工业系统工程回归分析

相关和回归分析研究系统的相互联系、测定其联系的紧密程度、揭示其变化的具体形式和规律性的统计方法，是构造各种系统模型、进行系统结构分析、预测和控制的重要工具。8/27/20221 1【主要内容】l一、相关和回归分析的基本概念一、相关和回归分析的基本概念l二、一元线性回归分析二、一元线性回归分析l三、多元线性回归分析三、多元线性回归分析l四、非线性回归分析四、非线性回归分析8/27/20222一、相关和回归分析的基本概念一、相关和回归分析的基本概念 出租汽车费用与行驶里程：出租汽车费用与行驶里程：总费用总费用=行驶里程行驶里程 每公里单价每公里单价2.家庭收入与恩格尔系数：家庭收入与恩格尔系数：家庭收入高，则恩格尔系数低。家庭收入高，则恩格尔系数低。相关关系相关关系8/27/20223函数关系和相关关系函数关系和相关关系8/27/20224 指变量之间存在着确定性依存关系。当一指变量之间存在着确定性依存关系。当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变量必然有一个确定值与之对应量必然有一个确定值与之对应。2:rS圆面积例函数关系可以用一个确定的公式，即函数式函数关系可以用一个确定的公式，即函数式),(21nxxxfy来表示。来表示。8/27/20225 指变量之间存在着非确定性依存关系。即指变量之间存在着非确定性依存关系。即当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变量可能有多个不同值与之对应个变量可能有多个不同值与之对应。例、根据消费理论，商品需求量例、根据消费理论，商品需求量Q与商品与商品价格价格P、居民收入、居民收入I之间具有相关关系：之间具有相关关系：21bbIaPQ相关相关关系，可用模型关系，可用模型 来表示。来表示。),(21nxxxfy8/27/20226相关分析和回归分析相关分析和回归分析8/27/20227相关系数与判定系数相关系数与判定系数在在的条件下，用以反映的条件下，用以反映两变量两变量 间间 密切程度的指密切程度的指标，用标，用r表示表示2222222)(yynxxnyxxynnyynxxnyyxxSSSryxxy8/27/20228相关系数与判定系数相关系数与判定系数相关系数相关系数r r的取值范围：的取值范围：r0 为为正相关，正相关，r 0 为负相关；为负相关；|r|=0 表示不存在表示不存在关系；关系；|r|1 表示表示完全完全相关；相关；|r|0.4 为低度线性相关；为低度线性相关；0.4|r|0.7为显著性线性相关；为显著性线性相关；0.7|r|1.0为高度显著性线性相关。为高度显著性线性相关。8/27/20229 r r2 2 越接近于越接近于1 1，表明，表明x x与与y y之间的相关性越强；之间的相关性越强；r r2 2 越接近于越接近于0 0，表明两个变量之间几乎没有，表明两个变量之间几乎没有直线相关关系直线相关关系.相关系数与判定系数相关系数与判定系数是相关系数的平方，用是相关系数的平方，用 r r2 2 表示；用表示；用来衡量回归方程对来衡量回归方程对y y的解释程度。的解释程度。102 r判定系数取值范围：判定系数取值范围：8/27/2022109520.09757.09757.0625261751691655086166259163788716)(26175,55086,37887,625,916,162222222222 ryynxxnyxxynryxxyyxn解：已知结论：结论：工业总产值与能源消耗量之间工业总产值与能源消耗量之间存在高度的正相关关系，能源消耗量存在高度的正相关关系，能源消耗量x的变化能够解释工业总产值的变化能够解释工业总产值y变化的变化的95.2。8/27/202211二、一元线性回归分析二、一元线性回归分析l1 1、标准的一元线性回归模型、标准的一元线性回归模型l2 2、一元线性回归模型的估计、一元线性回归模型的估计l3 3、一元线性回归模型的检验、一元线性回归模型的检验 l4 4、一元线性回归模型预测、一元线性回归模型预测 8/27/202212一一 元元线线性性回回归归Simple Linear regression回归分析的种类回归分析的种类8/27/2022131 1、标准的一元线性回归模型、标准的一元线性回归模型l(一一)总体回归函数总体回归函数 t t 1 1 2 2t tu ut t u u t t是是随机误差项随机误差项，又称，又称随机干扰项随机干扰项，它是一个特殊的随机，它是一个特殊的随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对变量，反映未列入方程式的其他各种因素对的影响。