甘肃省兰州市2013年中考数学真题试题（A卷）（解析版）

2013年兰州市初中毕业生学业考试数 学（A）全卷共150分，考试时间120分钟参考公式：二次函数顶点坐标公式：（，）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2013兰州）下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ） A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为2，3，1【解答】B【点评】左视图是从物体的左面看得到的视图2（2013兰州）“兰州市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（ ）A兰州市明天将有30%的地区降水B兰州市明天将有30%的时间降水C兰州市明天降水的可能性较小 D兰州市明天肯定不降水【考点】概率的意义【分析】兰州市明天降水概率是30%，即降水可能性比较小【解答】C【点评】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件概率表示随机事件发生的可能性的大小3（2013兰州）二次函数y=2（x1）23的图象的顶点坐标是（ ）A（1，3） B（，3） C（1，） D（，）【考点】二次函数的性质【分析】y=2（x1）23，顶点坐标是（1，3）【解答】A4（2013兰州）O1的半径为1cm，O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是（ ）A相交 B内切 C外切 D内含【考点】圆与圆的位置关系【分析】Rr=41=3，O1O2=3cm，两圆内切【解答】B【点评】两圆的位置关系有5种：外离；外切；相交；内切；内含若dRr，则两圆相离；若d=Rr，则两圆外切；若d=Rr，则两圆内切；若RrdRr，则两圆相交5（2013兰州）当x0时，函数y=的图象在（ ）A第四象限B第三象限 C第二象限D第一象限 【考点】反比例函数的性质【分析】反比例函数y=中，k=50，此函数的图象位于二、四象限，x0，当x0时函数的图象位于第四象限【解答】A【点评】反比例函数y=（k0）的图象是双曲线；当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限6（2013兰州）下列命题中是假命题的是（ ）A平行四边形的对边相等 B菱形的四条边相等C矩形的对边平行且相等 D等腰梯形的对边相等【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质【分析】A、根据平行四边形的性质得出平行四边形的对边相等，此命题是真命题，不符合题意；B、根据菱形的性质得出菱形的四条边相等，此命题是真命题，不符合题意；C、根据矩形的性质得出矩形的对边平行且相等，此命题是真命题，不符合题意；D、根据等腰梯形的上下底边不相等，此命题是假命题，符合题意【解答】D7（2013兰州）某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（ ）班级1班2班3班4班5班6班人数526062545862A平均数是58 B中位数是58 C极差是40 D众数是60【考点】极差；算术平均数；中位数；众数【分析】A=（526062545862）6=58；故此选项正确；B6个数据按大小排列后为52，54，58，60，62，62，中位数为（6058）2=59；故此选项错误；C极差是6252=10，故此选项错误；D.62出现了2次，最多，众数为62，故此选项错误【解答】A8（2013兰州）用配方法解方程x22x1=0时，配方后所得的方程为（ ）A（x1）2=0B（x1）2=0 C（x1）2=2 D（x1）2=2【考点】解一元二次方程（配方法）【分析】把方程x22x1=0的常数项移到等号的右边，得到x22x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x22x1=11，配方得（x1）2=2【解答】D【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数9（2013兰州）ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，如果a2b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）AsinA=BcosB= CtanA= DtanB=【考点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义【分析】由于a2b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC是直角三角形，且C=90，再根据锐角三角函数的定义得到正确选项【解答】A【点评】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，利用勾股定理的逆定理加以判断10（2013兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为，根据题意，所列方程为（ ）A7600（1x%）2=8200 B7600（1x%）2=8200C7600（1x）2=8200 D7600（1x）2=8200【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】2012年同期的房价为7600（1x），2013年的房价为7600（1x）（1x）=7600（1x）2，即所列的方程为7600（1x）2=8200【解答】C【点评】2013年的房价8200=2011年的房价7600（1年平均增长率）211（2013兰州）已知A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且 y1y2，则m的取值范围是（）Am0 Bm0 Cm Dm【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】将A（1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=得，y1=2m3，y2=，y1y2，2m3，解得m【解答】D【点评】函数图象上的点符合函数解析式12（2013兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，OA2=OD2AD2，即r2=（r2）242，解得r=5cm【解答】C【点评】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键13（2013兰州）二次函数y=ax2bxc（a0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）Ab24ac0 Ba0 Cc0 D0【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】A、正确，抛物线与x轴有两个交点，=b24ac0；B、正确，抛物线开口向上，a0；C、正确，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，c0；D、错误，抛物线的对称轴在x的正半轴上，0【解答】D【点评】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断14（2013兰州）圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）A3cm B6cm C9cm D12cm 【考点】圆锥的计算【分析】圆锥的底面周长是6cm，设母线长是l，则l=6，解得l=6【解答】B【点评】圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长15（2013兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ） A B C D【考点】动点问题的函数图象【分析】不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在AB段运动时，PB=1t，S=（1t）2（0t1）；（2）当点P在BA段运动时，PB=t1，S=（t1）2（1t2）综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为S=（t1）2（0t2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线【解答】B【点评】这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分16（2013兰州）某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是【考点】列表法与树状图法【分析】画树状图：共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，选出一男一女的概率是=【解答】【点评】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比17（2013兰州）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根【分析】|b1|=0，b1=0，=0，解得b=1，a=4；又一元二次方程kx2axb=0有两个实数根，=a24kb0且k0，即164k0，且k0，解得k4且k0【解答】k4且k0【点评】注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零A（N）CAAAAAABAAAAAAOAAAAAA306090120150PEAAAAAA18（2013兰州）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度【考点】圆周角定理【分析】连接OE，ACB=90，A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，点E，A，B，C共圆，ACE=324=72，AOE=2ACE=144点E在量角器上对应的读数是144【解答】144【点评】注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用19（2013兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（，0）、B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2013 