概率论第二章习题及答案.ppt

习 题 课,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,随机变量,返回主目录,1. 了解随机变量的概念，会用随机变量表示随机事件。 2. 理解分布函数的定义及性质，会利用分布函数表示事件的概率。 3. 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常见的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。 4. 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，熟悉常见的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。 5. 了解随机变量函数的概念，会求随机变量的简单函数的分布。,要 求：,设E是一个随机试验，S是其样本空间若对每一个,为一个随机变量.,第二章 随机变量及其分布,一、 随机变量的定义,第二章 习题课,二、离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式为离散型随机变量 X 的分布律,离散型随机变量 X 的分布律还可列成下表,返回主目录,说 明,1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其可能取值以及取这些值的概率唯一确定,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量分布律的性质:,返回主目录,三、一些常用的离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,1) Bernoulli分布,如果随机变量 X 的分布律为,或,则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,返回主目录,Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布,2）二 项 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,3）Poisson 分布,如果随机变量 X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,5）超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,四、分布函数的定义及其性质,定义 设 X 是一个随机变量， 是任意实数，,称为 X 的分布函数,第二章 习题课,返回主目录,说明,函数,分 布 函 数 的 性 质,第二章 习题课,返回主目录,10 是一个不减的函数 ,20,30,五、连续型随机变量的概念与性质,第二章 习题课,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.,返回主目录,如果对于随机变量X 的分布函数 ， 存在非负实函数 ，使得对于任意 实数 ，有,第二章 习题课,概率密度 f(x) 具有以下性质：,返回主目录,说 明,这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.,第二章 习题课,返回主目录,六、一些常用的连续型随机变量,第二章 习题课,1均 匀 分 布,记作 X U a , b.,返回主目录,若随机变量 的密度函数为,均匀分布的分布函数,a,b,x,F (x),0,1,返回主目录,第二章 习题课,2指 数分布,如果随机变量 X 的密度函数为,4 连续型随机变量及其概率密度,返回主目录,3.正 态 分 布,x,f (x),0,（I）,第二章 习题课,特别地, 的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,第二章 习题课,七、随机变量的函数,第二章 习题课,返回主目录,注意：,1. 离散型随机变量的函数,返回主目录,第二章 习题课,第 一 种 情 形,返回主目录,第二章 习题课,第 二 种 情 形,返回主目录,第二章 习题课,2.连续型随机变量函数的分布,解 题 思 路,第二章 习题课,定理,设随机变量 X 具有概率密度,Y，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即,5 随机变量的函数的分布,返回主目录,则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量,5 随机变量的函数的分布,定理（续）,返回主目录,例1 某地区18岁的女青年血压的收缩压 （单位： ） 从该地区任意选出一名女青年，求 ； 如果从该地区任意选出10名女青年，发现其中有3名的收缩压超过95 ，问是否可以据此得到该地区女青年血压的收缩压偏高的结论（设 ，其中 是标准正态分布的分布函数）,第二章 习题课,解：,(1), 设,：10名女青年中收缩压超过95,的人数则,因此，,这是一个小概率事件，而小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了，因此可以据此判定该地区女青年血压的收缩压偏高,第二章 习题课,例2 一袋中有5个编号分别为1，2，3，4，5的乒乓球，从中任意地取出三个，以X表示取出的三个球中的最大号码，写出X的分布律和它的分布函数，并画出分布函数的图形,解：,的可能取值为3，4，5.,且P(X=3)=,=,P(X=4)=,=,P(X=5)=,=,X的分布函数为,第二章 习题课,例3 设随机变量 且 ，（1）试确定参数p;（2）求PX=1.,解：,第二章 习题课,例4 设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的 重量（单位：克）服从 分布，乙种鸡蛋单 只的重量（单位：克）服从 分布。设甲种 蛋占总只数的 ，今从该批鸡蛋中任选一只， (1)试求其重量超过55克的概率； (2)若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概率是多少？,解：设B=选出的鸡蛋是甲种鸡蛋，,A=选出的鸡蛋重量超过55克， X:甲种鸡蛋单只的重量， Y:乙种鸡蛋单只的重量.,=选出的鸡蛋是乙种鸡蛋,第二章 习题课,则,第二章 习题课,例5 设随机变量的分布函数为,（1）试确定常数A；（2）求X的分布律。,第二章 习题课,解：,(2) X的所有可能取值为-1，1，2，,第二章 习题课,1设随机变量XN(-1，1)，现在对X 进行4次 独立观测，试求4次观测值都大于0的概率.,设Y表示4次独立观测时观测值大于0的次数，则Yb(4,0.1587).,所求概率为,解：,练 习,第二章 习题课,2.甲，乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试推断他是猜对的，还是确有区分能力（设各次试验相互独立）,解：（1）A=成功一次，,（2）设此人没有区分能力，令Y=连续试验10次，成功的次数，则,第二章 习题课,解：（1）A=成功一次，,（2）设此人没有区分能力，令Y=连续试验10次，成功的次数，则,可见，猜对的概率很小，故此人确有区分能力。,第二章 习题课,