计算流体力学作业

计 算 流 体 力 学课 程 作 业任课教师：魏文礼姓名：学号：指导老师： 目录1.写出通用方程，并说明如何代表各类守恒方程。12.推导流体运动的质量、动量守恒方程。23.简述源项线性化、网格划分问题。54.用ddxKTx+S=0，谈谈边界条件如何处理。75.用有限体积法离散cTt=xKTx，并推广到二维、三维问题，写出过程。86.从不同角度对流体运动分类。117.谈谈物理模型试验与计算流体力学方法的关系。128.讨论离散对流项时离散格式的进化过程。139.利用幂函数格式离散二维、三维通用方程的离散方程。1410.解释交错网格的概念。1511.简述压力校正法解N-S方程的过程。1512.思考anbvnb为什么可以省去。171.写出通用方程，并说明如何代表各类守恒方程。答：(1)写出通用方程。在Cartesian坐标系下单位体积黏性流动N-S方程组微分形式如下：t+V=0 (1)ut+uV=u+13xV-px+Fx+Smx(2a)vt+(vV)=(v)+13yV-py+Fy+Smy(2b)wt+(wV)=(w)+13zV-pz+Fz+Smz(2c)et+eV=kT-pV+Q (3)上述微分形式黏性流动N-S方程组中，式(1)为连续性方程，式(2a)、(2b)、(2c)分别为x、y、z方向上的动量方程，式(3)为能量方程。上述方程组中各个方程具有不同变量，代表不同的守恒定律，但他们的形式都十分相似。若引入一个通用的特征变量，在不同的方程中代表不同的变量，就可以把它写为通用变量形式。非定常通用变量N-S方程为：()t+V=+S若流场中速度等物理量不随时间变化，则()t=0，可得定常通用变量N-S方程为：V=+S其中，为通用变量，可代表u、v、w、T等求解变量；为扩散和热传导系数，S为方程组源项。(2)用通用方程代表各类守恒方程用通用方程代表各类守恒方程是，通用变量在各守恒方程中的取值如表1所示。表1 在各守恒方程中通用变量的取值方程名称S连续方程100x-动量方程u13xV-px+Fx+Smxy-动量方程v13yV-py+Fy+Smyz-动量方程w13zV-pz+Fz+Smz能量方程ek-pV+Q其中，Fx、Fy、Fz为单位质量流体所受体积力在x、y、z方向上的分量，Smx、Smy、Smz为单位质量流体的质量源在x、y、z方向上的分量。2.推导流体运动的质量、动量守恒方程。答：(1)推导流体力学基本方程组的基本思路采用Eulerian法，在Cartesian坐标系下，设在时刻t，流场中任意一点(x,y,z)处，取固定不动的六面体单元为控制体，如下图所示。控制体边长为x、y、z,设流体密度为，某一流动量为。在t时间内，从x=x0的yz面上流入的流动量为utyz，从而取Taylor级数展开一阶式，得x=x0+x的yz面上流出的流动量为u+(u)xxtyz。同理,xz面和xy面上流入和流出的流动量也可得到类似的表达式。【注：utyz=sA=m】在t时间内，通过控制体各表面的流动量的净增量(对流增量)为：ux+vy+(w)ztxyz同时，在控制体内流动量的净增量(局部增量)为：()ttxyz两者之和就是流动量在t时间内，在控制体内流动量的总增量。对它除以txyz，就得到单位质量流动量随时间变化的总增量：1t+ux+vy+wz=1()t+(V)=DDt+1DDt+V (1)(2)流体运动的质量守恒方程对于该控制体，质量守恒定律可表达为：单位时间内微元体中流体质量的增加=同一时间间隔内流入该微元体的净质量把单位质量流体=1代入式(1)，可得Cartesian坐标系下单位质量流体连续方程：t+ux+vy+wz=0其矢量形式表达式为：t+V=0其张量形式表达式为：t+uixi=0其中，为流体密度，V为流动速度矢量，u、v、w是其在x、y、z方向上的分量，xi是空间点的坐标，ui为在t时刻xi点的速度分量，i=1,2,3。