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第八章 专题拓展 8.4 类比拓展探究型,中考数学 (福建专用),解答题 1.(2018乌鲁木齐,22,10分)小明根据学习函数的经验,对函数y=x+的图象与性质进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)函数y=x+的自变量x的取值范围是; (2)下表列出了y与x的几组对应值,请写出m,n的值:m=,n=;,专题检测,好题精练,(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象; (4)结合函数的图象,请完成: 当y=-时,x=; 写出该函数的一条性质:; 若方程x+=t有两个不相等的实数根,则t的取值范围是.,解析(1)x0.(1分) (2);.(3分) (3)图略.(4分) (4)-4或-.(6分) 答案不唯一,如“图象在第一、三象限且关于原点对称”;“当-1x1时,y随x的增大而增大”,等等.(8分) t2或t-2.(10分),思路分析(1)由分母不为零可得x的取值范围.(2)由代入法计算即可.(3)根据描出的点画出图象即可.(4)由代入法计算即可.答案不唯一,从对称性、单调性等方面思考.利用数形结合思想,方程有两个不相等的实数根等价于函数y=x+的图象与函数y=t的图象有两个不同的 交点.(提示:由函数图象可知x0时在x=1处y取得最小值2,要使函数y=x+的图象与函数y=t的 图象有两个交点,则t2,由对称性可知t-2也符合.),2.(2018河南,22,10分)(1)问题发现 如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空: 的值为; AMB的度数为. (2)类比探究 如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直 接写出当点C与点M重合时AC的长.,解析(1)1.(1分) 40.(注:若填为40,不扣分)(2分) (2)=,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: AOB=COD=90,OAB=OCD=30,=, 又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD. AOCBOD.(6分) =,CAO=DBO. AOB=90,DBO+ABD+BAO=90. CAO+ABD+BAO=90.AMB=90.(8分) (3)AC的长为2或3.(10分),【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即=,AMB=90. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析(1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD, AMB=AOB=40;(2)证明AOCBOD,得=,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋 转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据=得出AC的长.,方法规律本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据=,再求出AC的两个值.,3.(2017四川成都,27,10分)问题背景:如图1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于点D,则D为BC的中点,BAD=BAC=60,于是=; 图1 迁移应用:如图2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD. 图2,求证:ADBAEC; 请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式; 拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF. 图3 证明:CEF是等边三角形; 若AE=5,CE=2,求BF的长.,解析迁移应用 证明:ABC和ADE都是等腰三角形, AD=AE,AB=AC, 又DAE=BAC=120, DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC. ADBAEC(SAS). DC=AD+BD. 详解:由问题背景可知,在ADE中,有DE=AD, 由可知,BD=EC, DC=DE+EC=AD+BD. 拓展延伸 证明:如图所示,连接BE.,C,E关于BM对称, BE=BC,FE=FC,EBF=CBF,EFB=CFB, 四边形ABCD是菱形,且ABC=120, AB=BC=BE. 过B作BGAE,则AG=GE,ABG=GBE, GBF=GBE+EBF=ABC=120=60. CFB=EFB=30,即EFC=60. CEF为等边三角形. AE=5,GE=GA=,EF=CE=2,GF=GE+EF=, 在RtGBF中,GFB=30, BF=3.,思路分析迁移应用:根据SAS证全等.由问题背景可知,DE=AD,由可得,EC=BD, DC=DE+EC=AD+BD. 拓展延伸:要证明CEF为等边三角形,根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只需证明EFB=30即可.在的基础上,易得GE=AE=,EF=2,则GF=GE+EF=.在Rt GBF中,BF=3.,4.(2016四川达州,24,10分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF. (1)观察猜想 如图,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为. BC,CD,CF之间的数量关系为(将结论直接写在横线上); (2)数学思考 如图,当点D在线段CB的延长线上时,结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明; (3)拓展延伸 如图,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2,CD=BC,请求 出GE的长.,解析(1)BCCF.BC=CD+CF. (2)结论仍然成立,不成立. 证明:BAC=DAF=90, BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF, ABDACF. ACF=ABD=180-45=135. ACB=45, BCF=90,即BCCF. 结论为BC=CD-CF. 证明:ABDACF, BD=CF. BC=CD-BD, BC=CD-CF.,(3)过点E作EMCF于点M,作ENBD于点N,过点A作AHBD于点H,如图, AB=AC=2, BC=4,AH=BC=2. CD=BC,CD=1. BAC=DAF=90,BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF, ABDACF. ACF=ABC=45. ACB=45, BCF=90. ABC=AGC=45.,BC=CG=4. ADE=90, ADH+EDN=EDN+DEN=90. ADH=DEN. 