4C43D62已知a为锐角，则m=sina+cosa的值（）Am1Bm1Cm1Dm1）3如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ACAB，ADCD，cosDCA4A3B6C8D95，BC10，则AB的值是()4如图所示，在菱形ABCD中，DEAB，cosA=3第1题图第3题图第4题图5，tanDBE的值是()A.12D.52B.2C.554B4A33C3EF5如图所示，在四边形ABCD中，、分别是AB、AD的中点，若EF2，BC5，CD3，则tanC等于()45D56已知ABC中，C90，sinB=32B2A12C2第5题图第7题图2，则cosA的值为（33D3）A5cos米B59计算：-|-2+3tan45|+(2-1.41)0=_让更多的孩子得到更好的教育7如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()5米C5sina米D米cosasina8等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）A30B50C60或120D30或150二、填空题1-1310如图所示，已知ABC中，斜边BC上的高AD4，cosB=45，则AC_11如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到ABC，使点B与C重合，连接AB，则tanABC的值为_第10题图第11题图第12题图12如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC3米，cosBAC=34，则梯子长AB_米13.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么tanBAD等于_第13题图第15题图14一次函数经过(tan45，tan60)和(-cos60，-6tan30)，则此一次函数的解析式为_15如图所示，在ABC中，ACB90，CD是AB边的中线，AC6，CD5，则sinA等于_16已知2+1是方程x2-(3tanq)x+2=0的一个根，是三角形的一个内角，那么cos的值为_三、解答题17.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45求路况显示牌BC的高度让更多的孩子得到更好的教育18如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC8，B60，BC12，连接AC(1)求tanACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长19如图所示，点E、C在BF上，BEFC，ABCDEF45，AD90(1)求证：ABDE；(2)若AC交DE于M，且AB3，ME2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角ECG的度数20.如图所示，AB是O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与O相切于点D，弦DFAB于点E，线段CD10，连接BD(1)求证：CDE2B；(2)若BD:AB3:2，求O的半径及DF的长让更多的孩子得到更好的教育巩固练习（三）一、选择题1.计算tan60+2sin452cos30的结果是()A2B3C2D1如图所示，ABC中，AC5，cosB=223，sinC=，则ABC的面积是()5A212B12C14D213如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为()A1112BCD3244第2题图第3题图第4题图4如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD30，在C点测得BCD60，又测得AC50米，那么小岛B到公路l的距离为()A25米B253米C10033米D25+253米5如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为()A10cmB20cmC30cmD35cm6如图所示，已知坡面的坡度i=1:3，则坡角a为()A15B20C30D45第5题图第6题图第7题图7如图所示，在高为2m，坡角为30的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为()A4mB6mC42mD(2+23)m8因为sin30=1，sin210=-，所以sin210=sin(180+30=-sin30；因为sin45=，A-1让更多的孩子得到更好的教育12)222=+)sin225-2，所以sin225sin(18045=-sin45，由此猜想，推理知：一般地，当a为2锐角时有sin(180+a)-sina，由此可知：sin240()23B-C-D-3222二、填空题=，则cosCEB=；tanCEB=9如图，若AC、BD的延长线交于点E，CD5AB1113.已知sina-=-sina，则锐角a的取值范围是_10如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，则AD的长为；CD的长为.ECDABO第9题图第10题图第11题图11如图所示，已知直线llll，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶1234点分别在四条直线上，则sina=_12如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是ABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为_1212214.在ABC中，AB8，ABC30，AC5，则BC_15.如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC的余弦值为.第15题图第16题图16.如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为.(2)CDE的正切值为.让更多的孩子得到更好的教育三、解答题17如图所示，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，BOE60，cosC1，BC232(1)求A的度数；(2)求证：BC是O的切线；(3)求MD的长度18.如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60方向上(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：31.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25，则原计划完成这项工程需要多少天?让更多的孩子得到更好的教育19如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：ACCDPCBC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S20.如图所示，在ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点，使PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由