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第五节 合情推理与演绎推理一、选择题(65分30分)1下列几种推理过程是演绎推理的是()A两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A和B是两条平行直线的内错角，则ABB金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C由圆的性质推测球的性质D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，(大前提)A与B是两条平行直线的内错角，(小前提)AB.(结论)B是归纳推理，C、D是类比推理答案：A2下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类推出“”C“(ab)cacbc”类推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”解析：由类比推理的特点可知C正确答案：C3由，若ab0且m0，则与之间大小关系为()A相等B前者大C后者大 D不确定解析：观察题设规律，由归纳推理易得.答案：B4如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i1,2,3,4)，若k，则(ihi).类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若K，则(iHi)()A. B.C. D.解析：平面中的面积与空间中的体积类比，平面二维与空间三维类比答案：B5(2011舟山模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么图中(A)、(B)所对应的运算结果可能是()AB*D、A*D BB*D、A*CCB*C、A*D DC*D、A*D解析：根据(1)、(2)、(3)、(4)可知A对应|；B对应；C对应；D对应.答案：B6(2011清远模拟)设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则f2 009(x)等于()A BxC. D.解析：计算f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)x，f5(x)f1(x)，归纳得f4k1(x)，kN*，从而f2 009(x).答案：D二、填空题(35分15分)7(2011南阳模拟)观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形解析：第15个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为12,123,1234,12345,123456，因此an123(n1)故a6123728，即第6个图中有28个小正方形答案：288(2011福州模拟)根据三角恒等变换，可得如下等式：coscos；cos22cos21；cos34cos33cos；cos48cos48cos21；cos516cos520cos35cos.依此规律，猜测cos632cos6mcos4ncos21，其中mn_.解析：由所给的三角恒等变换等式可知，系数和常数项的和是1，32mn11，mn30.答案：309(2010福建高考)观察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.解析：各式第一项系数依次为2,23,25,27，m，依规律可得m29512；各式中cos2的系数依次为212，222,232，242，p，由规律推出p25250；由各式系数和为1可推出n400，则mnp962.答案：962三、解答题(共37分)10(12分)(2011青岛调研)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特性的性质，并加以证明解析：类似的性质为：若M、N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M、P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2m2b2.同理y2x2b2.则kPMkPN(定值)11(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证a12a22.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，f(x)2x22(a1a2)xa12a222x22xa12a22.因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(a12a22)0，从而得a12a22.(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述问题的推广式；(2)参与上述证法，对你推广的问题加以证明(1)解析：若a1，a2，anR，a1a2an1.求证：a12a22an2.(2)证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xa12a22an2nx22xa12a22an2.因为对一切xR，都有f(x)0，所以44n(a12a22an2)0，从而证得：a12a22an2.12(13分)(2011广东六校)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包括f(n)个小正方形(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解析：(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，()，1(1)1(1).- 6 -用心 爱心 专心
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