的影响。l(二二)样本回归函数样本回归函数:，.n.n t t称为称为残差残差，在概念上，在概念上，t t与总体误差项与总体误差项u ut t相互对应；相互对应；是是样本的容量。样本的容量。tteXY 21 8/27/202214样本回归函数与总体回归函数区别样本回归函数与总体回归函数区别l总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的，总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。l总体回归函数中的总体回归函数中的 1 1和和 2 2是未知的参数，表现为常数。而样本回归函是未知的参数，表现为常数。而样本回归函数中的数中的 是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。而变动。l总体回归函数中的总体回归函数中的u ut t是是t t与未知的总体回归线之间的纵向距离，它与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的是不可直接观测的。而样本回归函数中的t t是是t t与样本回归线之间与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出t t的具体数值。的具体数值。t21 和和8/27/202215误差项的标准假定误差项的标准假定l假定假定：误差项的期望值为零误差项的期望值为零:（u ut t）。l假定假定：误差项的期望值为常数：误差项的期望值为常数:Var(u:Var(ut t)。l假定假定：误差项之间不存在序列相关误差项之间不存在序列相关,协方差为零协方差为零:Cov(u Cov(ut tu us s)()。l假定假定：自变量是给定变量，与误差项线性无关。：自变量是给定变量，与误差项线性无关。l假定假定：随机误差项服从正态分布。：随机误差项服从正态分布。满足以上标准假定的一元线性回归模型，称为标准的一元线满足以上标准假定的一元线性回归模型，称为标准的一元线性回归模型。性回归模型。28/27/2022162 2、一元线性回归模型的估计、一元线性回归模型的估计)(YEX截距截距斜率斜率一元线性回归方程的可能形态一元线性回归方程的可能形态 2为正为正 2为负为负 2为为0 xy 21 8/27/202217 XYEY21 以样本统计量估计总体参数以样本统计量估计总体参数斜率（回归系数）斜率（回归系数）截距截距截距截距1 表示在没有自变量表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素的影响时，其它各种因素对因变量对因变量y的平均影响；的平均影响；回归系数回归系数2 表明自变量表明自变量x每变每变动一个单位，因变量动一个单位，因变量y平均变动平均变动b个单位。个单位。xy 21 估计的一元估计的一元线性回归方程线性回归方程8/27/202218回归系数的估计回归系数的估计min)(02yyyy8/27/202219回归系数的估计回归系数的估计-最小二乘法最小二乘法22122)()(tttttXYYYeQ 0)(221ttXY 0)(221 tttXYX ttttttYXXXYXn22121 标准方标准方程组程组8/27/202220l根据整理方程求解可得：根据整理方程求解可得：XYnXnYXXnYXnttttttttYX221222)(8/27/202221l上述进行回归分析的方法可称为：上述进行回归分析的方法可称为：最小最小平方法平方法通过使残差平方和通过使残差平方和为最小来估计回归为最小来估计回归系数的一种方法，系数的一种方法，又称最小二乘法。又称最小二乘法。8/27/202222,55086,37887,625,916,162xxyyxn由计算表知xy218/27/2022235142.6169167961.0166257961.091655086166259163788716212222 xyxxnyxxynxy7961.05142.68/27/202224 总体方差的估计总体方差的估计222 netS0 te0ttXe该式中，分母是自由度，其中是样该式中，分母是自由度，其中是样本观测值的个数，是一元线性回归本观测值的个数，是一元线性回归方程中回归系数的个数。