射影几何的诞生与发展

射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1. 在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就 使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问 题：(1) 一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？(2) 从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两 个物体间具有什么关系？2. 由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科- 透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以 后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利 人布努雷契(1377-1446)是第一个认真研究透视法并试图运用几何 方法进行绘画的艺术家。3. 数学透视法的天才阿尔贝蒂(1401-1472)的论绘画一书 (1511)则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。4 .对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格 (1591-1661)法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自 学的。1639年发表试论锥面截一平面所得结果的初稿，这部著作 充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、 交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。5. 数学家帕斯卡(1623-1662) 16岁就开始研究投射与取景法， 1640年完成著作圆锥曲线论，不久失传，1779年被重新发现，他 最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边 交点共线6. 画家拉伊尔(1640-1718)在圆锥曲线(1685)这本射影 几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。7. 德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得 几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱 发了一些新的思想和观点：1) 一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2) 变换与变换不变性3) 几何新方法-仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及 度量二射影几何的繁荣1. 在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究 的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到18世纪末19世纪初，蒙日的画法几何学及其学生们的工作，重 新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自 己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列(1788-1867)2. 庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役 被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本， 以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。获释后他整理 出版了论图形的射影性质，这部著作立即掀起了 19世纪射影几何 发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期3. 庞斯列利用连续性原理引入虚元素，强调对偶原理，深入研 究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的 一般表述4. 在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家 莫比乌斯在重心计算(1827) 一书中第一次引进了齐次坐标，后 被普吕克发展为更一般的形式。这种代数方法遭到了以庞斯列为首的 综合派学者的反对，因此19世纪的射影几何就是在综合派的与代数 的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳沙勒 和施陶特5. 1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念 与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。即使 综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。