又AHC=DNE,AD=DE, AHDDNE. DN=AH=2,EN=DH=3. CM=EN=3,ME=CN=3, 则GM=CG-CM=4-3=1. EG=.,5.(2016龙岩,24,13分)已知ABC是等腰三角形,AB=AC. (1)特殊情形:如图1,当DEBC时,有DBEC;(填“”“”或“=”) (2)发现探究:若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转(0180)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,ACB=90,且PB=1,PC=2,PA=3,求BPC的度数.,解析(1)DEBC, =, AB=AC, DB=EC, 故答案为=. (2)成立. 证明:由易知AD=AE, 由旋转性质可知DAB=EAC, 在DAB和EAC中, 得 DABEAC, DB=EC. (3)如图.,将CPB绕点C旋转90得CEA,连接PE, CPBCEA, CE=CP=2,AE=BP=1,PCE=90, CEP=CPE=45, 在RtPCE中,由勾股定理可得PE=2, 在PEA中,PE2+AE2=AP2,PEA是直角三角形, PEA=90, CEA=135, 又CPBCEA, BPC=CEA=135.,思路分析(1)由DEBC,得到=,结合AB=AC,得到DB=EC; (2)由旋转的性质得出DABEAC,得到DB=EC; (3)由旋转构造出CPBCEA,再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理的逆定理判断出PEA是直角三角形,再简单计算即可.,6.(2015漳州,24,12分)理解:数学兴趣小组在探究如何求tan 15的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路: 思路一:如图1,在RtABC中,C=90,ABC=30,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC=.tan D=tan 15=2-. 思路二:利用科普书上的和(差)角正切公式:tan()=.假设=60,=45代入差角正 切公式:tan 15=tan(60-45)=2-. 思路三:在顶角为30的等腰三角形中,作腰上的高也可以 思路四: 请解决下列问题(上述思路仅供参考). (1)类比:求出tan 75的值; (2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(CAD)为45,求这座电视塔CD的高度; (3)拓展:如图3,直线y=x-1与双曲线y=交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45,后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.,解析(1)解法一:在RtABC中,C=90,ABC=30,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD. 设AC=1,则BD=BA=2,BC=. tanDAC=tan 75=2+. 解法二:tan 75=tan(45+30) =2+. (2)在RtABC中,AB=30, sinBAC=,即BAC=30. DAC=45,DAB=45+30=75. 在RtABD中,tanDAB=, DB=ABtanDAB=30(2+)=60+90, DC=DB-BC=60+90-30=60+60. 所以这座电视塔CD的高度为(60+60)米.,(3)若直线AB绕点C逆时针旋转45后,与双曲线相交于点P,如图1. 过点C作CDx轴,过点P作PECD于E,过点A作AFCD于F. 解方程组得或 点A(4,1),点B(-2,-2). 对于y=x-1,当x=0时,y=-1,则C(0,-1),OC=1, CF=4,AF=1-(-1)=2, tanACF=, tanPCE=tan(ACP+ACF)=tan(45+ACF) = =3,即=3.,设点P的坐标为(a,b), 则有 解得或 点P的坐标为(-1,-4)或; 若直线AB绕点C顺时针旋转45后,与x轴相交于点G,如图2. 由可知ACP=45,P,则CPCG. 过点P作PHy轴于H, 则GOC=CHP=90,GCO=90-HCP=CPH, GOCCHP, =. CH=3-(-1)=4,PH=,OC=1,=, GO=3,G(-3,0). 设直线CG的解析式为y=kx+b, 则有 解得 直线CG的解析式为y=-x-1. 联立 消去y,得=-x-1, 整理得x2+3x+12=0, =32-4112=-390,方程没有实数根. 点P不存在. 综上所述,直线AB绕点C旋转45后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(-1,-4)或. 图1,图2,7.(2015湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系. 【发现证明】 小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论; 【类比引申】 如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD; 【探究应用】 如图(3),在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要在 E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73).,解析发现证明:将ABE绕点A逆时针方向旋转90至ADG, ABEADG, BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG, EAF=45,BAE+FAD=45,FAG=45, 在正方形ABCD中,B=ADC=90, ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上, 在EAF和GAF中, EAFGAF, EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF, EF=BE+FD. 类比引申:EAF=BAD,理由如下: 如图,将ABE绕点A逆时针方向旋转至ADG,使AB与AD重合,ABEADG, BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG, 在四边形ABCD中,B+ADF=180, ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上, 在EAF和GAF中, EAFGAF, EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF, EF=BE+FD. 