在一元线性方程中回归系数的个数。在一元线性回归模型中，残差回归模型中，残差t t必须满足必须满足:因而失去了两个自由度，所以其自由度为因而失去了两个自由度，所以其自由度为。2 2 的正平方根又称做的正平方根又称做回归估计标准误差回归估计标准误差。8/27/202225回归估计标准误差回归估计标准误差(S)是因变量各实际值与其估计值之间的是因变量各实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对各实平均差异程度，表明其估计值对各实际值代表性的强弱；其值越小，回归际值代表性的强弱；其值越小，回归方程的代表性越强，用回归方程估计方程的代表性越强，用回归方程估计或预测的结果越准确。或预测的结果越准确。8/27/20222622)(2122nxyyynyyS回归估计标准误差回归估计标准误差S的简化计算：的简化计算：8/27/202227亿元，且知解：已知457.227961.0,5142.626175,37887,625,16212212nxyyySyxyyn8/27/202228 最小二乘估计量的性质最小二乘估计量的性质q残差之和为零残差之和为零q所拟合直线通过样本散点图的重心所拟合直线通过样本散点图的重心q误差项与解释变量不相关误差项与解释变量不相关q1 1与与2 2 分别是总体回归系数的无偏估计量分别是总体回归系数的无偏估计量q1 1与与2 2 均为服从正态分布的随机变量均为服从正态分布的随机变量)(,()(1(,(22222211 xxNxxxnNee 0 e),(yx0)(xxee2211)()(EE8/27/2022293 3、一元线性回归模型的检验、一元线性回归模型的检验回归模型的检验的种类回归模型的检验的种类理论意义检验理论意义检验一级检验一级检验二级检验二级检验8/27/202230 回归模型的检验的种类回归模型的检验的种类l理论意义检验理论意义检验主要涉及参数估计值的符号和取值区间。主要涉及参数估计值的符号和取值区间。l如果它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验不相符，就如果它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验不相符，就说明模型不能很好地解释现实的现象。说明模型不能很好地解释现实的现象。l常常会遇到理论意义检验不能通过的情况，主要原因是：常常会遇到理论意义检验不能通过的情况，主要原因是：社会经济的统计数据无法像自然科学中的统计数据那样通社会经济的统计数据无法像自然科学中的统计数据那样通过有控制的实验去取得过有控制的实验去取得;观测的样本容量偏小，不具有足够代表性观测的样本容量偏小，不具有足够代表性;不满足标准线性回归分析所要求的假定条件。不满足标准线性回归分析所要求的假定条件。8/27/202231l一级检验一级检验又称又称统计学检验统计学检验，它是利用统计学的抽样，它是利用统计学的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性。理论来检验样本回归方程的可靠性。分为拟合程度评价和显著性检验。分为拟合程度评价和显著性检验。一级检验是对所有现象进行回归分析时都必须通一级检验是对所有现象进行回归分析时都必须通过的检验。过的检验。l二级检验二级检验又称又称经济计量学检验经济计量学检验，对标准线性回归模，对标准线性回归模型的假定条件能否得到满足进行检验，包括序列相型的假定条件能否得到满足进行检验，包括序列相关检验、异方差性检验等。关检验、异方差性检验等。8/27/202232 拟合程度的评价拟合程度的评价 l拟合程度拟合程度，是指样本观测值聚集在样本，是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧密程度。回归线周围的紧密程度。l判断回归模型拟合程度优劣最常用的数判断回归模型拟合程度优劣最常用的数量指标是量指标是可决系数可决系数(又称又称决定系数或判决定系数或判定系数定系数)。l可决系数可决系数是建立在对总离差平方和进行是建立在对总离差平方和进行分解的基础上的。