施 陶特在1847年的位置几何学中提出一套方案，给交比以重新定义：匚3/工，这样施陶特不借助长度概念就得到了建立射影X - X X - X几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度 量概念无关的全新的学科，施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上 要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。6. 施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱(1821-1895)和普吕克 的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏 几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道 路。三几何学的统一1 .统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因 (1849-1925)提出的，1872年，克莱因在爱尔朗根大学任数学教授 就职演讲爱尔朗根纲领中阐述了几何学统一的思想。(射影几何， 仿射几何，欧氏几何)当然，并非所有的几何都能纳入克莱因的方案， 如代数几何，微分几何。2. 克莱因1886年受聘于哥廷根大学担任教授，因为这位创造性天才 和组织能力完美结合的他的到来，使得哥廷根大学更富科学魅力.希 尔伯特就是被克莱因引向哥廷根的最重要的年轻数学家1862-1943, 他提出了另一条统一几何学的途径-公理化方法。3. 公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视 原本中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义 及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重新建立欧氏几何以及其他包含同 样弱点的几何的基础。其中希尔伯特在几何基础（1899）中使用 的公理化方法最为成功。第一章仿射坐标与仿射变换本章将主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射 不变量和仿射不变性。 1透视仿射对应定义1.1共线三点的A，B，C的单比表示为（ABC），且AC（ABC）=竺 BCAC，BC是有向线段的数量，其中，点A、B称为基点，C称为分点。显然，当C在A，B之间时，（ABC）V0；否则，（ABC）0。 当C为线段AB中点时，（ABC） =1。当A与C重合时，（ABC） =0； B与C重合时，（ABC）不存在。定义1.2在一平面上设有直线l和1 ,m为此平面上与l和l均 不平行的方向直线，通过直线1上任意一点A,作与m平行的直线，交 1于A，这样得到的直线1上点到1上点的一一对应，称为透视仿 射对应.若直线1与1相交，则交点是自对应点或二重点（不变点）。显然，两直线间的透视仿射对应，与方向直线有关，不同的方向决定 不同的对应关系。仿上述定义，可定义两平面n和n 间的透视仿射对应。若平面n和n 相交于直线1，则直线1上的每个点都是透视仿射对 应下的自对应点，直线1叫做透视轴，简称轴。当平所和。平行 时，则不存在透视轴。透视仿射对的性质：（1）透视仿射对应保持结合性透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，这种性质称为同素性。（2）透视仿射对应保持结合性点A在直线a上，经过透视仿射对应后，对应点A 在对应直 线a上，也就是说，点和直线的结合关系在透视仿射对应下保持不 变。(3) 透视仿射对应保持共线三点的单比不变若平面n内共线三点A, B, C经过透视仿射对应后在平面 n 上的象是 A, B, C，则(ABC) = (A B C)。证明由于 AABBCC,所以有AACBC - B C即(ABC) = (A B C)(4) 透视仿射对应保持二直线的平行性证明 设平面n内两直线ab,经过透视仿射对应后，在平面 n 内的象分别为a、b假设，,与不平行，且anb =P ，那么P 的原象 P在n上。由点和直线的结合性，点P 一定同时在直线a和b上，即anb=P, 这与ab矛盾。透视仿射对应的性质：(1) 保持同素性；(2) 保持点和直线的结合性；(3) 保持共线三点单比不变；(4) 保持二直线的平行性。 2仿射对应与仿射变换定义2.1设同一平面内有n条直线aa2,，a ,甲，甲2,.抑, 顺次表示a1到a2 , a2到a3，。，an-1到an的透视仿射对应，经过这 一串透视仿射对应，使a1上的点与a上的点建立了一一对应，这个 对应称为a1到an的仿射对应，用甲表示，于是有Gf-1.甲 n-2 卬方 1如果直线a1与a重合，则a1到a的仿射对应叫做a1到直线自 身的仿射变换。仿此，可定义两平面间的仿射对应。所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积。因此有下列 性质：（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点单比不变；（3）保持直线的平行性。定义2.2若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换） 保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换） 称为仿射对应（变换）。