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17.1 勾股定理投我以桃，报之以李。诗经大雅抑原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第 2 课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题. 2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材 P25 例 1.（2）自学时间：8 分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：因为木板的宽为 2.2m，长为 3m，都大于 1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为 2.2m， 长为 3m，都大于 2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线 AC 是斜着通过 的最大长度，因此必须先求出 AC 长，再与木板的宽比较.在 ABC 中，根据勾股定理： AC2=AB2+BC2=12+22=5，因此 AC = 5 2.24 .因为 AC2.24()2.2，所以木板能斜着从门框内通过.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形 ABCD 的问题，再把长方形 ABCD 转化成 RtABC，运用 勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长 3m，宽 1.5m，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材 P25 例 2.（2）自学时间：6 分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问 题的办法.（4）自学提纲：由梯子的原来位置构成的 RtAOB，可求得 OB=1.由梯子顶端下滑至 C 的位置时，又构成 RtCOD，且 CD 长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得 OD 1.77.可看出，BD=OD-OB，求 BD，必先求出 OB、OD，在 RtAOB 中，OB 2 =AB 2 -OA2 =2.62 -2.42，OB = 1.在 RtCOD 中， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5 )2，OD 1.77 .BD=OD-OB0.77.梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米，梯子的底端 B 外移 0.77 米. 2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚. 差异指导：由线段和差关系如何表示 BD；梯子与墙面地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材 P26 到 P27 练习以上的内容.（2）自学时间：8 分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：教材 P26 思考中的证明：先用勾股定理证得 BC=BC，再用 SSS 公理判定ABCABC. 长为 13 的线段是直角边为正整数 3，2 的直角三角形的边长.在数轴上画出表示 13 的点，方法如下：在数轴上找到点 A，使 OA=3，作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB=2，以原点 O 为圆心，OB 为半径画弧与数轴的正半轴的交点 C，点 C 即为表示 13 的点.完成 27 练习题.2.自：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活 中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而 言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出 已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范 性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12 分钟满分：100 分)一、基础巩固（50 分）1.(20 分)求出下列直角三角形中未知的边.答案： AC= 8 AB=17 BC=1,AC= 3BC= 2 ,AC= 22.(10 分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为 7 和 8，则以斜边为边长的正方形的面 积为 15.3.(10 分)如图，池塘边有两点 A,B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上的一点，现测得 CB=60m,AC=20m. 求 A，B 两点间的距离(结果取整数).解：AB =BC2-AC2=602-202=40 2 57 (m)第 3 题图第 4 题图4.(10 分)如图，在平面直角坐标系中有两点 A(5，0)和 B(0，4)，求这两点间的距离. 解：AB = OA2 +OB 2 = 5 2 +4 2 = 41二、综合运用（20 分）5.(10 分)如图，BAC=90,ADBC,BC=4cm,B=60,求 AD,BD 的长. 解：在 ABC 中B=60，AB=12BC=2(cm).1在 RtABD 中，ADB=90,B=60,BD= AB=1(cm), AD =AB22-BD2= 3 (cm).6.(10 分)在数轴上作出表示 20 的点.点 A 即为表示 20 的点.三、拓展延伸（30 分）7.(15 分)印度数学家什迦罗(1141 年-1225 年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生 红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个 问题.(如图)解：设水深为 h 尺.1由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,OB=OA=OC+AC=h+ .2由勾股定理得：OB2=OC2+BC2,即(h+ 15 15解得 h=.水深 尺4 412)2=h2+22,8.(15 分)有 5 个边长为 1 的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用 虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图 1 中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图 2 的摆法拼接，则可得到一个面积为 5 的大正方形.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。他曾尝试吃过蚯蚓、蜥蜴， 在墨西哥斗牛场亮过相，闯荡过非洲的原始森林，两次世界大战都上了战场。第一次世界大战时，19 岁的 他见一意大利士兵负伤，便冒着奥军的炮火上去抢救，结果自己也被炸伤了腿，但他仍背着伤员顽强前进。 突然间，炮击停止，探照灯大亮，海明威终于回到阵地。原来是他的英勇行为感动了奥军将领，下令放他 过去。
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