分解的基础上的。8/27/20223310名学生的身高与体重散点图10名学生的身高与体重散点图40404545505055556060656570707575158158 160160 162162 164164 166166 168168 170170 172172 174174 176176 178178身高（X）身高（X）体重（Y）体重（Y）yy yytyytyy2)(yySSTt2)(yySSEt2)(yySSR误差平方和误差平方和回归回归平方和平方和总离差平方和总离差平方和8/27/202234 222)()(yyntSSTyy2222)()()(xxnyxxyntSSRyy 2212)()(xyyySSEtt 总离差平方和总离差平方和回归平方和回归平方和残差平方和残差平方和8/27/202235222)()(11yyyySSTSSESSTSSRr可决系数可决系数8/27/202236 显著性检验显著性检验l回归分析中的显著性检验包括两方面的内容回归分析中的显著性检验包括两方面的内容:对各回归系数的显著性检验，通常采用对各回归系数的显著性检验，通常采用 t 检验检验;对整个回归方程的显著性检验，通常采用在方差分对整个回归方程的显著性检验，通常采用在方差分析基础上的析基础上的 F 检验。检验。l在一元线性回归模型中，由于只有一个解释变量，对在一元线性回归模型中，由于只有一个解释变量，对回归系数的回归系数的 t 检验与对整个方程的检验与对整个方程的F检验是等价的。检验是等价的。l回归系数的显著性检验，就是根据样本估计的结果对回归系数的显著性检验，就是根据样本估计的结果对总体回归系数的有关假设进行检验。总体回归系数的有关假设进行检验。8/27/202237),()(2111111 NZ )2(2ntSiiti总体分布形式总体分布形式检验统计量检验统计量),()(2222222 NZ 8/27/20223820:0:,05.0,162120HHn提出假设：解：已知6662.160478.007961.02222St0478.0537.51457.2:2XXSSt其中1448.2)216(t:0.025分布表查 t 以上计算的以上计算的t值远大于临界值，故拒绝原假设，接受备值远大于临界值，故拒绝原假设，接受备择假设，即认为能源消耗量对工业总产值的影响是显著的。择假设，即认为能源消耗量对工业总产值的影响是显著的。8/27/202239 一元线性回归模型的估计与预测一元线性回归模型的估计与预测ffXY21预测公式估计的前提：估计的前提：回归方程经过检验，证明回归方程经过检验，证明 X 和和 Y 的关系在统计上是显著相关的。的关系在统计上是显著相关的。对于给定的对于给定的 X X 值，求出值，求出 Y Y 平均值的一个平均值的一个估计值或估计值或 Y Y 的一个个别值的预测值。的一个个别值的预测值。对于给定的对于给定的 X X 值，求出值，求出 Y Y 的平均值的的平均值的置置信区间信区间或或 Y Y 的一个个别值的的一个个别值的预测区间预测区间。8/27/202240点估计点估计bxayyx0 xxy7961.05142.6对于若若 x=80（十万吨），则：（十万吨），则：亿元1738.57807961.05142.6y8/27/202241区间估计：区间估计：ybxayx对于给定的对于给定的 x=x0，Y 的的1-置信区间为：置信区间为：yty208/27/202242l区间估计：区间估计：在置信度为在置信度为1，自由度为，自由度为n-2下的下的 Yf 预测区间为预测区间为其中：其中：)()(2211xxxxStfnSefStYnef)2(28/27/202243亿元亿元置信区间为置信区间为则置信区间为分布表可以知查解764.62 2228.51 9510.51738.57 951.51738.57 814.21148.21738.57 1148.22162 814.295.2644)25.5780(1611457.2112205.02222)()(:fffYYeStYtntttfnSeffxxxxS8/27/202244三、多元线性回归分析三、多元线性回归分析tktkttuXXY221),3,2,1(221nteXXYtktktt总体回归函数总体回归函数:样本回归函数样本回归函数:在一元线性回归分析假定的基础上，追加一条：在一元线性回归分析假定的基础上，追加一条：回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系。