注意：平行四边形经过仿射对应（变换）后，对应图形仍为平行 四边形；两条平行线段经过仿射对应（变换）后，其长度之比不变。 根据定义2。1，由透视仿射对应的性质，显然，透视仿射对应当nn1与。n重合时，仿射对应称为平面n1到自身的仿射变 换。不难证明，仿射对应和仿射变换保持直线的平行性；而且，两条 平行线段的长度之比经仿射对应（变换）后不改变。平行四边形经仿 射对应和仿射变换后仍为平行四边形。 1.3仿射坐标3.1 仿射坐标系设O - xy为平面内笛卡儿坐标系，E（1，1）为单位点，P （x,y）是平面上一点。E1, E2, P1, P2分别为过E, P所做 与y轴和x轴 平行的直线与x轴和y轴的交点。则O E1EE2和O P1P P2均为平 行四边形。经过一个仿射对应后，坐标系O - xy的对应图形为O - x， y, E, E1, E2, P, P1, P2 的对应点依次为 E，E1，E2, P， P1，P2,则 O E1，E E2，和 O, P1，P P2，也都是平行四边 形。在新坐标系O - x y中，选取E,为单位点（1, 1）,设点 P,在此坐标系下的坐标为（x, ,y）。因为.，OPO Px = * =（PiEiO）, x = = （Pi Ei OE11 1O Eo）,1OP OP_ , _ , 一，y=a=（p2e2。），y = 年=（p2 e2 o）OE22 2OE222又因为仿射对应保持单比不变，所以有x = x ,y = y定义3.1笛卡儿坐标系在仿射对应（变换）下的象叫做仿射坐标 系o（x ,y）叫点P,在仿射坐标系下的坐标，记做：P（x ,y）。现在我们可以用坐标来表示共线三点单比。若用ej, e2表示OE OE,则仿射坐标系表示为O - e1,OP=xe2，则有ei, +y, %仿射坐标系是笛卡儿坐标系的推广，两坐标轴上的测量单位不一 定相等,笛卡儿坐标系是仿射坐标系当两轴上测量单位相等时的特殊 情况。定理3.1设共线三点P. （i=1,2,3）的仿射坐标顺次为（x.，y.） （i=1,2,3）则单比|(P1P2P3)=壬fVx证明(ppp)=pp3 PP2 32 X 3 XOP _ OP OP - OP _ OEX - OE OpX - Opx = OP_OPx3 X2 X oEoE同理，y - y（顷尸yxx1x2定理3.2在仿射坐标系下，经过两点P1（x1,y1）P2（x2,y2）的 直线的方程为y 1y 1 = 0y112证明在直线P1P2上任取一点P(x,y)，则有x - _ y - y 31 = 31x - x y - y3232即xy1xy1 = 0x2y 21反之，凡满足上述方程的x,y，所对应的点P （x,y）必在直线P1P2 上。所以上述方程是经过两点P1（x1,y1）P2（x2,y2）的直线的方程。由此可知，在仿射坐标系下，直线的方程是一次方程Ax+By+C=0 （A2+B2#0）反之，一次方程Ax+By+C=0 （A2+B220）的图形一定是直线。3.2仿射变换的代数表示设有一个仿射变换T，将仿射坐标系O e1e2变为O e1 e2，将点P （x,y）变成点P,且P在仿射坐标系O -e1e2下的 坐标是（x ,y）,以下我们来推导两组坐标（x,y）与（乂，y） 之间的关系式。设O , e1 , e2 在O - e1e2下的坐标分别为（ai3，a23） ，ai1，a21，ai2，o，JL J 妇。JL JL J JLJL J ）由前面讨论，我们知道P在坐标系O-e1 e2下的坐标为（x，y）.由于OP = OOr + OP而且OO= ai3ei+a23e2O P=xei +y e2另外ei = aiiei+a2ie2 电=ai2ei+a22e2所以OP (q a i o a i v ( o a i o a) (dgC十dg%)十 X (a C 十d c )JL。 JL乙JL JL JL Z-i JL Z-i十)(a12C1+a22e2) (Q V 1 O X 7 1 Q a 1 t Q V 1 O X 7 1 O Q一(a x+a y+a ) g+E x+a y+a jg另外，还有OP xz C+y, e2因此x = a x + a v + a111213(1.1)V = a x + a v + a由于e，e2是两不共线矢量，所以=定理3.3平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表达式为（1。1）,其中x,y的系数满足20 。推论不共线三对对应点唯一确定一个仿射变换。在（1.1）式中，由于20,可以解出它的逆式，艮口；气 ”+1 V 勺 1（1.2）、V =a 2 x，+。2 矿 + y 2其中20=1）顺次变到点O 的仿射变换。例 1求使三点 O (0, 0), E (1, 1), P (1,(2, 3), E(2, 5), P(3,7) 解设所求仿射变换为x = a x + a V + a111213V = a x + a v + a于是有2油133=a232=a11+a12+a135= a21+a22+a23ail ai2+ai37= a21-a22+a23解此方程组，得a=l/2, a12=1/2, a13 =2, a21=-4, a22=6, a23=3 故所求仿射变换为1，11 cx - X- y + 222yf = -4x + 6y + 3例2 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线X，+矿+ 1=0和X，yf 1=0,且点（1, 1）的象为原点。