二次函数——定值问题

专题九：二次函数之定值问题l 坐标为定值例题1 ：抛物线yx2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C（1）如图1，若OB2OA2OC求抛物线的解析式；若M是第一象限抛物线上一点，若cosMAC，求M点坐标（2）如图2，直线E Fx轴与抛物线相交于E、F两点，P为E F下方抛物线上一点，且P（m，2）若EPF90，则E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由练习1 如图1，抛物线y（xm）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，SOAB1（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若BAOPCD，求证：AC2AD；（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标l 线段之和为定值例题1 ：如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A 、 B 两点，其中点 A 坐标为 (1,0) ，与 y 轴交于点 C(0,3) . （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接 AC ，点 P 在抛物线上且满足 PAB=2ACO .求点 P 的坐标； （3）如图，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ 、 BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、 N .请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 练习1 ：抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方 （1）若P（1，3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；若D是抛物线上一点，满足DPO=POB，求点D的坐标； （2）如图，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由 l 面积为定值例题1 ：如图，已知抛物线交x轴于AB两点，交y轴于C点，A点坐标为（1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式； （2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； （3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标 练习1 . 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。l 比例为定值例题1 ：如图，已知抛物线 y=ax223ax9a 与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N （1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点P坐标； （3）证明：当直线l绕点D旋转时， 1AM+1AN 均为定值，并求出该定值 练习1 . 如图，在平面直角坐标系x O y中，一次函数 y=54x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1 ， y1），M2（x2 ， y2）两点，试探究 M1PM2PM1M2 是否为定值，并写出探究过程8