回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系。：1 1、标准的多元线性回归模型、标准的多元线性回归模型8/27/202245误差项的标准假定误差项的标准假定l假定假定：误差项的期望值为零误差项的期望值为零:（u ut t）。l假定假定：误差项的期望值为常数：误差项的期望值为常数:Var(u:Var(ut t)。l假定假定：误差项之间不存在序列相关误差项之间不存在序列相关,协方差为零协方差为零:Cov(u Cov(ut tu us s)()。l假定假定：自变量是给定变量，与误差项线性无关。：自变量是给定变量，与误差项线性无关。l假定假定：随机误差项服从正态分布。：随机误差项服从正态分布。满足以上标准假定的一元线性回归模型，称为标准的一元线满足以上标准假定的一元线性回归模型，称为标准的一元线性回归模型。性回归模型。28/27/202246l二元线性回归模型二元线性回归模型 式中式中,为二元回归估计值为二元回归估计值;为为x x1 1和和x x2 2构成的平面在构成的平面在y y轴上的截矩；轴上的截矩；和和 分别分别为为y y对对x x1 1和和x x2 2的回归系数。的回归系数。二元直线回归模型二元直线回归模型23121XXyy1238/27/202247l确定确定 、数值用最小二乘法，即选取数值用最小二乘法，即选取 、和和 的数值使得的数值使得 二元直线回归的估计二元直线回归的估计2231212)()(xxyyyQ22321221221321211123121xxxxyxxxxxyxxxny123123为最小值，根据数学中的极值原理可推导出标准方程组为最小值，根据数学中的极值原理可推导出标准方程组:8/27/202248219557.01056.02542.0XXy建立二元直线回归方程为建立二元直线回归方程为:9557.01056.02542.0321解得解得:3213213219.5577.8186779.3507.81861207621146.5211771114121.47 将推算结果代入标准方程组，得将推算结果代入标准方程组，得:8/27/202249多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计l同样可采用最小二乘法，设：同样可采用最小二乘法，设：对对 ，求偏导数，令其为零，可以得求偏导数，令其为零，可以得 到标准方程组：到标准方程组：22212)()(ktktttttXXYYYeQ 12k 8/27/202250l标准方程组：标准方程组：tktkktttktkttktktYXXXXXYXXXXXYXXnktktttt221222212212228/27/202251多元线性回归模型的矩阵形式多元线性回归模型的矩阵形式nyyyY21knnkkxxxxxxX2222121111nU21KB21nyyyY21kB21neeee218/27/202252总体回归函数：总体回归函数：UXBYeBXY样本回归函数：样本回归函数：标准方程组：标准方程组：)()(XXBXX由标准方程组，可得回归系数的估计：由标准方程组，可得回归系数的估计：XYXXB1)(8/27/202253多元线性回归模型总体方差的估计多元线性回归模型总体方差的估计 标准的多元线性回归模型中，高斯标准的多元线性回归模型中，高斯-马马尔可夫定理同样成立。尔可夫定理同样成立。knetS 22S2的正平方根的正平方根S为为回归估计标准误差回归估计标准误差8/27/202254l拟合程度的评价：拟合程度的评价：一元线性回归分析中总一元线性回归分析中总离差平方和的分解公式依然成立。离差平方和的分解公式依然成立。222)()(11yyyySSTSSESSTSSRR多元线性回归模型的检验和预测多元线性回归模型的检验和预测l 注意：注意：在样本容量一定的条件下，总离差平方和与在样本容量一定的条件下，总离差平方和与自自 变量的个数无关，而残差平方和则会随着模型中自变量的个数无关，而残差平方和则会随着模型中自变量个数的增加不断减少，至少不会增加。变量个数的增加不断减少，至少不会增加。