对于不可压缩流体，其流体密度为常数，连续性方程可简化为V=0.(3)流体运动的动量守恒方程对控制体分别在三个坐标方向上应用Newton第二定律ma=F在流体流动中的表现形式：微元体中流体动量的增加律=作用在微元体上各种力之和，并引入Newton切应力公式及Stokes表达式，则单位质量动量守恒方程为：DuDt=ut+uux+vuy+wuz=-1px+Fx+1xxx+xyy+xzz+SmxDvDt=vt+uvx+vvy+wvz=-1py+Fy+1yxx+yyy+yzz+SmyDwDt=wt+uwx+vwy+wwz=-1pz+Fz+1zxx+zyy+zzz+Smzxx=2ux+-23ux+vy+wz，xy=yx=vx+uyyy=2vy+-23ux+vy+wz，yz=zy=wy+vzyy=2wz+-23ux+vy+wz，zx=xz=uz+wx它的矢量形式表达式为：DVDt=Vt+uVx+vVy+wVz=-1p+F+Sm=xxxyxzyxyyyzzxzyyy它的张量形式表达式为：DuiDt=uit+ujuixj=-1pxi+Fi+1i,jxi+Smiij=uixj+ujxi+-23i,jukxk其中，p为流体压力，F为单位质量流体所受的体积力，Fx、Fy、Fz是其在x、y、z方向上的分量，Fi为其在时间t坐标xi点上的分量，i=1,2,3，为流体的黏性应力，i,j为其在i,j上的张量分量，i=1,2,3和j=1,2,3。为流体的动力黏性系数，为膨胀黏性系数。流体黏性系数和的大小是由流体分子的性质和分子间的相互作用决定的，它们是温度的函数。由于流体的值往往要比值小得多，一般情况下膨胀黏性系数是可以忽略的。上式中i,j为Kronecker符号，i,j=1，i=j0，ij；Sm为流体质量源，Smx、Smy、Smz是其在x、y、z方向上的分量，Smi为其在时间t坐标xi点上的分量，i=1,2,3。对于牛顿流体，流体黏性系数常常可看做是常数，并可忽略膨胀黏性系数，则动量守恒方程式可写为：DuDt=-1px+Fx+2ux2+2uy2+2uz2+3xux+vy+wz+SmxDvDt=-1py+Fy+2vx2+2vy2+2vz2+3yux+vy+wz+SmyDwDt=-1pz+Fz+2wx2+2wy2+2wz2+3zux+vy+wz+Smz其中，=为流体的运动黏性系数。它的矢量形式表达式为：DVDt=-1p+F+2V+3V+Sm其中，2=2x2+2y2+2z2。它的张量形式表达式为：DuiDt=uit+ujuixj=-1pxi+Fi+xjuixj+3xjujxj+Smi3.简述源项线性化、网格划分问题。答：(1)扩散基本方程源项的线性化非稳态的扩散方程或导热方程，对一个标量物理变量T可写成：cpTt=xiTxi+ST其中，ST是单位体积中的净源项，是对应于变量T的扩散系数。当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定源项为常数更合理，线性化处理又是建立线性代数方程所必需的。把源项局部线性化，亦即假定在未知量微小的变动范围内，源项ST可以表示为该未知量的线性函数。在控制容积P内，它可以表示为以下形式：ST=SC+SPTP (1)其中SC为常数部分，SP为ST随T而变化的曲线在P点的斜率，即图1中切线1的斜率。在有限容积方法中，对于一个控制容积P，式(1)为对标量TP的线性方程。当源项ST为一个非线性函数时，SC和SP两量也将变成标量TP的函数值，此时在数值计算中，我们不得不通过迭代来更新它们的值。在进行SC和SP线性化中，有许多方法可以选择，这其中有一种最佳的方法形式如下式所示：ST=S*+dSdT*Tp-Tp* (2)在此，假设ST为T的一阶可微函数、星号*表示当前时刻的估计值，如初始值或猜测值。比较式(1)和式(2)，可得到：SC=S*-dSdT*Tp*，SP=dSdT*为了保证代数方程迭代求解的收敛，SP0，此处要求SP0；若SP=0，则整个源项为SC。