必修二 431~432 空间两点间的距离公式导学案

4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.尹知识梳理 自主学习知识点一空间直角坐标系1. 空间直角坐标系(1) 空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：*轴、,V轴、z轴，这样就建立了 一个空间直角坐标系Oxjvz. 相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、V轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xQv平面、vOz平面、zOx平面.(2) 右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向*轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向迦的正方向，则称 这个坐标系为右手直角坐标系.2. 空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，v，z)来表示，有序实数组(x，v，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐 标，记作M(x，V，z).其中*叫做点M的横坐标，v叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识点二空间两点间的距离1. 空间两点间的距离公式(1) 在空间中，点P(x，V，z)到坐标原点O的距离|OP| = -Jx2+v2+z2.(2) 在空间中，P1(x1，V，z1)与 P2(x2, v2, z2)的距离|P1P2| = X x2)2 + 3 V2)2 + (z1 z2)2.2. 空间中的中点坐标公式(X +x v +v z +z、V2，v，V21.222/尹题型探究 重点突破题型一求空间中点的坐标例1如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D中，M在线段BC1N是线段D1M的中点，求点M, N的坐标.解 如图，过点M作MM1BC于点必，连接D.，取D的中点由 |BM=2|MC1|, ,.2 2知 |MM1|=3|CC1|=3，|M1C|=|BC|=|.上，且 |BM|=2|MC1|,叫，连接NN1.因为 M1MDD1，所以M1M与z轴平行，点M与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为2,所以M3, 1，3)因为N1N与z轴平行，且叩=也严1=|，由N1为DM1的中点，知n% 2，0所以欢，2,1)反思与感悟建立空间直角坐标系的技巧(1) 建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的 对称性.(2) 求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或 者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.跟踪训练1如图所示，在单位正方体OABCO1 A1B1C1中，M是B1B的中点，N是CC1的中点，AP=2PA1，Q是OA反向延长线上的一点，且OA=2OQ，求点B，C，,些 很，A1，O1，B1，C1，M， N，P，Q 的坐标.p :，V解 由于点B在xOy平面内，竖坐标为0，厂-产5.B点坐标为(1,1,0).C点在y轴上且OC=1，横坐标、竖坐标均为0， C点坐标为(0,1,0)，A1点在xOz平面内，纵坐标为0，.A点的坐标为(1,0,1)，O点在z轴上，且OO = 1，.O点的坐标为(0,0,1).B1点所在平面AWCO与xOy平面平行，竖坐标为1，B点的坐标为(1,1,1).C点在yOz平面内，横坐标为0，纵坐标为1，.C点的坐标为(0,1,1).同理得m点的坐标为，1，2)n点为cq的中点，.其横坐标为0,竖坐标为1，AN点坐标为(0, 1, 2)同理可得p点坐标为(1,0, D，Q点坐标为(一；，0,0).题型二求空间中对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4).(1) 求点P关于x轴的对称点的坐标；(2) 求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3) 求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(一 2,-1,-4).(2) 由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(- 2,1,-4).(3) 设对称点为P3(x, y, z),则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2X2 (-2)=6,y=2X(1) 1 = 3, z=2X(4)4= 12,所以 P3(6,3,12).反思与感悟任意一点P(x, y, z),关于原点对称的点是P1(x,y,z);关于x轴(横轴)对称的点是P2(x,y,z);关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x, y,z);关 于z轴(竖轴)对称的点是P4(x,y, z);关于xOy平面对称的点是P5(x, y, z);关于yOz平面对称的点是P6( x, y, z);关于xOz平面对称的点是P7(x,y, z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.跟踪训练2求点力(1,2，一1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.解 如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M,并延长到点C,使AM=CM,则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1).占仁过点A作ANx轴于点N并延长到点B,使AN=NB,则点A与B关于x轴对称且点B(1,2,1).点A(1,2,1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2,1)关于x轴对称的点为B(1,2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)题型三 空间中两点之间的距离例 3 已知ABC 的三个顶点 A(1,5,2), B(2,3,4), C(3,1,5).求AABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.解(1)由空间两点间距离公式得|AB|= (12)2+(5 3)2+(24)2 = 3, |BC| =(2 3 )2+(3 1 )2+(4 5)2=.,沽， | AC = V(13)2+(5 1)2+(2 5)2=,29, :.ABC中最短边是|BC|，其长度为(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2, 3, 2:.AC边上中线的长度为 (2-2)2+(3 - 3)2+(4-22=2-反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是 解题的关键.跟踪训练3在正方体ABCDA1B1ClD1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：APLBp.证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设棱长为 1,则 A(1,0,0), B(1,1,1),pG，2, 1)由空间两点间的距离公式，得 |AP| = A ；(1 2)2+(0 2)2+(0 1 )2 =与,|B1P| =2 + 1 刃2+ (1 1)2= 2 , | AB1| = ,：(1 1)2+(01)2+(0 1)2 = 2. 