8/27/202255修正自由度的可决系数修正自由度的可决系数 考虑到考虑到 SSE SSE受自变量个数的影响，对可决系数受自变量个数的影响，对可决系数进行修正：进行修正：)1(11)1()()(12222ReknnnyyknRt22RR8/27/202256多元回归模型的显著性检验多元回归模型的显著性检验回归系数的回归系数的显著性检验显著性检验t检验，检验，检验与各回归系数对应的自变量检验与各回归系数对应的自变量对因变量的影响是否显著，以便对自变对因变量的影响是否显著，以便对自变量的取舍作出正确的判断。量的取舍作出正确的判断。一般来说，当发现某个自变量的影响不一般来说，当发现某个自变量的影响不显著时，应将其从模型中删除。显著时，应将其从模型中删除。回归方程的回归方程的显著性检验显著性检验F 检验，检验，检验回归模型总体函数的线性检验回归模型总体函数的线性关系是否显著。关系是否显著。其实质就是判断回归平方和与残差平方其实质就是判断回归平方和与残差平方和之比值的大小问题。和之比值的大小问题。8/27/202257回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验F F 检验检验1 1。建立假设：。建立假设：H H0 0 ：=0 =023k。判断：。判断：若若 ，拒绝原假设；，拒绝原假设；若若 ，接受原假设。，接受原假设。FF FF SST=SST=总离差平方和总离差平方和SSE/(n-k)SSE/(n-k)n-kn-kSSE=SSE=残差平方和残差平方和SSR/(k-1)SSR/(k-1)k-1k-1SSR=SSR=回归平方和回归平方和方差方差自由度自由度平方和平方和离差名称离差名称2)YYt（2te2)YYt（2 2。进行方差分析，列出方差分析表：。进行方差分析，列出方差分析表：)()1(knSSEkSSRF 3 3。计算检验统计量：。计算检验统计量：8/27/202258多元回归预测多元回归预测l多元线性回归预测与一元线性回归预测的原理多元线性回归预测与一元线性回归预测的原理是一致的。是一致的。基本公式为：基本公式为：式中，式中，X Xjf jf(j=2,3,k)(j=2,3,k)是给定的是给定的X Xj j在预测期的具体数值；在预测期的具体数值；是已是已估计出的样本回归系数；估计出的样本回归系数；是是X Xj j给定时的预测值。给定时的预测值。kfkffXXY 221 fYj8/27/202259四、非线性回归分析四、非线性回归分析非线性回归模型的确定：非线性回归模型的确定：选择非线性函数的具体形式。选择非线性函数的具体形式。l非线性回归函数有多种多样的具体形式，需要根据非线性回归函数有多种多样的具体形式，需要根据所要研究的问题的性质并结合实际的样本观测值作所要研究的问题的性质并结合实际的样本观测值作出恰当的选择。出恰当的选择。确定估计函数中的参数。确定估计函数中的参数。l最常用的方法仍然是最小二乘估计法。最常用的方法仍然是最小二乘估计法。当自变量与因变量存在某种曲线相关关系时，可拟合曲当自变量与因变量存在某种曲线相关关系时，可拟合曲线回归模型。线回归模型。8/27/202260非线性回归模型的确定非线性回归模型的确定 方程形式应与相应的基本理论相一致。方程形式应与相应的基本理论相一致。方程有较高的拟合程度。方程有较高的拟合程度。方程的数学形式要尽可能简单。方程的数学形式要尽可能简单。基本原则基本原则8/27/202261常用非线性回归模型常用非线性回归模型抛物线函数模型抛物线函数模型双曲线函数模型双曲线函数模型幂函数模型幂函数模型指数函数模型指数函数模型对数函数模型对数函数模型S S型曲线函数模型型曲线函数模型多项式方程模型多项式方程模型2bxbxaY)1(xbaYbkkbbxxaxY 2211xabY XbaYlnxbeaY1kkxbxbxbbY 22108/27/202262非线性回归模型的估计非线性回归模型的估计l即对模型中的相应参数作出估计即对模型中的相应参数作出估计l基本方法：基本方法：通过适当的变换，转化为线性回归函通过适当的变换，转化为线性回归函数，然后再利用线性回归分析的方法进行估计和数，然后再利用线性回归分析的方法进行估计和检验检验 。l常用线性变换方法常用线性变换方法 ：倒数变换倒数变换 、半对数变换半对数变换 、双对数变换双对数变换 、多项式变换多项式变换 。l注意：注意：转换为线性方程可使回归分析简单化，转转换为线性方程可使回归分析简单化，转换为线性方程也是需要有一定假设条件，转换为换为线性方程也是需要有一定假设条件，转换为线性方程有可能和原方程不等价。