由代数方程迭代求解的公式TP=anbTnb+banb-SpV可见，Sp的大小影响到迭代过程中TP的变化，Sp的绝对值越大(SP2后，中心差分所解得的解将会失去物理意义，因为当2时，则2时会引起解得震荡；另一方面，如果把一维模型方程的精确解应用于两个相邻的节点之间，则可以发现界面上的扩散作用是与P有关的，P值越大，扩散作用越小，即扩散作用相对于对流作用越小，而这一迎风作用的特点在两种离散格式中都得不到反应，因此提出了一种混合格式来离散一维模型方程。这种格式综合了中心差分和考虑迎风作用的两方面因素。其定义式为：aEDe=0,Pe2 1-12Pe,-2Pe2-Pe,Pe2 下图给出了这样取值的理由。9.利用幂函数格式离散二维、三维通用方程的离散方程。答：一维问题的幂指数格式的通用形式为：aPP=aEE+aWW,aP=aW+aE+Fe-Fw，其中，aE=FeexpPe-1 aW=FwexpPwexpPw-1二维问题的幂指数格式离散方程为：aPP=aEE+aWW+aSS+aNN+b三维问题的幂指数格式离散方程为：aPP=aEE+aWW+aSS+aNN+aTT+aBB+b10.解释交错网格的概念。答：交错网格（staggered grid）就是将标量（如压力、温度和密度等）在正常的网格节点上存储和计算，而将速度的各分量分别放在错位后的网格上存储和计算，错位后的网格的中心位于原控制体积的界面上。这样计算，对于二维问题，就有三套不同的网格系统，分别用于存储x、y方向上的速度和压力。而对于三维问题，就有四套网格系统，分别存储x、y、z方向上的速度以及压力。所谓交叉网格就是指把速度u,v及压力p(包括其他所有标量场及物性参数)分别存储于三套不同网格上的网格系统。其中速度u存于压力控制容积的东、西界面上，速度v存在压力控制容积的南、北界面上，u,v各自的控制容积则是以速度所在位置为中心的，如下图所示。由图可见，u的控制容积与主控制容积（即压力的控制容积）之间在x方向有半个网格步长的错位，而v控制容积与主控制容积之间在y方向有半个网格步长的错位。交错网格这一名称即由此而来。11.简述压力校正法解N-S方程的过程。答：(1)基本思路在对于Navier-Stokes方程的离散形式迭代求解的任一上层次，可以给定一个压力场，它可以给是假定的或是上一层次计算所得出的。一个给定的正确的压力场应该使得计算得到速度场满足连续性方程。但是根据这样的给定的压力场计算而得到的速度场，未必能满足连续性方程，因此要对给定的压力场作改进，即进行修正，原则是：与改进后的压力场相对应的速度场能满足这一迭代层次上的连续性方程。据此来导出压力的修正值与速度的修正值，并以修正后的压力与速度开始下一层次的迭代计算。据此，可以把压力修正算法归纳为以下4个步骤：(a)假定一个压力场，记为p*；(b)利用p*，求解动量离散方程，得出相应的速度u*、v*；(c)利用质量守恒方程来改进压力场，并要求改进后的压力场对应的速度场能满足连续性方程要求；(d) 以p*+p以及u*+u、v*+v作为本层次的解并据此开始下层次的计算迭代。(2) 压力校正法解N-S方程的过程图A在时间间隔t内对主控制体（如上图A所示）做积分，且以代替，采用全隐格式，可得：将改进后的速度式代入整理可得关于P一阶导数的代数方程：其中,。12.思考anbvnb为什么可以省去。答：任一点上的速度的改进值由两部分组成：一部分是与该速度在同一方向上的相邻两节点间压力修正值之差，这是产生速度修正值的直接的动力；另一部分是由零点速度的修正值所引起的，这又可以视为四周压力的修正值对所讨论位置上速度改进的间接影响。这里我们认为在上述两个影响因素中压力修正的直接影响是主要的，四周邻点速度修正值的影响可近似地不予考虑，这就相当于假设在anbvnb中系数anb=0。17