初二培优习题含答案

初二培优试题1已知，如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C的位置上，若1=60，AE=2（1）求2，3的度数（2）求长方形ABCD的纸片的面积S20.解：（1）ADBC，2=1=60；又4=2=60，3=1806060=60（2）在直角ABE中，由（1）知3=60，5=9060=30；BE=2AE=4，AB=2；AD=AE+DE=AE+BE=2+4=6，长方形纸片ABCD的面积S为：ABAD=26=122如图，直线y=x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y=x+10在第一象限内一个动点（1）求OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当OPA的面积为10时，求点P的坐标解（1）A（8，0），OA=8，S=OA|yP|=8（x+10）=4x+40，（0x10）（2）当S=10时，则4x+40=10，解得x=，当x=时，y=+10=，当OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）3如图，在ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AFBC交DE的延长线于F点，连接AD、CF（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ （1）证明：点D、E分别是边BC、AC的中点，DEAB，AFBC，四边形ABDF是平行四边形，AF=BD，则AF=DC，AFBC，四边形ADCF是平行四边形；（2）当ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，理由：点D是边BC的中点，ABC是直角三角形，AD=DC，平行四边形ADCF是菱形4如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE=AP（1）求证：ABEADP；（2）求证；BEDE； （1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=90，AEAP，EAP=90，EAB=PAD，在ABE和ADP中，ABEADP；（2）证明：ABEADP，APD=AEB，又AEB=AEP+BEP，APD=AEP+PAE，BEP=PAE=90，BEDE；5A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 解 根据题意得：（1）W=300x+500（6x）+400（10x）+80012（10x）=200x+8600（2）因运费不超过9000元 W=200x+86009000， 解得x2 0x6，0x2则x=0，1，2，所以有三种调运方案（3）0x2，且W=200x+8600，W随x的增大而增大当x=0时，W的值最小，最小值为8600元，此时的调运方案是：B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元6在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）2+=0（1）直接写出：a= ，b= ；（2）如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BEAC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？证明你的结论（3）在（2）的条件下，求直线BE的解析式 解：（1）（a+1）2+=0，a+1=0，b+3=0，a=1，b=3，（2）OB=OC，证明如下：如图，过O作OFOE，交BE于F，BEAC，OE平分AEB，EOF为等腰直角三角形，EOC+DOF=DOF+FOB=90，EOC=FOB，且OEC=OFB=135，在EOC和FOB中，EOCFOB（ASA），OB=OC；（3）EOCFOB，OCE=OBE，OB=OC，在AOC和DOB中，AOCDOB（ASA），OD=OA，A（1，0），C（0，3），OD=1，OC=3，D（0，1），B（3，0），设直线BE解析式为y=kx+b，把B、D两点坐标代入可得，解得直线BE的解析式为y=x17如图，A是MON边OM上一点，AEON（1）在图中作MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形OABC是菱形【考点】L9：菱形的判定；KB：全等三角形的判定【专题】13 ：作图题【分析】（1）角平分线的作法：用圆规以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线（2）本题可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明OABC是个平行四边形，然后证明OA=AB即可【解答】解：（1）如图，射线OB为所求作的图形（2）证明：OB平分MON，AOB=BOCAEON，ABO=BOCAOB=ABO，AO=ABADOB，BD=OD在ADB和CDO中ADBCDO，AB=OCABOC，四边形OABC是平行四边形AO=AB，四边形OABC是菱形【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定，性质及特殊四边形的判定问题，解决本题的关键是熟悉基本作图，熟悉特殊平行四边形的判定方法8如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=2x2（1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式；（2）求ABC的面积；（3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）设点P的坐标为（m，n），PBC的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围【考点】FF：两条直线相交或平行问题【分析】（1）设出直线l2的函数关系式，因为直线过B（4，0），D（0，4）两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式（2）A点坐标是l1与x轴的交点坐标，A点坐标是把l1，l2联立，求其方程组的解再求三角形的面积（3）设点P的坐标为（m，n），PBC的面积为S得出解析式解答即可【解答】解：（1）由y=2x+2，令y=0，得2x+2=0，x=1，C（1，0），设直线l2所对应的函数关系式为y=kx+b，由图象知：直线l2经过点B（4，0），D（0，4），解得，直线l2所对应的函数关系式为y=x+4； （2）由，解得，A（2，2），BC=3，SABC=32=3；（3）设点P的坐标为（m，n），PBC的面积为S，可得：S=，自变量的取值范围为：4m0【点评】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型9如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F（1）求证：ABFECF；（2）若AFC=2D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LC：矩形的判定【专题】14 ：证明题【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出ABDC，AB=DC，ABF=ECF，从而证得ABFECF；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AB=DC，ABF=ECF，EC=DC，AB=EC，在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（AAS）（2）AB=EC，ABEC，四边形ABEC是平行四边形，FA=FE，FB=FC，四边形ABCD是平行四边形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABC，AFC=ABC+BAF，ABC=BAF，FA=FB，FA=FE=FB=FC，AE=BC，四边形ABEC是矩形【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形10如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD在菱形ABCD中，A的大小为，面积记为S（1）请补全下表：30456090120135150S1（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S()例如：当30时，；当135时，由上表可以得到( _)；( _)，由此可以归纳出（3） 两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD，AOB，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论） 图2 （1）；.（说明：每对两个给1分） -2分（2）120；30；. -4分（说明：前两个都答对给1分，最后一个答对给1分）（3）答：两个带阴影的三角形面积相等. 证明：将ABO沿AB翻折得到菱形AEBO, 将CDO沿CD翻折得到菱形OCFD. SAOBS菱形AEBOS() -5分 SCDOS菱形OCFDS() -6分 由（2）中结论S()S() SAOBSCDO. 11、如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DFCF 如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E。 求证：DFEF； 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； 若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 解：（1）延长FP交AB于点Q，AC是正方形ABCD对角线，QAP=APQ=45，AQ=PQ，易得出BQ=PF，PEPB，QPB+FPE=90，QBP+QPB=90，QBP=FPE，BQP=PFE=90，BQPPFE，QP=EF，AQ=DF，DF=EF；12如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由【考点】矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【专题】压轴题【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出1=2，3=4，进而得出案；（2）根据已知得出2+4=5+6=90，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可【解答】（1）证明：MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4，EO=CO，FO=CO，OE=OF；（2）解：2=5，4=6，2+4=5+6=90，CE=12，CF=5，EF=13，OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形证明：当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形AECF是平行四边形，ECF=90，平行四边形AECF是矩形【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出ECF=90是解题关键13如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=12，BC=21，AD=16动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动设运动的时间为t（秒）（1）设DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？（3）分别求出当t为何值时，PD=PQ，DQ=PQ【考点】直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质【分析】（1）SQDP=DQAB，由题意知：AQ=t，DQ=ADAQ=16t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16t=212t，可将t求出；（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=（16t）2可将t求出【解答】（1）解：直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，BC=21，AB=12，AD=16，依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16t，PC=212t，过点P作PEAD于E，则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，SDPQ=DQAB=（16t）12=6t+96（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，212t=16t解得：t=5，当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形（3）AE=BP=2t，PE=AB=12，当PD=PQ时，QE=ED=QD，DE=162t，AE=BP=AQ+QE，即2t=t+162t，解得：t=，当t=时，PD=PQ当DQ=PQ时，DQ2=PQ2 t2+122=（16t）2解得：t= 当t=时，DQ=PQ【点评】本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合14.如图，在ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作APBC，交DC的延长线于点P（1）求证：ABEDCF；（2）当P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论15.如图，在RtABC中，B=90，AC=60，AB=30D是AC上的动点，过D作DFBC于F，过F作FEAC，交AB于E设CD=x，DF=y（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当DEF是直角三角形时，求x的值