专题五平面解析几何(1)

专题五 平面解析几何 第一讲 直线和圆的方程聚焦高考命题要点：（1）直线方程的各种形式；（2）直线方程的几个特征值的运用（如倾斜角、斜率、截距、方向向量、法向量等）；（3）圆方程的两种形式；（4）直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系的应用。命题趋势：（1）直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距等）有关问题，可与三角知识联系；（2）圆的方程的考查主要是圆的两种程方程的确定，特别是待定系数法确定圆的方程。（3）直线与圆、圆与圆的位置关系要注重用几何法处理相关问题，要注意培养数形结合的数学思想。考点整合1倾斜角：一条直线L与X轴相交时，将X轴绕交点向逆时针方向旋转与L重合时所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角，当直线L与X轴平行或重合时规定倾斜角为0，所以倾斜角的范围为。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在.说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 斜率与倾斜角的关系如图：3.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1x2，则直线P1P2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900。4.方向向量：当向量与直线L平行时，称此向量为方向向量。斜率k=5.法向量：当向量与直线垂直时，称此向量为法向量。斜率k=6直线方程的六种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式点法式A、B不能同时为零截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零7. 两条直线的位置关系：（1）当直线方程为、时，若，则；若、重合，则；若，则。（2）当两直线方程为时，若，则；若、重合，则；若，则。 说明：利用斜率来判断两条直线的位置关系时，必须是在两直线斜率都存在的前提下才行，否则就会得出错误结论，而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。8几个距离公式（1）两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=（2）点到直线的距离公式：点A（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离(3)平行线间的距离公式：设两平行线方程为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则它们之间的距离9圆的方程(1)圆的标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程为。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。（2）圆的一般方程：，圆心为点，半径，其中。说明：二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：、项项的系数相同且不为0，即；、没有xy项，即B=0；、。10.直线与圆的位置关系有三种 ：设圆心到直线的距离为d,半径为r,则 ; ; 11.圆和圆的位置关系有五种：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，典例剖析【例1】（1）若直线l的方程是y = x+ 2，则（）A.一定是直线l的倾斜角B. 一定不是直线l的倾斜角C.一定是直线l的倾斜角D. 不一定是直线l的倾斜角解析：设倾斜角为，则 ，而是任意角，所以选D。(2)若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有( )A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2解析：由倾斜角和斜率的关系可知，l1的斜率为负且最小，l2的斜率比l3的斜率大且为正数，所以选D(3)设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A.k或k-4B.k或k- C.-4kD.- k4解析：易算出，若直线l要与线段AB相交，由数形结合易知选A.(4)若为三角形中最大内角，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 解析：是三角形中的最大内角， 直线的斜率它的倾斜角的范围是，选A方法提炼倾斜角和斜率的关系符合“正切函数在和上均递增”这一性质，且在上斜率为正，在上斜率为负，注意数形结合思想的运用。【例2】（1）（2008四川.理4）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( ).解析：直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰，D 又将向右平移个单位得，即 故选A；（2）已知直线在两轴上的截距之和是2，并且经过(2，3 ) ，则直线方程为( ) A3x2y + 12 = 0 B. x + y1 = 0 C.x2y + 4 = 0或3x + y3 = 0 D. 2y3x12 = 0或y = 1x解析：设直线的方程为截距式，则有解得a=b=1或a=-4,b=6,所以选D方法提炼要注意根据题目条件灵活选择适当的直线形式，要注意待定系数法这一方法的应用。 【例3】 已知直线和点，过点做直线与已知直线l1相交于点，且，求直线的方程。 解析：过点与轴平行的直线为，解方程 求得点坐标为，此时，即为所求。设过且与轴不平行的直线为：，解方程组 得两直线交点为（，否则与已知直线平行） 由已知 解得， 即为所求方法提炼利用待定系数法设直线方程时要注意方程形式的条件，解题时一般先考虑特殊情形。【例4】已知直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。 解析：设所求直线的方程为， 直线过点P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程组，得：或 故所求直线的方程为：，或。 即，或 方法提炼 要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： （1）从点的坐标或中直接观察出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。【例5】（1）过点作直线l交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当取最小值时，求直线l的方程解析：设l：（k0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是（ ）A相交 B.相切 C.相离 D.不能确定解析：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=P（x0，y0）在圆内，r，故直线和圆相离选C.7.设、，点P在x轴上，则的最小值是_解析：取A点关于x轴的对称点，则最小值为8.实数满足(13)，则的最大值、最小值分别是_解析: 设，因为线段的两端点为（1，-1），（3，2），所以-1k,答案最大值为,最小值为-1.9.曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点,则实数k的取值范围是_解析: 曲线表示半圆,直线过定点（2，4），由数形结合，当线圆相切时k=,有两个交点需k10.圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为_解析：圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得圆心在y=3这条直线上又已知圆心在直线2xy7=0上，联立y=3，2xy7=0 解得x=2，圆心为（2，3），半径r=|AC|=所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=511.已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由.解析:设直线L的斜率为，且L的方程为y=x+b,则消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,则中点为，又弦长为，由题意可列式解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意所以所求直线方程为y=x+112.自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程解析：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C的方程为，其圆心C（2，-2），则与圆C相切，设: y-3=k(x+3),，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=012