线性方程有可能和原方程不等价。8/27/202263非线性函数的线性变换：非线性函数的线性变换：倒数变换倒数变换 用新的变量来替换原模型中变量的倒数，用新的变量来替换原模型中变量的倒数，从而使原模型变成线性模型。从而使原模型变成线性模型。*ba,1),1(XYXXxbaY可有令对双曲线函数半对数半对数变换变换 应用于对数函数的线性变换。应用于对数函数的线性变换。*ba,lnX,lnXYXXbaY可有令对于对数函数8/27/202264双对数双对数变换变换 用新的变量来替换原模型中变量的对用新的变量来替换原模型中变量的对数，从而使原模型变换成线性模型。数，从而使原模型变换成线性模型。*kk2*22*110*k1*10*k22112211XblnXbXbblnX,lnXa;lnb;lnlnblnblnbalnln,XYXXYYXXXYxxaxYkkbkkbb则有令可有两边求对数对幂函数8/27/202265 多项式变换多项式变换 适用于多项式方程的变换。适用于多项式方程的变换。*66*55*44*33*22122*621*521*42*31*22262521423121bbbbbb,XX,X,XXbXbXXbXbXbb:1XXXXXYXXXXXXXY则有代入原方程令对二元二次多项式例如8/27/202266综合利用多种变换综合利用多种变换 适用于比较复杂的非适用于比较复杂的非线性函数的变换。线性函数的变换。*,11:bXaYeXYYbeaYxx则有代入原方程令对逻辑曲线函数例如8/27/202267线性变换线性变换要注意的问题要注意的问题:第一、比较复杂的非线性函数，需综合利用上述的几种方法。第二、变换得到的方程式中变量不允许包含未知的参数。第三、变换后的新模型中包含的误差项能够满足标准假定时，新模型中回归系数最小二乘估计量的理想性质才能成立。第四、严格地说，线性变换方法只适用于变量为非线性的函数。第五、并不是所有的非线性函数都可以通过变换得到与原方程完全等价的线性方程。8/27/2022688/27/202269序号序号能源消耗量能源消耗量（十万吨）（十万吨）x x工业总产值工业总产值（亿元）（亿元）y yx2x2y2y2xyxy1234567891011121314151635384042495254596264656869717276242524283231374041404750495148581225144416001764240127042916348138444096422546244761504151845776576625576784102496113691600168116002209250024012601230433648409509601176156816121998236025422560305534003381362134564408合计9166255508626175378878/27/202270回归预测的置信区间回归预测的置信区间YXffXY218/27/202271二元直线回归计算表二元直线回归计算表序号序号销售额销售额（万元）（万元）X X1 1流通费用流通费用（万元）（万元）X X2 2利利 润润（万元）（万元）Y YX X1 1y yX X2 2y yX X1 1X X2 2 X X1 12 2X X2 22 21234567891011123542546378891001101181231431593.23.54.24.75.56.15.97.47.88.110.210.41.01.52.32.02.84.14.85.15.45.45.17.635.063.0124.0126.0218.4364.9480.0561.0637.2664.2729.31208.43.205.259.669.4015.4025.0128.2337.7442.1243.7452.0279.04112.0147.0226.8296.1429.0542.9590.0814.0920.4996.311458.61653.612251764291639696084792110000121001392415129204492528110.2412.2517.6422.0930.2537.2134.8154.7660.8465.61104.04108.16合计合计11147747.15211.6350.908186.7120762557.908/27/202272