解 设所求变换的逆变换为式（1。2）,于是有x=0 的象是 a X +6 y +Y0也即 x + y + 1 =0所以a X +p 1y/ +Y =0 与 x + y + 1=0 表示同一条直线，则有因此x=h x +h y + h同理，由于y=0 的象是 a xz +p y +Y =0即Ixz - y，一 1=0所以y=kx k y k另外又有（1, 1）的象为（0, 0）,所以h=l , k=l所求变换的逆变换式为x = x + yy = -x, + y, + l所求变换式为,1 1X = x- V 22，111y = x + y-1 “22利用仿射变换的代数表达式可以证明仿射变换的基本性质，下面 我们来证明仿射变换保持共线三点单比不变。得P） P） P f V XT ）皂土t纬二占 绍】寸仿射亦掩设P1 （ X1 ,y） P2（xy P3 顷乎山/是共线三点，经过|刀射变换 后，它们的对应点顺次为共线三点P（x，y）,P（X，y）, P3（X3 ,则有* -尤 y - y .(P1 P2P3 ) = T= =K123* - * y - y*，- * y，- y -3=1 * - * y - y32323232(P1，P2, P3)=在仿射变换下，有* - *(P1 P2 P3)= *V*(a*+ay+a)一(a* + a y+ a)1131231311112113(a*+ay+a)一(a* + a y+ a)11 31231311 212213a(* * ) a(yy)=U311231a(* * ) a(yy)11321232=k所以(P1 P2P3)=(P1，P2, P3，) 定义3.2平面上点之间的一个线性变换* = a * + a y + a111213y = a * + a y + a=叫做仿射变换。3.3几种特殊的仿射变换（1）正交变换当仿射变换的系数矩阵T满足正交条件：TT =T T=E，即“212 T a 2 + a 2 = 1a a + a a = 0、11 1221 22时，仿射变换称为正交变换。正交变换的代数表达式为xr = x cos0 - dy sin0 + ayr = x sin 0 +6y cos0 + a侦23(。=土 1)(2) 位似变换当仿射变换的系数满足下列条件时，仿射变换称为位似变换，x = kx + a13, k#0y，= ky + a23(3) 压缩变换x = axy，= by，0(4) 相似变换当仿射变换的系数满足下列条件时，称为相似变换，x = a x-Sb y + a y = b x + Sa y + a236 =1a1bi1-Sb1Sa1=(a 2 + b2)壬0相似变换总能分解为一个正交变换与一个位似变换的乘积。4仿射性质定义4.1图形经过仿射变换后保持不变的性质（量）称为图形 的仿射性质（仿射不变量）。同素性，结合性，以及平行性都是仿射性质；共线三点的单比是 仿射不变量。利用仿射变换的代数表示同样可以证明仿射性质。定理4.1两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线。推论1两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线。推论2共点直线经仿射变换后，仍变为共点直线。定理4.2两条平行线段之比是仿射不变量。定理4.3两个三角形面积之比是仿射不变量。证明 设在笛卡儿坐标系下，不共线三点A（x1，y1），B（x2,y2），C（x3,y3）经过仿射变换（1。1）后，对应点分别为A （% ，y)，B(x2 ,y2)，C(x3 ,y3)，于是有SaABC：yi 1y： iy： i的绝对值(i)，Xi，X2，X3，yi，y 2，y3的绝对值(2)由仿射变换代数式(i.i)，a x + a y + a1 ii i i2 i i3 ax + a y + a2 ii 2i2 2i3a x + a y + aii 3i2 3i3a x + a y + a i2i i 22 i 23a x + a y + a i2i 222 223a x + a y + a i2i 322 323所以x y ia a 0ii2ix y i -a a 022i222x y ia a 033i323la a 一aalABC ii 222i i2的绝对值abc，= la a a a ISii 22 2i i2同理，若三角形DEF在仿射变换下的对应图形是三角形D E F，则同样有def = a a a a ISii 22 2i i2所以S sABC= ADEFABCDEF即SABC = S AECDEFADfEF这表明两三角形面积比是仿射不变量。推论1两平行四边形面积之比是仿射不变量。推论2两封闭图形面积比是仿射不变量。例1求一仿射变换，将椭圆X 2 + a 2变成一个圆。解设有一个变换显然，它是一个仿射变换，经过这个变换后，所给椭圆的象为这是一个圆。那么由仿射变换的可逆性，圆经过一个仿射变换后也可以变成椭圆。 我们可以从圆的一些性质推倒出椭圆的一些性质。即三角形存在内切椭圆。例2 利用仿射变换求椭圆的面积。解设在笛氏直角坐标系下，椭圆的方程为X 2 y 2+= 1a 2 b 2经过仿射变换椭圆的对应图形为圆，其方程为 设在仿射变换下,AOB对应 AOB，其中各点坐标为A(a,0),O (0,0) , B (0,b) , B (0,a)。由定理4.3的推论2,有SS椭圆=AAOBAAOB所以氟圆Tabn-