的直角顶点的坐标为【考点】规律型（点的坐标）【分析】点A（3，0）、B（0，4），AB=5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为453=12，20133=671，2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，67112=8052，2013的直角顶点的坐标为（8052，0）【解答】（8052，0）【点评】观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点20（2013兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 【考点】二次函数的性质【分析】由图可知，AOB=45，直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得x22x2k=0，=（2）2412k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，点B的坐标为（2，0），OA=2，点A的坐标为（，），交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，4k=0，解得k=2，要使抛物线y=x2k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是2k【解答】2k【点评】联立两函数解析式确定交点个数，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值三、解答题：本大题共8小题，共70分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤21（本小题满分10分）（2013兰州）（1）计算：（1）201321sin30（3.14）0（2）解方程：x23x1=021【考点】解一元二次方程公式法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值，然后计算加减法；（2）利于求根公式x=来解方程【解答】解：（1）原式=11=0；（2）关于x的方程x23x1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，常数项c=1，则x=，解得x1=，x2=【点评】利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义22（本小题满分5分）（2013兰州）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）22【考点】作图（应用与设计作图）【分析】根据点P到AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P【解答】解：如图所示：作CD的垂直平分线，AOB的角平分线的交点P即为所求【点评】基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹23（本小题满分6分）（2013兰州）在兰州市开展的“体育、艺术21”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是 ，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是 ；（2）把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）利用1减去其它各组所占的比例即可求得喜欢B项目的人数百分比，利用百分比乘以360度求得扇形的圆心角的度数；（2）根据喜欢A的有44人，占44%即可求得调查的总人数，乘以对应的百分比即可求得喜欢B的人数，作出统计图；（3）总人数1000乘以喜欢乒乓球的人数所占的百分比求解【解答】解：（1）144%8%28%=20%，所在扇形统计图中的圆心角的度数是36020%=72；（2）调查的总人数是4444%=100（人），则喜欢B的人数是：10020%=20（人）；（3）全校喜欢乒乓球的人数是100044%=440（人）【点评】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小24（本小题满分8分）（2013兰州）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是17m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45；小红的眼睛与地面的距离（CD）是15m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）求出旗杆MN的高度（参考数据：，结果保留整数）24【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）【分析】过点A作AEMN于E，过点C作CFMN于F，则EF=0.2m由AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，设AE=ME=xm，则MF=（x0.2）m，FC=（28x）m在RtMFC中，由tanMCF=，得出=，解方程求出x的值，则MN=MEEN【解答】解：过点A作AEMN于E，过点C作CFMN于F，则EF=ABCD=1.71.5=0.2（m），在RtAEM中，AEM=90，MAE=45，AE=ME设AE=ME=xm，则MF=（x0.2）m，FC=（28x）m在RtMFC中，MFC=90，MCF=30，MF=CFtanMCF，x0.2=（28x），解得x10.0，MN=MEEN101.712米答：旗杆MN的高度约为12米25（本小题满分9分）（2013兰州）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=axb的图象交于点A（1，4）和点B（m，）（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当x0时，直接写出y1y2时自变量的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求ABC的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=，再求出B的坐标是（2，2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围x2 或0x1（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式求出答案【解答】解：（1）函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，k=4，即y1=，又点B（m，2）在y1=上，m=2，B（2，2），又一次函数y2=axb过A、B两点，即解得y2=2x2综上可得y1=，y2=2x2（2）要使y1y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，x2 或0x1（3）由图形及题意可得：AC=8，BD=3，ABC的面积SABC=ACBD=83=12【点评】数形结合思想26（本小题满分10分）（2013兰州）如图1，在OAB中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为边，在OAB外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长OGABCF26【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得DAO=DOA=30，AEO=60，再证明BCAE，COAB，证出四边形ABCE是平行四边形；（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长【解答】（1）证明：在RtOAB中，D为OB的中点，DO=DA，DAO=DOA =30， EOA=90，AEO =60又OBC为等边三角形，BCO=AEO =60，BCAEBAO=COA =90，OCAB，四边形ABCE是平行四边形（2）解：设OG=x，由折叠可知AG=GC=8x，在RtABO中，OAB =90，AOB =30，OB=8，OA=OBcos30=8=在RtOAG中，OG2OA2=AG2，x2（4）2=（8x）2，解得x=1，OG=127（本小题满分10分）（2013兰州）如图，直线MN交O于A、B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径【考点】切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得ODE=DEM=90，且D在O上，故DE是O的切线（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有ACDADE根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径【解答】（1）证明：连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAE，ODA=DAEDOMNDEMN，ODE=DEM=90即ODDED在O上，DE是O的切线（2）解：AED=90，DE=6，AE=3，AD=3连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90CAD=DAE，ACDADE=则AC=15（cm）O的半径是7.5cm28（本小题满分12分）（2013兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值【考点】二次函数综合题【分析】（1）将y=mx22mx3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，再根据三角形的面积公式得SPBC = SPOC SBOP SBOC，配方法得到PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：DM2BD2=MB2时；DM2MB2=BD2时，讨论即可求得m的值【解答】（1）解：令=0，则 ，0，解得， A（，0）、B（3，0）（2）存在设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得，1：设P（，）， SPBC = SPOC SBOP SBOC =，0， 当时，SPBC最大值为（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），BD2=， BM2=，DM2=，MBD90， 讨论BMD=90和BDM=90两种情况当BMD=90时，BM2 DM2= BD2 ，=，解得， (舍去)；当BDM=90时，BD2 DM2= BM2 ，=，解得， (舍去) 综上 ，时，BDM为直角三角形【点评】涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强