探究应用:连接AF,延长BA、CD交于点O,在RtAOD中,易得ODA=60,OAD=30,又AD=80米, AO=40米,OD=40米, OF=OD+DF=40+40(-1)=40米, AO=OF, OAF=45, DAF=45-30=15, EAF=90-15=75, EAF=BAD. 由类比引申的结论可得EF=BE+DF=40(+1)=109米.,8.(2014漳州,24,12分)阅读材料:如图1,在AOB中,O=90,OA=OB,点P在AB边上,PEOA于点E,PFOB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用) (1)【理解与应用】 如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PEOA于点E,PFOB于点F,则PE+PF的值为;,(2)【类比与推理】 如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PEOB交AC于点E,PFOA交BD于点F,求PE+PF的值; (3)【拓展与延伸】 如图4,O的半径为4,A,B,C,D是O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PEBC交AC于点E,PFAD交BD于点F,当ADG=BCH=30时,PE+PF是不是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.,解析(1)四边形ABCD是正方形, OA=OB=OC=OD,ABC=AOB=90. AB=BC=2, AC=2. OA=. OA=OB,AOB=90,PEOA,PFOB, PE+PF=OA=. (2)四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=OD,DAB=90. AB=4,AD=3, BD=5, OA=OB=OC=OD=. PEOB,PFAO, AEPAOB,BFPBOA.,=,=. +=+=1. +=1. EP+FP=. PE+PF的值为. (3)PE+PF是定值. 连接OA、OB、OC、OD,如图. DG与O相切,ODG=90. GDA=30,ODA=60, OA=OD, AOD是等边三角形, AD=OA=4.,同理可得:BC=4. PEBC,PFAD, AEPACB,BFPBDA. =,=. +=+=1. +=1. PE+PF=4. 当ADG=BCH=30时,PE+PF=4.,9.(2014南平,26,14分)在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BC的延长线上. (1)如图1,ABC和APE均为正三角形,连接CE. 求证:ABPACE; ECM的度数为. (2)如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE,则ECM的度数为; 如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE,则ECM的度数为. (3)如图4,n边形ABC和n边形APE均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想ECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示ECM的度数),并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.,解析(1)证明:ABC与APE均为正三角形, AB=AC,AP=AE,BAC=PAE=60, BAC-PAC=PAE-PAC, 即BAP=CAE, 在ABP和ACE中, ABPACE(SAS). ABPACE, ACE=B=60, ACB=60, ECM=180-60-60=60. 故答案为60. (2)如图,作ENBM,交BM于点N.,四边形ABCD和APEF均为正方形, AP=PE,B=APE=90, BAP+APB=EPM+APB=90, 即BAP=NPE, 在ABP和PNE中, ABPPNE(AAS). AB=PN,BP=EN,BP+PC=PC+CN=AB, BP=CN, CN=EN, ECM=45. 如图3,作ENCD交BM于点N, 五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形, AP=PE,B=BCD, ENCD, PNE=BCD, B=PNE.,BAP+APB=EPM+APB=180-B, 即BAP=NPE, 在ABP和PNE中, ABPPNE(AAS). AB=PN,BP=EN, BP+PC=PC+CN=AB, BP=CN, CN=EN, NCE=NEC. CNE=BCD=108, ECM=CEN=(180-CNE)=(180-108)=36. 故答案为45,36.,(3)ECM=.证明如下: 如图,过E作EKCD,交BM于点K, n边形ABC和n边形APE为正n边形, AB=BC,AP=PE, ABC=BCD=APE=. APK=ABC+BAP,APK=APE+EPK, BAP=KPE. EKCD, BCD=PKE,ABP=PKE, 在ABP和PKE中, ABPPKE(AAS), BP=EK,AB=PK, BC=PK, BC-PC=PK-PC, BP=CK, CK=KE, KCE=KEC. CKE=BCD=, ECM=.,点评本题为多边形综合题,涉及三角形全等的判定及性质,正多边形的内角及等腰三角形的性质,解题的关键是正确作出辅助线,运用三角形全等得出对应边相等.,10.(2016浙江湖州,24,10分)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD(BAD=120)进行探究:将一块含60角的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点). (1)初步尝试 如图1,若AD=AB,求证:BCEACF,AE+AF=AC; (2)类比发现 如图2,若AD=2AB,过点C作CHAD于点H,求证:AE=2FH; (3)深入探究 如图3,若AD=3AB,深究得:的值为常数t,则t=.,解析(1)证明:平行四边形ABCD中,BAD=120, D=B=60. AD=AB,ABC和ACD为正三角形, B=CAD=60,ACB=60,BC=AC.(2分) ECF=60,BCE+ACE=ACF+ACE=60, BCE=ACF,(3分) BCEACF(ASA).(4分) BCEACF, BE=AF,AE+AF=AE+BE=AB=AC.(5分) (2)证明:设DH=x,由已知,得CD=2x,CH=x, AD=2AB=4x,AH=AD-DH=3x. CHAD,AC=2x, AC2+CD2=AD2,ACD=90, BAC=ACD=90,(6分),CAD=30,ACH=60. ECF=60,HCF+ACF=ACE+ACF, HCF=ACE,(8分) ACEHCF, =2,AE=2FH.(9分) (3).(12分),
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