高考数学总复习第二轮数列PPT课件

2021/7/231高考数学总复习（第二轮）高考数学总复习（第二轮）第第2讲讲 数列数列2021/7/232一、基本知识归纳一、基本知识归纳1、一般数列、一般数列数列的通项公式数列的通项公式 数列的前数列的前n项和项和)2()1(111nSSnSaannnnnaaaaS+3212021/7/2332、等差数列、等差数列 等差数列的概念等差数列的概念定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。表示。等差数列的判定方法等差数列的判定方法1 定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若 ，则数列是等差数，则数列是等差数列列 2等差中项：对于数列等差中项：对于数列an，若，若 则数列是等差数则数列是等差数列列 daann+1212+nnnaaa2021/7/234 等差数列的通项公式等差数列的通项公式如果等差数列的首项是如果等差数列的首项是a1，公差是，公差是d，则等差数列的通项为则等差数列的通项为 说明说明该公式整理后该公式整理后an是关于是关于n的一次函数。的一次函数。dnaan)1(1+等差数列的前等差数列的前n项和项和 1 2.说明说明对于公式对于公式2整理后整理后an是关于是关于n 的没有常数项的二次函数的没有常数项的二次函数 2)(1nnaanS+dnnnaSn2)1(1+2021/7/235 等差中项等差中项如果如果a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等的等差中项。即：差中项。即：2A=a+b 或或 说明说明：在一个等差数列中，从第：在一个等差数列中，从第2项起，每一项项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项与其等距离的前后两项的等差中项 2baA+2021/7/236等差数列的性质等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系等差数列任意两项间的关系：如果：如果 是等差数列是等差数列的第的第 项，项，是等差数列的第是等差数列的第 项，且项，且 ，公差为公差为 ，则有，则有 nanmamnm ddmnaamn)(+2.对于对于等差等差数列数列 ，若，若 ，则则 naqpmn+qpmnaaaa+2021/7/2373若数列若数列 是等差数列，是等差数列，是其前是其前n项的和，项的和，那么，那么 ，成等差数列成等差数列 nanS*Nk kSkkSS2kkSS234若等差数列若等差数列an的前的前2n-1项的和为项的和为 ，等差，等差数列数列 的前的前2n-1 项的和为项的和为 ，则则 12 nS nb12 nS1212nnnnSSba2021/7/2385设数列设数列 是等差数列，是等差数列，是奇数项的和，是奇数项的和，是偶数项的和，是偶数项的和，是前是前n项的和，则有如下性质：项的和，则有如下性质：na奇S偶SnS1.前前n项的和项的和偶奇SSSn+2.当当n为偶数时，为偶数时，其中，其中d为公差为公差 d2nS奇偶S3.当当n为奇数时，则为奇数时，则 ，（其中（其中 是中间一项是中间一项)中偶奇aSS中奇a21nS+中偶a21nS11SS+nn偶奇中a2021/7/2393、等比数列、等比数列 等比数列的概念等比数列的概念定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示表示(q0)。等比数列的判定方法等比数列的判定方法1 定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若 ，则数列，则数列an是等比数列。是等比数列。2等比中项：对于数列等比中项：对于数列an，若，若 ，则数列，则数列an是等比数列是等比数列)0(1+qqaann212+nnnaaa2021/7/2310 等比中项等比中项如果在如果在a与与b之间插入一个数之间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。也就是，如果也就是，如果G是是a,b的等比中项，那么的等比中项，那么 ，即即 。GbaGabG2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式如果等比数列如果等比数列an的首项是的首项是a1，公比是，公比是q，则等比数列的通，则等比数列的通项为项为 11nnqaa 等比数列的前等比数列的前n项和项和 当当 时时)1(1)1(1qqqaSnn)1(11qqqaaSnn1q1naSn2021/7/2311 等比数列的性质等比数列的性质1等比数列任意两项间的关系等比数列任意两项间的关系：如果：如果 是等是等比比数数列的第列的第m项，项，是等比数列的第是等比数列的第n项，且项，且 ，公公比比为为q，则有，则有2.对于对于等比等比数列，若数列，若 ，则，则 namanm mnmnqaavumn+vumnaaaa3若数列若数列an是等是等比比数列，数列，Sn是其前是其前n项的和，那项的和，那么么 ，成等成等比比数列数列 kSkkSS2kkSS232021/7/2312二、基本方法总结二、基本方法总结1.1.求数列通项的基本方法求数列通项的基本方法 (1)求等差，等比数列的通项求等差，等比数列的通项)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn(2)求一般数列的通项求一般数列的通项 2021/7/2313(3)求递推数列的通项求递推数列的通项 1。通过适当化归，转换成等比数列或等差数列。通过适当化归，转换成等比数列或等差数列 11320nnnaaa+112()nnnnaaaa+11211,10,314nnnnaaaaaa+1113nnaa2。通过选择适当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值。通过选择适当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值)(1nncbc1nncbcm+2021/7/2314342021/7/23155。