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第5讲导数与函数零点、不等式问题,高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.,真 题 感 悟,因为x1x2，所以x1x2256.,所以g(x)在256，)上单调递增，故g(x1x2)g(256)88ln 2，,即f(x1)f(x2)88ln 2.,1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：,考 点 整 合,3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)，x(a，b).,(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0 (xI). xI，使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI). 对x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 对x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min. 温馨提醒解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.,探究提高1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题. 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解. 2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.,【训练1】 设函数f(x)x3ax2bxc. (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.,解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.,f(0)c，f(0)b，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.,(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.,(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.,由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，,(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数.,故(x)在x1处取得极小值，也是最小值.(x)min(1)0.,综上，当a1时，f(x)min1a；,当x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；,当xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数.,当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；,所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.,f(x)minf(e)e(a1)，又g(x)(1ex)x.,(2)由题意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值.,由(1)知f(x)在e，e2上单调递增，,探究提高1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性. (2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化. 2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.,【训练2】 (2018全国卷)已知函数f(x)exax2. (1)若a1，证明：当x0时，f(x)1； (2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.,(1)证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.,(2)解设函数h(x)1ax2ex.,()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；,()当a0时，h(x)ax(x2)ex.,当x(0，2)时，h(x)0.,所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增.,f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点.,1.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解. 2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.,3.利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口. 4.不等式恒成立、能成立问题常用解法 (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)max或af(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论. (3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.,
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