所以|AP|2+|B1P|2 = |AB1|2，所以 APLBp.数学思想转化思想例4已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,并且平面ABCDL平面ABEF，点M在AC上移动，点N 在 BF 上移动.若|CM1 = |BN|=a(0a5).(1) 求MN的长度；(2) 当a为何值时，MN的长度最短.分析 因为平面ABCDL平面ABEF，且交线为AB，BE LAB，所以BEL平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直. 因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|表示为参数a的函数，再利用函数求最值. 解 取B为坐标原点，BA, BE, BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间%直角坐标系.FJ祢因为|BC| = 1, |CM=a,点M在坐标平面xBz内，且在正方形ABCD的对角线上，所以)2 a, 0, 1 2 a).因为点N在坐标平面xBy内，且在正方形ABEF的对角线上，| BN=a，所以Na, 华，0）（1）由空间两点间的距离公式，得|=2 = ； a2! 2a +1,即MN的长度为寸a2 2a+1.（2）由（1），当 a =2(满足 0aCDB.| ABCDC.ABWCDD. ABCD答案 D解析 AB = ；22+12+(朋一3)2 = 5 + (m 3)2, CD=，v22+02+(1)2=、寸5.因为(m 3)20, 所以 ABNCD.3.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3), B(2,5,1), C(3,7,5)，则点D的坐标为()A.(待，4, 1B.(2,3,1)C.(3,1,5)D.(5,13,3)答案 D解析 设ABCD的对角线交点为M,点D的坐标为(x, y, z).VA(4,1,3), B(2,5,1), C(3,7,5), /.AC的中点坐标为 M7, 4,1) BD的中点坐标为 乂2， ：+y, 与,2, 4-1)廿土,2 ”即 x=5, y=13, z=3./.点 D 的坐标为(5,13,3).4.如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCDABCD, A1C的中点E到AB的中点F的距离为(A2a B.号 a C.a1D.a答案解析由题意得Alaa 2, 0J，A(a,0, a), C(0, a,0),(a.e =a a I2,刃，则 EF =a额2+修气2+(0气2=5.已知点 A(1, a,5), B(2a,7,2)(aER)，则AB的最小值是()A.3 舟 B.,6 C.3 D.2.拆 答案 B解析 AB2 = (2i1)2+(71)2+(2+5)2= 52+10+59= 50+1)2+54.a= 1时，|刀冏2的最小值为54.|AB|min=V54 = 3%.6. AABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A.E B.2 C.专 D.3答案C解析BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1), .|AM| = ； 12+12+(1)2 = V3.7. 在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是()A.乎Ba； 3 C. D专答案 AX2+y2=1,解析 设P(x, y, z),由题意可知y2+z2=1,、X2+z2=1,x2 +y2 +z2 = 2. .EX2 +y2 +z2 = .二、填空题8. 已知 ABC 的顶点为 A(1,1,1), B(0,1,3), C(3,2,3),则 WBC 的面积是答案2 解析 |AB| =、J 1+4+4 = 3, |AC| = .4+1+4 = 3, |BC| =、.；9 + 9+0 = 3、,2因为 |AB|2+|AC|2 = |BC|2,所以 ABC为直角三角形.19所以 bc=/3X3=2.9. 对于任意实数 x, y, z 则q(x+ 1)2 + (y2)2 + (z1)2+x2+y2+z2的最小值为.答案6解析设 P(x, y, z), M(1,2,1),则 方(x + 1)2 + (y2)2 + (z 1)2+.； x2 +y2+z2= PM + PO.由于x, y, z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM + |PO|N|OM = 1 + 4 +1 = &，故所求的最小值为拆.10. 已知点 A(1一，,1，t), B(2, t, t),则|AB|的最小值为.3*答案弋一解析由空间中两点的距离公式，得区5|=%(2 1+，)2+(，一 1+，)2+(，一，)2=.; 5,22，+2 =5U1 2+|.当=：时，|AB|取最小值，最小值为号.11. 点B是点A(2，-3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|=.答案10解析,点B的坐标为B(2,3,5),. |AB|=-、J(22)2+(3+ 3)2+(5+ 5)2= 10.12. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD=AA=2, AB=4，DELAC，垂足为 E，求 B1E 的长.解 如图，以点D为原点，以DA, DC, DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则 Q(0,0,0), B1(2,4,2), A(2,0,0), C(0,4,0),设点E的坐标为(x, y,0),在坐标平面xOy内，直线AC的方程为$+*=1，即 2x+y4 = 0,又DEAC,直线DE的方程为x2y=0.|B1E| =二.：(5x=5，4 .据3=5，(5 5, 0)4 6顿852x+y4=0,lx-2y=0得5,即B1E的长为竺严.点P在面对角线A1B上，点Q在面对角线B1C上.，13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1三、解答题(3) 当点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值.解 以顶点D为坐标原点，以DA, DC, DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1,所以可得点 A1(1,0,1), B1(1,1,1), B(1,1,0), C(0,1,0).(1)因为点P是面对角线A1B的中点，所以由射影的概念，得p(1, 2又因为点Q在面对角线B1C上运动， 所以可设点 Q(b, 1, b), be0,1. 由空间两点间的距离公式，得 PQI=(1-b)2 + (|-1)2 + (2-b)2=r.j2b2-3b + 2= (b-4)2+3. 所以当b=4时，|PQ|取得最小值* 此时 qG，1,4)(2)因为点Q是面对角线B1C的中点， 所以由射影的概念，得Q(|, 1, 2)又因为点P在面对角线A1B上运动，所以可设点P(1,。,1i), 】E0,1.由空间两点间的距离公式，得|PQ| =所以当a=4时，|PQ|取得最小值驾6,此时P0,4,4)(3)因为点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动， 所以可设点 P(1, a,1-a), Q(b, 1, b), a, be0,1.由空间两点间的距离公式，得=%2a2+2b24a4b+2ab+3,2、 一 b2所以当b=3时，代入a+21=0, 得a=3,即当a=b=2时，|PQ|取得最小值*, 此时 p(i, 3,3),狷，1, 2)PQ|=J(1-b)2+(a-1)2+(1-a-b)2