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的结论结论 已知数列中已知数列中 =，(1)计算计算 （2）猜想通项公式，并且数学归纳法证明）猜想通项公式，并且数学归纳法证明 1a35121nnnaaa+34,a a2021/7/23162、数列求和的基本、数列求和的基本方法方法 一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法法.1、等差数列求和公式：、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式：3、dnnnaaanSnn2)1(2)(11+)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn)1(211+nnkSnkn)12)(1(6112+nnnkSnkn2021/7/2317二、错位相减法求和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的方法，这种方法主要用于求数列bncn的前的前n项和，其中项和，其中 bn、cn 分别是等差数列和等比数分别是等差数列和等比数列列 所以有所以有 nnnnncbcbcbcbS+1122111 22111nnnnnnnqSbcbcbcb c+13211)()1(+nnnncbdccccbSq2021/7/2318三、反序相加法求和三、反序相加法求和这是推导等差数列的前这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到与原数列相加，就可以得到n个个 )(1naa+nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210+89sin88sin3sin2sin1sin22222+2021/7/2319四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可然后分别求和，再将其合并即可 求数列的前求数列的前n项和：项和：231,71,41,1112+naaan求数列求数列(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和 2021/7/2320五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的的目的 nnnnan+111111)1(1+nnnnan)2)(1(1)1(121)2)(1(1+nnnnnnnan)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan+2021/7/2321六、合并法求和六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.求求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值的值.数列数列an：，求，求S2005 nnnaaaaaa+12321,2,3,12021/7/2322七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前揭示的规律来求数列的前n项和项和 1111.111111111个n+.+)110(919999.91111191kkk个个2021/7/2323若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量基本量”.设设an是公比为是公比为q的无穷等比数列的无穷等比数列,下列下列an的四组量中的四组量中,一一定能成为该数列定能成为该数列“基本量基本量”的是第的是第 组组.(写出所有符合要写出所有符合要求的组号求的组号)S1与与S2;a2与与S3;a1与与an;q与与an.其中其中n为大于为大于1的的整数整数,Sn为为an的前的前n项和项和.（、）例例1三、基本问题练习三、基本问题练习2021/7/2324定义定义“等和数列等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且且 ，公和为，公和为5，这个数列的前，这个数列的前21项和的值为项和的值为 _这个数列的前这个数列的前n项和的计算公式为项和的计算公式为_ _ a12当当n为偶数时，为偶数时，当当n为奇数时，为奇数时，Snn52Snn5212例例22021/7/2325例例32021/7/2326例例42021/7/2327已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n满足：满足：S Sn n=2a=2an n+(-1)+(-1)n n,写出求数列写出求数列 a an n 的前的前3 3项项a a1 1,a a2 2,a a3 3；求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；例例52021/7/2328已知数列已知数列 ，且，且a2k=a2k1+(1)k,a2k+1=a2k+3k,其其中中k=1,2,3,（I）求）求a3,a5；（；（II）求）求 an的通项公式的通项公式 11aan中例例6所以所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1)由此得由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是于是a2k+1=2321.1)1(21231+kkan的通项公式（的通项公式（略略）()a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k所以所以 a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k同理同理 a2k-1-a2k-3=(-1)k-1+3k-1 a3-a1=3+(-1)2021/7/2329四、综合问题选讲四、综合问题选讲在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点数列在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在一起，成为高考命题的热点一起，成为高考命题的热点 2021/7/23302021/7/2331 21444244444424444242444424124121212121212121212121+xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy2021/7/2332+mmfmmfmmfmfmfSm1221由（）可知：恒成立 21+mnmfmnf2021/7/23332021/7/2334